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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 8 + 24 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●40
    Rechne: (9 + 9) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 9 = 18
    2. 18 · 9 = 162
    Ergebnis:
    162

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 7 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 5 = 35
    2. 8 + 35 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 11 und erhalte 39. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 26 + 66 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
266614
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 26 + 14 + 66
  2. 26 + 14 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 66 = 106
  1. Vertauschen: 26 + 14 + 66
  2. 26 + 14 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 66 = 106
Ergebnis:
106

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 39 + 35 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    153935
    So fängst du an:
    Vertauschen: 15 + 35 + 39
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 35 + 39
    2. 15 + 35 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 39 = 89
    Ergebnis:
    89
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 62 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    66214
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 62
    2. 6 + 14 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 62 = 82
    Ergebnis:
    82
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 801 + 346 + 34 + 199 + 66 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    8013463419966
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 801 + 199 + 34 + 66 + 346
    2. 801 + 199 = 1000 und 34 + 66 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 346 = 1446
    Ergebnis:
    1446

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 53
6953
Schritt für Schritt
  1. 69 bekommt 1 dazu, 53 gibt 1 ab.
  2. 69 + 53 = 70 + 52
  3. 70 + 52 = 122
  1. 69 bekommt 1 dazu, 53 gibt 1 ab.
  2. 69 + 53 = 70 + 52
  3. 70 + 52 = 122
Ergebnis:
122

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ben rechnet 37 + 79 als 40 + 79. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    3779
    So fängst du an:
    Ben hat 37 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 79 = 119.
    3. 3 wieder abziehen: 119 − 3 = 116
    Ergebnis:
    116
  2. ●5
    Noah rechnet 97 + 66 als 100 + 66. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    9766
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 66 = 166.
    3. 3 wieder abziehen: 166 − 3 = 163
    Ergebnis:
    163
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 498 + 346 = 500 + ___
    498346
    Lösung zeigen
    1. 498 wird zu 500: 2 mehr.
    2. Also muss 346 um 2 kleiner werden: 346 − 2 = 344
    3. 500 + 344 = 844
    Ergebnis:
    344

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 17
Schritt für Schritt
  1. 17 = 10 + 7
  2. 8 · 10 = 80 und 8 · 7 = 56
  3. 80 + 56 = 136
  1. 17 = 10 + 7
  2. 8 · 10 = 80 und 8 · 7 = 56
  3. 80 + 56 = 136
Ergebnis:
136

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 45
    So fängst du an:
    45 = 40 + 5
    Lösung zeigen
    1. 45 = 40 + 5
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 5 = 40
    3. 320 + 40 = 360
    Ergebnis:
    360
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
    3. 240 − 8 = 232
    Ergebnis:
    232
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

260 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 260 : 5
  2. 260 = 250 + 10
  3. 250 : 5 = 50 und 10 : 5 = 2
  4. 50 + 2 = 52
  1. 260 : 5
  2. 260 = 250 + 10
  3. 250 : 5 = 50 und 10 : 5 = 2
  4. 50 + 2 = 52
Ergebnis:
52 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 315 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 315 : 9?
    315: 9
    So fängst du an:
    315 = 270 + 45
    Lösung zeigen
    1. 315 = 270 + 45
    2. 270 : 9 = 30 und 45 : 9 = 5
    3. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●11
    Zerlege 51 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 51 : 3?
    51: 3
    Lösung zeigen
    1. 51 = 30 + 21
    2. 30 : 3 = 10 und 21 : 3 = 7
    3. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17
  3. ★12
    190 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 190 : 5
    2. 190 = 150 + 40
    3. 150 : 5 = 30 und 40 : 5 = 8
    4. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 61 + 38 = 60 + ___
Schritt für Schritt
  1. 61 wird zu 60: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 38 um 1 größer.
  3. 38 + 1 = 39
  1. 61 wird zu 60: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 38 um 1 größer.
  3. 38 + 1 = 39
Ergebnis:
39

