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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 9 + 25 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●40
    Rechne: (3 + 5) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 5 = 8
    2. 8 · 8 = 64
    Ergebnis:
    64

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 9 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 2 = 18
    2. 4 + 18 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 5 und erhalte 23. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 6 + 18 + 44 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
61844
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 6 + 44 + 18
  2. 6 + 44 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 18 = 68
  1. Vertauschen: 6 + 44 + 18
  2. 6 + 44 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 18 = 68
Ergebnis:
68

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 25 + 82 + 35 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    258235
    So fängst du an:
    Vertauschen: 25 + 35 + 82
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 35 + 82
    2. 25 + 35 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 82 = 142
    Ergebnis:
    142
  2. ●2
    Hanna rechnet 4 + 78 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    47836
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 36 + 78
    2. 4 + 36 = 40
    3. 40 + 78 = 118
    Ergebnis:
    118
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 16 + 495 + 48 + 84 + 52 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    16495488452
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 84 + 48 + 52 + 495
    2. 16 + 84 = 100 und 48 + 52 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 100 + 495 = 695
    Ergebnis:
    695

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Milan rechnet 299 + 68 als 300 + 68. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
29968
Schritt für Schritt
  1. Milan hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 68 = 368.
  3. 1 wieder abziehen: 368 − 1 = 367
  1. Milan hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 68 = 368.
  3. 1 wieder abziehen: 368 − 1 = 367
Ergebnis:
367

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 79
    19979
    So fängst du an:
    199 bekommt 1 dazu, 79 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 199 bekommt 1 dazu, 79 gibt 1 ab.
    2. 199 + 79 = 200 + 78
    3. 200 + 78 = 278
    Ergebnis:
    278
  2. ●5
    Tom rechnet 298 + 44 als 300 + 44. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    29844
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 44 = 344.
    3. 2 wieder abziehen: 344 − 2 = 342
    Ergebnis:
    342
  3. ★6
    Paul rechnet 1999 + 807 als 2000 + 807. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    1999807
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 1999 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 2000 + 807 = 2807.
    3. 1 wieder abziehen: 2807 − 1 = 2806
    Ergebnis:
    2806

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 69
Schritt für Schritt
  1. 69 = 60 + 9
  2. 3 · 60 = 180 und 3 · 9 = 27
  3. 180 + 27 = 207
  1. 69 = 60 + 9
  2. 3 · 60 = 180 und 3 · 9 = 27
  3. 180 + 27 = 207
Ergebnis:
207

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Tüten mit je 57 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 57
    Lösung zeigen
    1. 5 · 57
    2. 57 = 50 + 7
    3. 5 · 50 = 250 und 5 · 7 = 35
    4. 250 + 35 = 285
    Ergebnis:
    285 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 38
    Lösung zeigen
    1. 38 = 30 + 8
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 8 = 32
    3. 120 + 32 = 152
    Ergebnis:
    152
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. 160 − 4 = 156
    Ergebnis:
    156

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

357 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 357 : 7
  2. 357 = 350 + 7
  3. 350 : 7 = 50 und 7 : 7 = 1
  4. 50 + 1 = 51
  1. 357 : 7
  2. 357 = 350 + 7
  3. 350 : 7 = 50 und 7 : 7 = 1
  4. 50 + 1 = 51
Ergebnis:
51 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 204 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 204 : 3?
    204: 3
    So fängst du an:
    204 = 180 + 24
    Lösung zeigen
    1. 204 = 180 + 24
    2. 180 : 3 = 60 und 24 : 3 = 8
    3. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 145 : 5
    Lösung zeigen
    1. 145 = 100 + 45
    2. 100 : 5 = 20 und 45 : 5 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  3. ★12
    Zerlege 492 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 492 : 6?
    492: 6
    Lösung zeigen
    1. 492 = 480 + 12
    2. 480 : 6 = 80 und 12 : 6 = 2
    3. 80 + 2 = 82
    Ergebnis:
    82

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 13 = 4 · ___
8 · 13=4 · ?
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 57 − 30 = ___ − 32
    So fängst du an:
    30 wird zu 32: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 30 wird zu 32: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 57 um 2 größer.
    3. 57 + 2 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 60 − 14 = ___ − 24
    Lösung zeigen
    1. 14 wird zu 24: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 60 um 10 größer.
    3. 60 + 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 52 − 34 = ___ − 44
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 44: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 52 um 10 größer.
    3. 52 + 10 = 62
    Ergebnis:
    62

