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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 22 − 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 22 − 15 = 7
    Ergebnis:
    7
  2. ●40
    Rechne: (8 + 2) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 2 = 10
    2. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 7 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 9 = 63
    2. 7 + 63 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 34. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 9 + 65 + 41 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
96541
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 9 + 41 + 65
  2. 9 + 41 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 65 = 115
  1. Vertauschen: 9 + 41 + 65
  2. 9 + 41 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 65 = 115
Ergebnis:
115

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Hanna rechnet 26 + 57 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    265714
    So fängst du an:
    Vertauschen: 26 + 14 + 57
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 14 + 57
    2. 26 + 14 = 40
    3. 40 + 57 = 97
    Ergebnis:
    97
  2. ●2
    Jonas rechnet 12 + 21 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    122118
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 18 + 21
    2. 12 + 18 = 30
    3. 30 + 21 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 876 + 656 + 124 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    876656124
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 876 + 124 + 656
    2. 876 + 124 = 1000
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 656 = 1656
    Ergebnis:
    1656

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 48 = 50 + ___
4848
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 48 um 2 kleiner werden: 48 − 2 = 46
  3. 50 + 46 = 96
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 48 um 2 kleiner werden: 48 − 2 = 46
  3. 50 + 46 = 96
Ergebnis:
46

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 76
    6776
    So fängst du an:
    67 bekommt 3 dazu, 76 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 76 gibt 3 ab.
    2. 67 + 76 = 70 + 73
    3. 70 + 73 = 143
    Ergebnis:
    143
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 55 = 70 + ___
    6855
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 55 um 2 kleiner werden: 55 − 2 = 53
    3. 70 + 53 = 123
    Ergebnis:
    53
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 499 + 174
    499174
    Lösung zeigen
    1. 499 bekommt 1 dazu, 174 gibt 1 ab.
    2. 499 + 174 = 500 + 173
    3. 500 + 173 = 673
    Ergebnis:
    673

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
  3. 180 − 9 = 171
  1. 19 = 20 − 1
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
  3. 180 − 9 = 171
Ergebnis:
171

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
    3. 240 − 8 = 232
    Ergebnis:
    232
  2. ●8
    Es gibt 3 Hefte mit je 25 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 25
    2. 25 = 20 + 5
    3. 3 · 20 = 60 und 3 · 5 = 15
    4. 60 + 15 = 75
    Ergebnis:
    75 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 8 · 252
    Lösung zeigen
    1. 252 = 200 + 50 + 2
    2. 8 · 200 = 1600; 8 · 50 = 400; 8 · 2 = 16
    3. 1600 + 400 + 16 = 2016
    Ergebnis:
    2016

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 165 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 165 : 3?
165: 3
Schritt für Schritt
  1. 165 = 150 + 15
  2. 150 : 3 = 50 und 15 : 3 = 5
  3. 50 + 5 = 55
  1. 165 = 150 + 15
  2. 150 : 3 = 50 und 15 : 3 = 5
  3. 50 + 5 = 55
Ergebnis:
55

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 406 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 406 : 7?
    406: 7
    So fängst du an:
    406 = 350 + 56
    Lösung zeigen
    1. 406 = 350 + 56
    2. 350 : 7 = 50 und 56 : 7 = 8
    3. 50 + 8 = 58
    Ergebnis:
    58
  2. ●11
    260 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 260 : 5
    2. 260 = 250 + 10
    3. 250 : 5 = 50 und 10 : 5 = 2
    4. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 609 : 7
    Lösung zeigen
    1. 609 = 560 + 49
    2. 560 : 7 = 80 und 49 : 7 = 7
    3. 80 + 7 = 87
    Ergebnis:
    87

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 32 + 53 = 31 + ___
32 + 53=31 + ?
Schritt für Schritt
  1. 32 wird zu 31: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 1 größer.
  3. 53 + 1 = 54
  1. 32 wird zu 31: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 1 größer.
  3. 53 + 1 = 54
Ergebnis:
54

