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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 9 + 16 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (5 + 5) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 5 = 10
    2. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 7 + 36 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 8. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 12 + 57 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
125718
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 12 + 18 + 57
  2. 12 + 18 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 57 = 87
  1. Vertauschen: 12 + 18 + 57
  2. 12 + 18 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 57 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 37 + 11 + 13
    371113
    So fängst du an:
    Vertauschen: 37 + 13 + 11
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 13 + 11
    2. 37 + 13 = 50
    3. 50 + 11 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●2
    Rechne geschickt: 44 + 81 + 56
    448156
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 56 + 81
    2. 44 + 56 = 100
    3. 100 + 81 = 181
    Ergebnis:
    181
  3. ★3
    Elias rechnet 748 + 649 + 54 + 252 + 46 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    7486495425246
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 748 + 252 + 54 + 46 + 649
    2. 748 + 252 = 1000 und 54 + 46 = 100
    3. 1000 + 100 + 649 = 1749
    Ergebnis:
    1749

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lina rechnet 298 + 48 als 300 + 48. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
29848
Schritt für Schritt
  1. Lina hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 48 = 348.
  3. 2 wieder abziehen: 348 − 2 = 346
  1. Lina hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 48 = 348.
  3. 2 wieder abziehen: 348 − 2 = 346
Ergebnis:
346

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 46 = 100 + ___
    9746
    So fängst du an:
    97 wird zu 100: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 46 um 3 kleiner werden: 46 − 3 = 43
    3. 100 + 43 = 143
    Ergebnis:
    43
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 62
    6962
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 62 gibt 1 ab.
    2. 69 + 62 = 70 + 61
    3. 70 + 61 = 131
    Ergebnis:
    131
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 497 + 166
    497166
    Lösung zeigen
    1. 497 bekommt 3 dazu, 166 gibt 3 ab.
    2. 497 + 166 = 500 + 163
    3. 500 + 163 = 663
    Ergebnis:
    663

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. 320 − 8 = 312
  1. 39 = 40 − 1
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. 320 − 8 = 312
Ergebnis:
312

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 61
    So fängst du an:
    61 = 60 + 1
    Lösung zeigen
    1. 61 = 60 + 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 + 8 = 488
    Ergebnis:
    488
  2. ●8
    Es gibt 7 Hefte mit je 34 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 34
    2. 34 = 30 + 4
    3. 7 · 30 = 210 und 7 · 4 = 28
    4. 210 + 28 = 238
    Ergebnis:
    238 Hefte
  3. ★9
    Es gibt 8 Reihen mit je 36 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 36
    2. 36 = 30 + 6
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 6 = 48
    4. 240 + 48 = 288
    Ergebnis:
    288 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 114 : 3
Schritt für Schritt
  1. 114 = 90 + 24
  2. 90 : 3 = 30 und 24 : 3 = 8
  3. 30 + 8 = 38
  1. 114 = 90 + 24
  2. 90 : 3 = 30 und 24 : 3 = 8
  3. 30 + 8 = 38
Ergebnis:
38

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 207 : 3
    So fängst du an:
    207 = 180 + 27
    Lösung zeigen
    1. 207 = 180 + 27
    2. 180 : 3 = 60 und 27 : 3 = 9
    3. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 195 : 3
    Lösung zeigen
    1. 195 = 180 + 15
    2. 180 : 3 = 60 und 15 : 3 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65
  3. ★12
    Zerlege 324 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 324 : 3?
    324: 3
    Lösung zeigen
    1. 324 = 300 + 24
    2. 300 : 3 = 100 und 24 : 3 = 8
    3. 100 + 8 = 108
    Ergebnis:
    108

