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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 4 + 15 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (5 + 7) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 7 = 12
    2. 12 · 3 = 36
    Ergebnis:
    36

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 12 + 16 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 40 und erhalte 58. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 19 + 55 + 41
195541
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 19 + 41 + 55
  2. 19 + 41 = 60
  3. 60 + 55 = 115
  1. Vertauschen: 19 + 41 + 55
  2. 19 + 41 = 60
  3. 60 + 55 = 115
Ergebnis:
115

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 28 + 27 + 32
    282732
    So fängst du an:
    Vertauschen: 28 + 32 + 27
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 32 + 27
    2. 28 + 32 = 60
    3. 60 + 27 = 87
    Ergebnis:
    87
  2. ●2
    Milan rechnet 25 + 41 + 75 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    254175
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 75 + 41
    2. 25 + 75 = 100
    3. 100 + 41 = 141
    Ergebnis:
    141
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 551 + 811 + 79 + 449 + 21 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    5518117944921
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 551 + 449 + 79 + 21 + 811
    2. 551 + 449 = 1000 und 79 + 21 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 811 = 1911
    Ergebnis:
    1911

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 64 = 50 + ___
4864
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 64 um 2 kleiner werden: 64 − 2 = 62
  3. 50 + 62 = 112
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 64 um 2 kleiner werden: 64 − 2 = 62
  3. 50 + 62 = 112
Ergebnis:
62

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 49
    4749
    So fängst du an:
    47 bekommt 3 dazu, 49 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 47 bekommt 3 dazu, 49 gibt 3 ab.
    2. 47 + 49 = 50 + 46
    3. 50 + 46 = 96
    Ergebnis:
    96
  2. ●5
    Lina rechnet 47 + 85 als 50 + 85. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    4785
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 85 = 135.
    3. 3 wieder abziehen: 135 − 3 = 132
    Ergebnis:
    132
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 498 + 697 = 500 + ___
    498697
    Lösung zeigen
    1. 498 wird zu 500: 2 mehr.
    2. Also muss 697 um 2 kleiner werden: 697 − 2 = 695
    3. 500 + 695 = 1195
    Ergebnis:
    695

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
  3. 180 − 6 = 174
  1. 29 = 30 − 1
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
  3. 180 − 6 = 174
Ergebnis:
174

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 32
    So fängst du an:
    32 = 30 + 2
    Lösung zeigen
    1. 32 = 30 + 2
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 2 = 18
    3. 270 + 18 = 288
    Ergebnis:
    288
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 46
    Lösung zeigen
    1. 46 = 40 + 6
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 6 = 24
    3. 160 + 24 = 184
    Ergebnis:
    184
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 13
    Lösung zeigen
    1. 13 = 10 + 3
    2. 7 · 10 = 70 und 7 · 3 = 21
    3. 70 + 21 = 91
    Ergebnis:
    91

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

325 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 325 : 5
  2. 325 = 300 + 25
  3. 300 : 5 = 60 und 25 : 5 = 5
  4. 60 + 5 = 65
  1. 325 : 5
  2. 325 = 300 + 25
  3. 300 : 5 = 60 und 25 : 5 = 5
  4. 60 + 5 = 65
Ergebnis:
65 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 186 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 186 : 6?
    186: 6
    So fängst du an:
    186 = 180 + 6
    Lösung zeigen
    1. 186 = 180 + 6
    2. 180 : 6 = 30 und 6 : 6 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●11
    76 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 76 : 4
    2. 76 = 40 + 36
    3. 40 : 4 = 10 und 36 : 4 = 9
    4. 10 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19 Bücher
  3. ★12
    966 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 966 : 7
    2. 966 = 910 + 56
    3. 910 : 7 = 130 und 56 : 7 = 8
    4. 130 + 8 = 138
    Ergebnis:
    138 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 54 + 47 = 52 + ___
54 + 47=52 + ?
Schritt für Schritt
  1. 54 wird zu 52: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 47 um 2 größer.
  3. 47 + 2 = 49
  1. 54 wird zu 52: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 47 um 2 größer.
  3. 47 + 2 = 49
Ergebnis:
49

