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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 3 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 3 = 9
    2. 8 + 9 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (3 + 9) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 9 = 12
    2. 12 · 7 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 8 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 2 = 16
    2. 2 + 16 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 40. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Zeynep rechnet 44 + 52 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
44526
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 44 + 6 + 52
  2. 44 + 6 = 50
  3. 50 + 52 = 102
  1. Vertauschen: 44 + 6 + 52
  2. 44 + 6 = 50
  3. 50 + 52 = 102
Ergebnis:
102

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 17 + 16 + 3
    17163
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 3 + 16
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 3 + 16
    2. 17 + 3 = 20
    3. 20 + 16 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 4 + 83 + 26 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    48326
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 26 + 83
    2. 4 + 26 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 83 = 113
    Ergebnis:
    113
  3. ★3
    Rechne geschickt: 107 + 348 + 193
    107348193
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 107 + 193 + 348
    2. 107 + 193 = 300
    3. 300 + 348 = 648
    Ergebnis:
    648

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 36 = 50 + ___
4936
Schritt für Schritt
  1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
  2. Also muss 36 um 1 kleiner werden: 36 − 1 = 35
  3. 50 + 35 = 85
  1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
  2. Also muss 36 um 1 kleiner werden: 36 − 1 = 35
  3. 50 + 35 = 85
Ergebnis:
35

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aylin rechnet 37 + 76 als 40 + 76. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    3776
    So fängst du an:
    Aylin hat 37 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 76 = 116.
    3. 3 wieder abziehen: 116 − 3 = 113
    Ergebnis:
    113
  2. ●5
    Lina rechnet 198 + 76 als 200 + 76. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    19876
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 76 = 276.
    3. 2 wieder abziehen: 276 − 2 = 274
    Ergebnis:
    274
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 999 + 658 = 1000 + ___
    999658
    Lösung zeigen
    1. 999 wird zu 1000: 1 mehr.
    2. Also muss 658 um 1 kleiner werden: 658 − 1 = 657
    3. 1000 + 657 = 1657
    Ergebnis:
    657

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
  3. 300 − 5 = 295
  1. 59 = 60 − 1
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
  3. 300 − 5 = 295
Ergebnis:
295

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 57
    So fängst du an:
    57 = 50 + 7
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 7 = 49
    3. 350 + 49 = 399
    Ergebnis:
    399
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 16
    Lösung zeigen
    1. 16 = 10 + 6
    2. 9 · 10 = 90 und 9 · 6 = 54
    3. 90 + 54 = 144
    Ergebnis:
    144
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 82
    Lösung zeigen
    1. 82 = 80 + 2
    2. 5 · 80 = 400 und 5 · 2 = 10
    3. 400 + 10 = 410
    Ergebnis:
    410

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 343 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 343 : 7?
343: 7
Schritt für Schritt
  1. 343 = 280 + 63
  2. 280 : 7 = 40 und 63 : 7 = 9
  3. 40 + 9 = 49
  1. 343 = 280 + 63
  2. 280 : 7 = 40 und 63 : 7 = 9
  3. 40 + 9 = 49
Ergebnis:
49

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 255 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 255 : 5?
    255: 5
    So fängst du an:
    255 = 250 + 5
    Lösung zeigen
    1. 255 = 250 + 5
    2. 250 : 5 = 50 und 5 : 5 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 108 : 4
    Lösung zeigen
    1. 108 = 80 + 28
    2. 80 : 4 = 20 und 28 : 4 = 7
    3. 20 + 7 = 27
    Ergebnis:
    27
  3. ★12
    Zerlege 624 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 624 : 4?
    624: 4
    Lösung zeigen
    1. 624 = 600 + 24
    2. 600 : 4 = 150 und 24 : 4 = 6
    3. 150 + 6 = 156
    Ergebnis:
    156

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 57 − 40 = ___ − 42
Schritt für Schritt
  1. 40 wird zu 42: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 57 um 2 größer.
  3. 57 + 2 = 59
  1. 40 wird zu 42: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 57 um 2 größer.
  3. 57 + 2 = 59
Ergebnis:
59

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 49 − 33 = ___ − 35
    So fängst du an:
    33 wird zu 35: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 35: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 2 größer.
    3. 49 + 2 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 4 · 9 = 2 · ___
    4 · 9=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 17 + 70 = 19 + ___
    17 + 70=19 + ?
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 19: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 70 um 2 kleiner.
    3. 70 − 2 = 68
    Ergebnis:
    68

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 50? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 0 = 0
  3. Zusammen: 450
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 0 = 0
  3. Zusammen: 450
Ergebnis:
zerlegen, 450

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 30 + 31 + 70? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 30 + 70 = 100
    3. 100 + 31 = 131
    Ergebnis:
    vertauschen, 131
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 4430 − 2504? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 4430 − 2504 = 1926
    Ergebnis:
    schriftlich, 1926

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 47 · 23 das Ergebnis 1281. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
  2. 1281 liegt zu weit weg. Genau: 47 · 23 = 1081
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
  2. 1281 liegt zu weit weg. Genau: 47 · 23 = 1081
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1081

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia erhält für 82 · 22 das Ergebnis 1804. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 20 = 1600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
    2. 1804 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 82 · 22 = 1804
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1804
  2. ●23
    Hanna rechnet 781 − 299 und erhält 492. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 492 + 299 = 791
    2. 791 ist nicht 781: Es ist falsch.
    3. 781 − 299 = 482
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 482
  3. ★24
    Aylin rechnet 6878 − 6758 und erhält 140. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 140 + 6758 = 6898
    2. 6898 ist nicht 6878: Es ist falsch.
    3. 6878 − 6758 = 120
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 120

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 36 + 27 + 4
    36274
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 4 + 27
    2. 36 + 4 = 40
    3. 40 + 27 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 8 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Packungen8 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 8
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80 Bälle
  3. ●27
    Ben rechnet 198 + 83 als 200 + 83. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    19883
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 83 = 283.
    3. 2 wieder abziehen: 283 − 2 = 281
    Ergebnis:
    281
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 129 − 28 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 129 um 2 größer: 131.
    3. 131 − 30 = 101
    Ergebnis:
    131
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 22
    Lösung zeigen
    1. 22 = 20 + 2
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 2 = 16
    3. 160 + 16 = 176
    Ergebnis:
    176
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 25?
    2054
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 20 = 80
    2. Rechts: 4 · 5 = 20
    3. 4 · 25 = 80 + 20 = 100
    Ergebnis:
    4 · 20 und 4 · 5, zusammen 100

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Sofia rechnet 17 + 65 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    17653
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    85

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Lea rechnet 299 + 86 als 300 + 86. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    29986
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    385

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    203

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    348 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 4 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Elias verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias erhält für 80 · 18 das Ergebnis 1440. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 1440

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 36
  2. 113
  3. 648
  4. 113
  5. 274
  6. 657
  7. 399
  8. 144
  9. 410
  10. 51
  11. 27
  12. 156
  13. 51
  14. 18
  15. 68
  16. 210
  17. 200
  18. 490
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. vertauschen, 131
  21. schriftlich, 1926
  22. stimmt, 1804
  23. falsch, richtig ist 482
  24. falsch, richtig ist 120
  25. 67
  26. 80 Bälle
  27. 281
  28. 131
  29. 176
  30. 4 · 20 und 4 · 5, zusammen 100
  31. 85
  32. 385
  33. 203
  34. 58 Murmeln
  35. 8
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. stimmt, 1440
  39. 17
  40. 84
  41. 18
  42. 37