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 74 + 60 = 64 + ___
74 + 60=64 + ?
Schritt für Schritt
  1. 74 wird zu 64: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 60 um 10 größer.
  3. 60 + 10 = 70
  1. 74 wird zu 64: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 60 um 10 größer.
  3. 60 + 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 95 − 72 = ___ − 73
    So fängst du an:
    72 wird zu 73: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 72 wird zu 73: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 95 um 1 größer.
    3. 95 + 1 = 96
    Ergebnis:
    96
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 18 · 10 = 9 · ___
    18 · 10=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 42 + 56 = 39 + ___
    42 + 56=39 + ?
    Lösung zeigen
    1. 42 wird zu 39: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 56 um 3 größer.
    3. 56 + 3 = 59
    Ergebnis:
    59

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Mia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 154 + 299? Nenne ihn und rechne.
154 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 154 + 299 = 153 + 300
  3. 153 + 300 = 453
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 154 + 299 = 153 + 300
  3. 153 + 300 = 453
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 453

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 293 + 399? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 293 + 399 = 292 + 400
    3. 292 + 400 = 692
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 692
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 74? Nenne ihn und rechne.
    5 · 74zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 74 = 70 + 4.
    2. 5 · 70 = 350 und 5 · 4 = 20
    3. Zusammen: 370
    Ergebnis:
    zerlegen, 370

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 846 : 9 und erhält 96. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
846 : 9Ergebnis 96?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 96 · 9 = 864
  2. 864 ist nicht 846: Es ist falsch.
  3. 846 : 9 = 94
  1. Umkehraufgabe: 96 · 9 = 864
  2. 864 ist nicht 846: Es ist falsch.
  3. 846 : 9 = 94
Ergebnis:
falsch, richtig ist 94

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea erhält für 41 · 18 das Ergebnis 1738. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 20 = 800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 1738 liegt zu weit weg. Genau: 41 · 18 = 738
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 738
  2. ●23
    Emma rechnet 769 − 612 und erhält 157. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 157 + 612 = 769
    2. 769 ist genau 769: Es stimmt.
    3. 769 − 612 = 157
    Ergebnis:
    stimmt, 157
  3. ★24
    Mia rechnet 7558 − 3085 und erhält 4463. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4463 + 3085 = 7548
    2. 7548 ist nicht 7558: Es ist falsch.
    3. 7558 − 3085 = 4473
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4473

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 15 + 79 + 35
    157935
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 35 + 79
    2. 15 + 35 = 50
    3. 50 + 79 = 129
    Ergebnis:
    129
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 17 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Packungen17 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 17
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 89 = 50 + ___
    4789
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 89 um 3 kleiner werden: 89 − 3 = 86
    3. 50 + 86 = 136
    Ergebnis:
    86
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 125 − 48 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 125 um 2 größer: 127.
    3. 127 − 50 = 77
    Ergebnis:
    127
  5. ●29
    Es gibt 5 Hefte mit je 67 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 67
    2. 67 = 60 + 7
    3. 5 · 60 = 300 und 5 · 7 = 35
    4. 300 + 35 = 335
    Ergebnis:
    335 Hefte
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 28 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2083
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 20 = 60
    2. Rechter Teil: 3 · 8 = 24
    3. Zusammen: 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 22 + 61 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    22618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 83
    9983
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    182

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Tüten mit je 41 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    164 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 256 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 256 : 8?
    256: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 93 − 37 = ___ − 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 56? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 336

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea rechnet 348 : 4 und erhält 97. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    348 : 4Ergebnis 97?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 87

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 61
  2. 181
  3. 1749
  4. 43
  5. 131
  6. 663
  7. 488
  8. 238 Hefte
  9. 288 Stühle
  10. 69
  11. 65
  12. 108
  13. 96
  14. 20
  15. 59
  16. 80
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. 490
  19. gegensinnig verändern, 692
  20. halbieren und verdoppeln, 200
  21. zerlegen, 370
  22. falsch, richtig ist 738
  23. stimmt, 157
  24. falsch, richtig ist 4473
  25. 129
  26. 1700 Bälle
  27. 86
  28. 127
  29. 335 Hefte
  30. 84 Kästchen
  31. 91
  32. 182
  33. 164 Bonbons
  34. 32
  35. 95
  36. 90
  37. zerlegen, 336
  38. falsch, richtig ist 87
  39. 25
  40. 30
  41. 43
  42. 5