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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 67 − 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 67 − 32 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (7 + 3) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 3 = 10
    2. 10 · 7 = 70
    Ergebnis:
    70

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 2 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 4 = 8
    2. 12 + 8 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 27 und erhalte 86. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Paul rechnet 21 + 85 + 29 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
218529
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 21 + 29 + 85
  2. 21 + 29 = 50
  3. 50 + 85 = 135
  1. Vertauschen: 21 + 29 + 85
  2. 21 + 29 = 50
  3. 50 + 85 = 135
Ergebnis:
135

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Noah rechnet 36 + 17 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    361714
    So fängst du an:
    Vertauschen: 36 + 14 + 17
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 14 + 17
    2. 36 + 14 = 50
    3. 50 + 17 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 16 + 65 + 4 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    16654
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 4 + 65
    2. 16 + 4 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 65 = 85
    Ergebnis:
    85
  3. ★3
    Aylin rechnet 31 + 771 + 69 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    3177169
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 69 + 771
    2. 31 + 69 = 100
    3. 100 + 771 = 871
    Ergebnis:
    871

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 39
9839
Schritt für Schritt
  1. 98 bekommt 2 dazu, 39 gibt 2 ab.
  2. 98 + 39 = 100 + 37
  3. 100 + 37 = 137
  1. 98 bekommt 2 dazu, 39 gibt 2 ab.
  2. 98 + 39 = 100 + 37
  3. 100 + 37 = 137
Ergebnis:
137

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 85 = 70 + ___
    6785
    So fängst du an:
    67 wird zu 70: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 85 um 3 kleiner werden: 85 − 3 = 82
    3. 70 + 82 = 152
    Ergebnis:
    82
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 24
    29824
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 24 gibt 2 ab.
    2. 298 + 24 = 300 + 22
    3. 300 + 22 = 322
    Ergebnis:
    322
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 496 + 178
    496178
    Lösung zeigen
    1. 496 bekommt 4 dazu, 178 gibt 4 ab.
    2. 496 + 178 = 500 + 174
    3. 500 + 174 = 674
    Ergebnis:
    674

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
  3. 200 − 5 = 195
  1. 39 = 40 − 1
  2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
  3. 200 − 5 = 195
Ergebnis:
195

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Reihen mit je 69 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 69
    Lösung zeigen
    1. 8 · 69
    2. 69 = 60 + 9
    3. 8 · 60 = 480 und 8 · 9 = 72
    4. 480 + 72 = 552
    Ergebnis:
    552 Stühle
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 16
    Lösung zeigen
    1. 16 = 10 + 6
    2. 5 · 10 = 50 und 5 · 6 = 30
    3. 50 + 30 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★9
    Es gibt 6 Reihen mit je 46 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 46
    2. 46 = 40 + 6
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 6 = 36
    4. 240 + 36 = 276
    Ergebnis:
    276 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

252 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 252 : 4
  2. 252 = 240 + 12
  3. 240 : 4 = 60 und 12 : 4 = 3
  4. 60 + 3 = 63
  1. 252 : 4
  2. 252 = 240 + 12
  3. 240 : 4 = 60 und 12 : 4 = 3
  4. 60 + 3 = 63
Ergebnis:
63 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 98 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 98 : 7?
    98: 7
    So fängst du an:
    98 = 70 + 28
    Lösung zeigen
    1. 98 = 70 + 28
    2. 70 : 7 = 10 und 28 : 7 = 4
    3. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●11
    120 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 120 : 8
    2. 120 = 80 + 40
    3. 80 : 8 = 10 und 40 : 8 = 5
    4. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 294 : 6
    Lösung zeigen
    1. 294 = 240 + 54
    2. 240 : 6 = 40 und 54 : 6 = 9
    3. 40 + 9 = 49
    Ergebnis:
    49

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 74 + 27 = 72 + ___
Schritt für Schritt
  1. 74 wird zu 72: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 2 größer.
  3. 27 + 2 = 29
  1. 74 wird zu 72: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 2 größer.
  3. 27 + 2 = 29
Ergebnis:
29