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 91 − 44 = ___ − 54
    So fängst du an:
    44 wird zu 54: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 44 wird zu 54: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 91 um 10 größer.
    3. 91 + 10 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 83 − 57 = ___ − 62
    Lösung zeigen
    1. 57 wird zu 62: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 83 um 5 größer.
    3. 83 + 5 = 88
    Ergebnis:
    88
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 66 + 6 · 2 = 6 · ___
    6 · 66 + 6 · 2=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 66 und 6 mal 2 sind zusammen 6 mal (66 + 2).
    3. 66 + 2 = 68
    Ergebnis:
    68

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Tom verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Lina verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 21 + 66 + 79? Nenne ihn und rechne.
21 + 66 + 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 21 + 79 = 100
  3. 100 + 66 = 166
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 21 + 79 = 100
  3. 100 + 66 = 166
Ergebnis:
vertauschen, 166

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 381 + 598? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 381 + 598 = 379 + 600
    3. 379 + 600 = 979
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 979
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 69? Nenne ihn und rechne.
    6 · 69zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 69 = 60 + 9.
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 9 = 54
    3. Zusammen: 414
    Ergebnis:
    zerlegen, 414

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea rechnet 568 : 8 und erhält 81. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
568 : 8Ergebnis 81?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 81 · 8 = 648
  2. 648 ist nicht 568: Es ist falsch.
  3. 568 : 8 = 71
  1. Umkehraufgabe: 81 · 8 = 648
  2. 648 ist nicht 568: Es ist falsch.
  3. 568 : 8 = 71
Ergebnis:
falsch, richtig ist 71

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben erhält für 36 · 19 das Ergebnis 484. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 20 = 800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 484 liegt zu weit weg. Genau: 36 · 19 = 684
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 684
  2. ●23
    Can rechnet 228 : 6 und erhält 38. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    228 : 6Ergebnis 38?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 38 · 6 = 228
    2. 228 ist genau 228: Es stimmt.
    3. 228 : 6 = 38
    Ergebnis:
    stimmt, 38
  3. ★24
    Zeynep rechnet 747 : 3 und erhält 248. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    747 : 3Ergebnis 248?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 248 · 3 = 744
    2. 744 ist nicht 747: Es ist falsch.
    3. 747 : 3 = 249
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 249

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Mia rechnet 13 + 34 + 37 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    133437
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 37 + 34
    2. 13 + 37 = 50
    3. 50 + 34 = 84
    Ergebnis:
    84
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 3 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Packungen3 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 3
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 86 = 40 + ___
    3786
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 86 um 3 kleiner werden: 86 − 3 = 83
    3. 40 + 83 = 123
    Ergebnis:
    83
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 93 − 18 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 18 wird zu 20: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 93 um 2 größer: 95.
    3. 95 − 20 = 75
    Ergebnis:
    95
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. 180 − 9 = 171
    Ergebnis:
    171
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 21?
    2017
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 1 = 7
    3. 7 · 21 = 140 + 7 = 147
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 1, zusammen 147

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 17 + 61 + 13
    176113
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 38
    3938
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    77

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 126 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 126 : 6?
    126: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 50 + 42 = 40 + ___
    50 + 42=40 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 267 + 598? Nenne ihn und rechne.
    267 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 865

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 664 : 8 und erhält 84. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    664 : 8Ergebnis 84?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 83

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 89
  2. 82
  3. 1446
  4. 116
  5. 163
  6. 344
  7. 360
  8. 232
  9. 177
  10. 35
  11. 17
  12. 38 Sticker
  13. 101
  14. 88
  15. 68
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 810
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. gegensinnig verändern, 979
  21. zerlegen, 414
  22. falsch, richtig ist 684
  23. stimmt, 38
  24. falsch, richtig ist 249
  25. 84
  26. 30 Bälle
  27. 83
  28. 95
  29. 171
  30. 7 · 20 und 7 · 1, zusammen 147
  31. 91
  32. 77
  33. 95
  34. 21
  35. 52
  36. 80
  37. gegensinnig verändern, 865
  38. falsch, richtig ist 83
  39. 32
  40. 162
  41. 43
  42. 28