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 49 − 28 = ___ − 38
    So fängst du an:
    28 wird zu 38: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 38: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 10 größer.
    3. 49 + 10 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 + 70 = 26 + ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 26: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 70 um 10 kleiner.
    3. 70 − 10 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 37 + 6 · 5 = 6 · ___
    6 · 37 + 6 · 5=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 37 und 6 mal 5 sind zusammen 6 mal (37 + 5).
    3. 37 + 5 = 42
    Ergebnis:
    42

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Lea verdoppelt bei 32 · 25 beide Faktoren und rechnet 64 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 64 · 50 = 3200, aber 32 · 25 = 800
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 6 · 70? Nenne ihn und rechne.
    6 · 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
    2. 6 · 70 = 420 und 6 · 0 = 0
    3. Zusammen: 420
    Ergebnis:
    zerlegen, 420
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 612 : 9 und erhält 78. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
612 : 9Ergebnis 78?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 78 · 9 = 702
  2. 702 ist nicht 612: Es ist falsch.
  3. 612 : 9 = 68
  1. Umkehraufgabe: 78 · 9 = 702
  2. 702 ist nicht 612: Es ist falsch.
  3. 612 : 9 = 68
Ergebnis:
falsch, richtig ist 68

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia erhält für 41 · 41 das Ergebnis 1481. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 40 = 1600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 40 = 1600
    2. 1481 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 41 · 41 = 1681
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1681
  2. ●23
    Lea rechnet 462 : 6 und erhält 87. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    462 : 6Ergebnis 87?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 87 · 6 = 522
    2. 522 ist nicht 462: Es ist falsch.
    3. 462 : 6 = 77
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 77
  3. ★24
    Milan rechnet 1947 : 3 und erhält 649. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1947 : 3Ergebnis 649?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 649 · 3 = 1947
    2. 1947 ist genau 1947: Es stimmt.
    3. 1947 : 3 = 649
    Ergebnis:
    stimmt, 649

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 26 + 69 + 34 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    266934
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 34 + 69
    2. 26 + 34 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 69 = 129
    Ergebnis:
    129
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 12 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Packungen12 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 12
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 12 = 120
    Ergebnis:
    120 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 78 = 100 + ___
    9778
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 78 um 3 kleiner werden: 78 − 3 = 75
    3. 100 + 75 = 175
    Ergebnis:
    75
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 163 − 48 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 163 um 2 größer: 165.
    3. 165 − 50 = 115
    Ergebnis:
    165
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  6. ●30
    Milan rechnet 4 · 25 so: erst 4 · 20, dann 5 dazu. Milan erhält 85. Zeige am Bild, was fehlt.
    2054
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 5 Kästchen, nicht nur 5.
    2. Rechter Teil: 4 · 5 = 20
    3. 80 + 20 = 100
    Ergebnis:
    100

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Milan rechnet 8 + 39 + 32 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    83932
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    79

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 89
    6889
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    157

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 56
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    392

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 154 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 154 : 7?
    154: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 6 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Lea verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 368 + 198? Nenne ihn und rechne.
    368 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 566

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 801 : 9 und erhält 99. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    801 : 9Ergebnis 99?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 89

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 97
  2. 51
  3. 1656
  4. 143
  5. 53
  6. 673
  7. 232
  8. 75 Hefte
  9. 2016
  10. 58
  11. 52 Sticker
  12. 87
  13. 59
  14. 60
  15. 42
  16. 70
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 800
  19. halbieren und verdoppeln, 400
  20. zerlegen, 420
  21. halbieren und verdoppeln, 200
  22. falsch, richtig ist 1681
  23. falsch, richtig ist 77
  24. stimmt, 649
  25. 129
  26. 120 Bälle
  27. 75
  28. 165
  29. 245
  30. 100
  31. 79
  32. 157
  33. 392
  34. 22
  35. 12
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. gegensinnig verändern, 566
  38. falsch, richtig ist 89
  39. 7
  40. 80
  41. 70
  42. 31