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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 6 + 16 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●40
    Rechne: (4 + 2) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 2 = 6
    2. 6 · 3 = 18
    Ergebnis:
    18

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 6 + 4 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 15. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 48 + 68 + 12 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
486812
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 48 + 12 + 68
  2. 48 + 12 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 68 = 128
  1. Vertauschen: 48 + 12 + 68
  2. 48 + 12 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 68 = 128
Ergebnis:
128

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Milan rechnet 43 + 23 + 57 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    432357
    So fängst du an:
    Vertauschen: 43 + 57 + 23
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 43 + 57 + 23
    2. 43 + 57 = 100
    3. 100 + 23 = 123
    Ergebnis:
    123
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 24 + 21 + 16 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    242116
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 16 + 21
    2. 24 + 16 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 21 = 61
    Ergebnis:
    61
  3. ★3
    Can rechnet 265 + 588 + 43 + 735 + 57 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    2655884373557
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 265 + 735 + 43 + 57 + 588
    2. 265 + 735 = 1000 und 43 + 57 = 100
    3. 1000 + 100 + 588 = 1688
    Ergebnis:
    1688

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ben rechnet 48 + 66 als 50 + 66. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
4866
Schritt für Schritt
  1. Ben hat 48 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 66 = 116.
  3. 2 wieder abziehen: 116 − 2 = 114
  1. Ben hat 48 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 66 = 116.
  3. 2 wieder abziehen: 116 − 2 = 114
Ergebnis:
114

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Milan rechnet 69 + 84 als 70 + 84. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    6984
    So fängst du an:
    Milan hat 69 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 84 = 154.
    3. 1 wieder abziehen: 154 − 1 = 153
    Ergebnis:
    153
  2. ●5
    Emma rechnet 97 + 27 als 100 + 27. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    9727
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 27 = 127.
    3. 3 wieder abziehen: 127 − 3 = 124
    Ergebnis:
    124
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 398 + 527 = 400 + ___
    398527
    Lösung zeigen
    1. 398 wird zu 400: 2 mehr.
    2. Also muss 527 um 2 kleiner werden: 527 − 2 = 525
    3. 400 + 525 = 925
    Ergebnis:
    525

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
  3. 240 − 4 = 236
  1. 59 = 60 − 1
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
  3. 240 − 4 = 236
Ergebnis:
236

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 23
    So fängst du an:
    23 = 20 + 3
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 3 = 27
    3. 180 + 27 = 207
    Ergebnis:
    207
  2. ●8
    Es gibt 3 Hefte mit je 39 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 3 · 30 = 90 und 3 · 9 = 27
    4. 90 + 27 = 117
    Ergebnis:
    117 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 215
    Lösung zeigen
    1. 215 = 200 + 10 + 5
    2. 7 · 200 = 1400; 7 · 10 = 70; 7 · 5 = 35
    3. 1400 + 70 + 35 = 1505
    Ergebnis:
    1505

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 154 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 154 : 7?
154: 7
Schritt für Schritt
  1. 154 = 140 + 14
  2. 140 : 7 = 20 und 14 : 7 = 2
  3. 20 + 2 = 22
  1. 154 = 140 + 14
  2. 140 : 7 = 20 und 14 : 7 = 2
  3. 20 + 2 = 22
Ergebnis:
22

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    406 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    406 : 7
    Lösung zeigen
    1. 406 : 7
    2. 406 = 350 + 56
    3. 350 : 7 = 50 und 56 : 7 = 8
    4. 50 + 8 = 58
    Ergebnis:
    58 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 104 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 104 : 8?
    104: 8
    Lösung zeigen
    1. 104 = 80 + 24
    2. 80 : 8 = 10 und 24 : 8 = 3
    3. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13
  3. ★12
    468 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 468 : 4
    2. 468 = 440 + 28
    3. 440 : 4 = 110 und 28 : 4 = 7
    4. 110 + 7 = 117
    Ergebnis:
    117 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 63 − 43 = ___ − 48
Schritt für Schritt
  1. 43 wird zu 48: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 63 um 5 größer.
  3. 63 + 5 = 68
  1. 43 wird zu 48: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 63 um 5 größer.
  3. 63 + 5 = 68
Ergebnis:
68