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Can verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Noah verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 54? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 4 = 28
  3. Zusammen: 378
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 4 = 28
  3. Zusammen: 378
Ergebnis:
zerlegen, 378

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 9 · 87? Nenne ihn und rechne.
    9 · 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 87 = 80 + 7.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 87 = 80 + 7.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 7 = 63
    3. Zusammen: 783
    Ergebnis:
    zerlegen, 783
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 41 + 31 + 59? Nenne ihn und rechne.
    41 + 31 + 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 41 + 59 = 100
    3. 100 + 31 = 131
    Ergebnis:
    vertauschen, 131
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 233 + 598? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 233 + 598 = 231 + 600
    3. 231 + 600 = 831
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 831

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 693 − 278 und erhält 415. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 415 + 278 = 693
  2. 693 ist genau 693: Es stimmt.
  3. 693 − 278 = 415
  1. Umkehraufgabe: 415 + 278 = 693
  2. 693 ist genau 693: Es stimmt.
  3. 693 − 278 = 415
Ergebnis:
stimmt, 415

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin erhält für 78 · 34 das Ergebnis 2752. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 30 = 2400
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
    2. 2752 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 78 · 34 = 2652
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2652
  2. ●23
    Can rechnet 572 − 258 und erhält 334. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 334 + 258 = 592
    2. 592 ist nicht 572: Es ist falsch.
    3. 572 − 258 = 314
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 314
  3. ★24
    Paul rechnet 4455 − 4057 und erhält 418. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 418 + 4057 = 4475
    2. 4475 ist nicht 4455: Es ist falsch.
    3. 4455 − 4057 = 398
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 398

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 49 + 59 + 51
    495951
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 49 + 51 + 59
    2. 49 + 51 = 100
    3. 100 + 59 = 159
    Ergebnis:
    159
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 6 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kartons6 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 6
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60 Bälle
  3. ●27
    Lea rechnet 48 + 33 als 50 + 33. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    4833
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 33 = 83.
    3. 2 wieder abziehen: 83 − 2 = 81
    Ergebnis:
    81
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 108 − 29 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 30: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 108 um 1 größer: 109.
    3. 109 − 30 = 79
    Ergebnis:
    109
  5. ●29
    Es gibt 5 Hefte mit je 69 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 69
    2. 69 = 60 + 9
    3. 5 · 60 = 300 und 5 · 9 = 45
    4. 300 + 45 = 345
    Ergebnis:
    345 Hefte
  6. ●30
    Mia rechnet 5 · 15 so: erst 5 · 10, dann 5 dazu. Mia erhält 55. Zeige am Bild, was fehlt.
    1055
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 5 Kästchen, nicht nur 5.
    2. Rechter Teil: 5 · 5 = 25
    3. 50 + 25 = 75
    Ergebnis:
    75

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 8 + 64 + 12
    86412
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 36 = 300 + ___
    29736
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Reihen mit je 62 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    248 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    188 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 7 = 2 · ___
    4 · 7=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 31 + 21 + 69? Nenne ihn und rechne.
    31 + 21 + 69zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 121

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 534 : 6 und erhält 91. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    534 : 6Ergebnis 91?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 89

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 142
  2. 118
  3. 695
  4. 278
  5. 342
  6. 2806
  7. 285 Bonbons
  8. 152
  9. 156
  10. 68
  11. 29
  12. 82
  13. 59
  14. 70
  15. 62
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. 3000
  19. zerlegen, 783
  20. vertauschen, 131
  21. gegensinnig verändern, 831
  22. falsch, richtig ist 2652
  23. falsch, richtig ist 314
  24. falsch, richtig ist 398
  25. 159
  26. 60 Bälle
  27. 81
  28. 109
  29. 345 Hefte
  30. 75
  31. 84
  32. 33
  33. 248 Stühle
  34. 47 Bücher
  35. 14
  36. 200
  37. vertauschen, 121
  38. falsch, richtig ist 89
  39. 34
  40. 64
  41. 22
  42. 18