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 + 48 = 19 + ___
    16 + 48=19 + ?
    So fängst du an:
    16 wird zu 19: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 19: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 3 kleiner.
    3. 48 − 3 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 70 + 23 = 68 + ___
    70 + 23=68 + ?
    Lösung zeigen
    1. 70 wird zu 68: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 23 um 2 größer.
    3. 23 + 2 = 25
    Ergebnis:
    25
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 12 = 2 · ___
    4 · 12=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Can verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  2. ●17
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Hanna verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 90

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 125 + 299? Nenne ihn und rechne.
    125 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 125 + 299 = 124 + 300
    3. 124 + 300 = 424
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 424
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 24 + 55 + 76? Nenne ihn und rechne.
    24 + 55 + 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 24 + 76 = 100
    3. 100 + 55 = 155
    Ergebnis:
    vertauschen, 155
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 116 : 4 und erhält 30. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
116 : 4Ergebnis 30?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 30 · 4 = 120
  2. 120 ist nicht 116: Es ist falsch.
  3. 116 : 4 = 29
  1. Umkehraufgabe: 30 · 4 = 120
  2. 120 ist nicht 116: Es ist falsch.
  3. 116 : 4 = 29
Ergebnis:
falsch, richtig ist 29

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 568 − 311 und erhält 357. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 357 + 311 = 668
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 357 + 311 = 668
    2. 668 ist nicht 568: Es ist falsch.
    3. 568 − 311 = 257
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 257
  2. ●23
    Emma rechnet 508 − 162 und erhält 446. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 446 + 162 = 608
    2. 608 ist nicht 508: Es ist falsch.
    3. 508 − 162 = 346
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 346
  3. ★24
    Noah erhält für 205 · 49 das Ergebnis 9945. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 50 = 10.000
    2. 9945 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 205 · 49 = 10.045
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 10.045

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 7 + 28 + 13
    72813
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 28
    2. 7 + 13 = 20
    3. 20 + 28 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●26
    Rechne geschickt: 17 · 2 · 5
    1725
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 17
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 17 = 170
    Ergebnis:
    170
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 55 = 70 + ___
    6955
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 55 um 1 kleiner werden: 55 − 1 = 54
    3. 70 + 54 = 124
    Ergebnis:
    54
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 126 − 38 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 126 um 2 größer: 128.
    3. 128 − 40 = 88
    Ergebnis:
    128
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 53
    Lösung zeigen
    1. 53 = 50 + 3
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 3 = 21
    3. 350 + 21 = 371
    Ergebnis:
    371
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 28?
    2084
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 20 = 80
    2. Rechts: 4 · 8 = 32
    3. 4 · 28 = 80 + 32 = 112
    Ergebnis:
    4 · 20 und 4 · 8, zusammen 112

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 57 + 54 + 3 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    57543
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    114

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ben rechnet 99 + 87 als 100 + 87. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    9987
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    186

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    472

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 496 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 77 + 81 = 79 + ___
    77 + 81=79 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    79

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Emma verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 8 · 72? Nenne ihn und rechne.
    8 · 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 576

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin erhält für 32 · 22 das Ergebnis 704. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 704

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 87
  2. 141
  3. 1911
  4. 96
  5. 132
  6. 695
  7. 288
  8. 184
  9. 91
  10. 31
  11. 19 Bücher
  12. 138 Sticker
  13. 45
  14. 25
  15. 24
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  17. 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. gegensinnig verändern, 424
  20. vertauschen, 155
  21. halbieren und verdoppeln, 400
  22. falsch, richtig ist 257
  23. falsch, richtig ist 346
  24. falsch, richtig ist 10.045
  25. 48
  26. 170
  27. 54
  28. 128
  29. 371
  30. 4 · 20 und 4 · 8, zusammen 112
  31. 114
  32. 186
  33. 472
  34. 62
  35. 79
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. zerlegen, 576
  38. stimmt, 704
  39. 19
  40. 36
  41. 28
  42. 18