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 40 − 27 = ___ − 37
    So fängst du an:
    27 wird zu 37: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 37: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 40 um 10 größer.
    3. 40 + 10 = 50
    Ergebnis:
    50
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 61 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 1 größer.
    3. 61 + 1 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 49 + 14 = 59 + ___
    49 + 14=59 + ?
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 59: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 14 um 10 kleiner.
    3. 14 − 10 = 4
    Ergebnis:
    4

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Hanna verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 22 · 15
    Lösung zeigen
    1. 22 · 15 = 11 · 30
    2. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 9 · 71? Nenne ihn und rechne.
    9 · 71zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 71 = 70 + 1.
    2. 9 · 70 = 630 und 9 · 1 = 9
    3. Zusammen: 639
    Ergebnis:
    zerlegen, 639

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can erhält für 23 · 26 das Ergebnis 598. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 20 · 30 = 600
  2. 598 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 23 · 26 = 598
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 20 · 30 = 600
  2. 598 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 23 · 26 = 598
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 598

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben erhält für 54 · 33 das Ergebnis 1882. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 30 = 1500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
    2. 1882 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 54 · 33 = 1782
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1782
  2. ●23
    Jonas rechnet 774 : 9 und erhält 88. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    774 : 9Ergebnis 88?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 88 · 9 = 792
    2. 792 ist nicht 774: Es ist falsch.
    3. 774 : 9 = 86
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 86
  3. ★24
    Sofia rechnet 3265 : 5 und erhält 652. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3265 : 5Ergebnis 652?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 652 · 5 = 3260
    2. 3260 ist nicht 3265: Es ist falsch.
    3. 3265 : 5 = 653
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 653

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 21 + 58 + 9
    21589
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 9 + 58
    2. 21 + 9 = 30
    3. 30 + 58 = 88
    Ergebnis:
    88
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 4 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kartons4 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 4
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 4 = 400
    Ergebnis:
    400 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 35 = 50 + ___
    4835
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 35 um 2 kleiner werden: 35 − 2 = 33
    3. 50 + 33 = 83
    Ergebnis:
    33
  4. ●28
    Jonas rechnet 217 − 197 als 217 − 200 und erhält 17. Ist das schon das Ergebnis?
    217 − 197217 − 200
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 17 + 3 = 20
    Ergebnis:
    Nein, 20
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 32
    Lösung zeigen
    1. 32 = 30 + 2
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 2 = 12
    3. 180 + 12 = 192
    Ergebnis:
    192
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 26?
    2063
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 20 = 60
    2. Rechts: 3 · 6 = 18
    3. 3 · 26 = 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    3 · 20 und 3 · 6, zusammen 78

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Paul rechnet 46 + 13 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    46134
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 96 = 50 + ___
    4896
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Tüten mit je 53 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    371 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    495 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 92 − 39 = ___ − 41
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Lea verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna erhält für 78 · 43 das Ergebnis 3454. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3354

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 123
  2. 61
  3. 1688
  4. 153
  5. 124
  6. 525
  7. 207
  8. 117 Hefte
  9. 1505
  10. 58 Sticker
  11. 13
  12. 117 Bücher
  13. 50
  14. 62
  15. 4
  16. 70
  17. 400
  18. 330
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. zerlegen, 639
  22. falsch, richtig ist 1782
  23. falsch, richtig ist 86
  24. falsch, richtig ist 653
  25. 88
  26. 400 Bälle
  27. 33
  28. Nein, 20
  29. 192
  30. 3 · 20 und 3 · 6, zusammen 78
  31. 63
  32. 94
  33. 371 Bonbons
  34. 55 Sticker
  35. 94
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. halbieren und verdoppeln, 90
  38. falsch, richtig ist 3354
  39. 22
  40. 18
  41. 10
  42. 12