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 84 − 47 = ___ − 57
    So fängst du an:
    47 wird zu 57: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 57: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 84 um 10 größer.
    3. 84 + 10 = 94
    Ergebnis:
    94
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 21 + 13 = 11 + ___
    21 + 13=11 + ?
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 11: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 13 um 10 größer.
    3. 13 + 10 = 23
    Ergebnis:
    23
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 65 + 23 = 67 + ___
    65 + 23=67 + ?
    Lösung zeigen
    1. 65 wird zu 67: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 23 um 2 kleiner.
    3. 23 − 2 = 21
    Ergebnis:
    21

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Noah verdoppelt bei 24 · 125 beide Faktoren und rechnet 48 · 250. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 48 · 250 = 12.000, aber 24 · 125 = 3000
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 34 + 71 + 66? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 34 + 66 = 100
  3. 100 + 71 = 171
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 34 + 66 = 100
  3. 100 + 71 = 171
Ergebnis:
vertauschen, 171

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 44 + 55 + 56? Nenne ihn und rechne.
    44 + 55 + 56zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 44 + 56 = 100
    3. 100 + 55 = 155
    Ergebnis:
    vertauschen, 155
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 330 + 198? Nenne ihn und rechne.
    330 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 330 + 198 = 328 + 200
    3. 328 + 200 = 528
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 528
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 45 + 61 + 55? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 45 + 55 = 100
    3. 100 + 61 = 161
    Ergebnis:
    vertauschen, 161

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas rechnet 228 : 6 und erhält 40. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
228 : 6Ergebnis 40?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 40 · 6 = 240
  2. 240 ist nicht 228: Es ist falsch.
  3. 228 : 6 = 38
  1. Umkehraufgabe: 40 · 6 = 240
  2. 240 ist nicht 228: Es ist falsch.
  3. 228 : 6 = 38
Ergebnis:
falsch, richtig ist 38

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 885 − 626 und erhält 269. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 269 + 626 = 895
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 269 + 626 = 895
    2. 895 ist nicht 885: Es ist falsch.
    3. 885 − 626 = 259
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 259
  2. ●23
    Tom rechnet 771 − 300 und erhält 571. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 571 + 300 = 871
    2. 871 ist nicht 771: Es ist falsch.
    3. 771 − 300 = 471
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 471
  3. ★24
    Milan erhält für 430 · 14 das Ergebnis 6120. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 10 = 4000
    2. 6120 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 430 · 14 = 6020
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6020

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Jonas rechnet 28 + 38 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    283812
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 12 + 38
    2. 28 + 12 = 40
    3. 40 + 38 = 78
    Ergebnis:
    78
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 12 · 5
    20125
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 12
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 86 = 200 + ___
    19786
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 86 um 3 kleiner werden: 86 − 3 = 83
    3. 200 + 83 = 283
    Ergebnis:
    83
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 181 − 97 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 181 um 3 größer: 184.
    3. 184 − 100 = 84
    Ergebnis:
    184
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 1 = 9
    3. 360 − 9 = 351
    Ergebnis:
    351
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 23?
    2034
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 20 = 80
    2. Rechts: 4 · 3 = 12
    3. 4 · 23 = 80 + 12 = 92
    Ergebnis:
    4 · 20 und 4 · 3, zusammen 92

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Jonas rechnet 4 + 29 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    42926
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Tom rechnet 298 + 23 als 300 + 23. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    29823
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    321

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    351

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 95 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 95 : 5?
    95: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 56 + 57 = 58 + ___
    56 + 57=58 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 60? Nenne ihn und rechne.
    5 · 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 331 − 179 und erhält 172. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 152

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 67
  2. 85
  3. 871
  4. 82
  5. 322
  6. 674
  7. 552 Stühle
  8. 80
  9. 276 Stühle
  10. 14
  11. 15 Sticker
  12. 49
  13. 94
  14. 23
  15. 21
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 3000
  19. vertauschen, 155
  20. gegensinnig verändern, 528
  21. vertauschen, 161
  22. falsch, richtig ist 259
  23. falsch, richtig ist 471
  24. falsch, richtig ist 6020
  25. 78
  26. 1200
  27. 83
  28. 184
  29. 351
  30. 4 · 20 und 4 · 3, zusammen 92
  31. 59
  32. 321
  33. 351
  34. 19
  35. 55
  36. 70
  37. zerlegen, 300
  38. falsch, richtig ist 152
  39. 35
  40. 70
  41. 20
  42. 59