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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 34 − 2 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 4 = 8
    2. 34 − 8 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●40
    Rechne: (4 + 6) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 6 = 10
    2. 10 · 5 = 50
    Ergebnis:
    50

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 8 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 8 = 64
    2. 3 + 64 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 41. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 14 + 29 + 86
142986
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 86 + 29
  2. 14 + 86 = 100
  3. 100 + 29 = 129
  1. Vertauschen: 14 + 86 + 29
  2. 14 + 86 = 100
  3. 100 + 29 = 129
Ergebnis:
129

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 18 + 65 + 12
    186512
    So fängst du an:
    Vertauschen: 18 + 12 + 65
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 12 + 65
    2. 18 + 12 = 30
    3. 30 + 65 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 91 + 77 + 9 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    91779
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 91 + 9 + 77
    2. 91 + 9 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 77 = 177
    Ergebnis:
    177
  3. ★3
    Can rechnet 74 + 861 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    7486126
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 74 + 26 + 861
    2. 74 + 26 = 100
    3. 100 + 861 = 961
    Ergebnis:
    961

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Milan rechnet 67 + 38 als 70 + 38. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
6738
Schritt für Schritt
  1. Milan hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 38 = 108.
  3. 3 wieder abziehen: 108 − 3 = 105
  1. Milan hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 38 = 108.
  3. 3 wieder abziehen: 108 − 3 = 105
Ergebnis:
105

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 63
    9963
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 63 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 63 gibt 1 ab.
    2. 99 + 63 = 100 + 62
    3. 100 + 62 = 162
    Ergebnis:
    162
  2. ●5
    Tom rechnet 37 + 49 als 40 + 49. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    3749
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 49 = 89.
    3. 3 wieder abziehen: 89 − 3 = 86
    Ergebnis:
    86
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 399 + 616
    399616
    Lösung zeigen
    1. 399 bekommt 1 dazu, 616 gibt 1 ab.
    2. 399 + 616 = 400 + 615
    3. 400 + 615 = 1015
    Ergebnis:
    1015

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. 320 − 8 = 312
  1. 39 = 40 − 1
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. 320 − 8 = 312
Ergebnis:
312

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Reihen mit je 49 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 49
    Lösung zeigen
    1. 4 · 49
    2. 49 = 40 + 9
    3. 4 · 40 = 160 und 4 · 9 = 36
    4. 160 + 36 = 196
    Ergebnis:
    196 Stühle
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 28
    Lösung zeigen
    1. 28 = 20 + 8
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 8 = 32
    3. 80 + 32 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 − 5 = 95
    Ergebnis:
    95

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 108 : 3
Schritt für Schritt
  1. 108 = 90 + 18
  2. 90 : 3 = 30 und 18 : 3 = 6
  3. 30 + 6 = 36
  1. 108 = 90 + 18
  2. 90 : 3 = 30 und 18 : 3 = 6
  3. 30 + 6 = 36
Ergebnis:
36

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 116 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 116 : 4?
    116: 4
    So fängst du an:
    116 = 80 + 36
    Lösung zeigen
    1. 116 = 80 + 36
    2. 80 : 4 = 20 und 36 : 4 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●11
    Zerlege 126 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 126 : 9?
    126: 9
    Lösung zeigen
    1. 126 = 90 + 36
    2. 90 : 9 = 10 und 36 : 9 = 4
    3. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★12
    Zerlege 978 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 978 : 6?
    978: 6
    Lösung zeigen
    1. 978 = 960 + 18
    2. 960 : 6 = 160 und 18 : 6 = 3
    3. 160 + 3 = 163
    Ergebnis:
    163

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 4 · 8 = 2 · ___
4 · 8=2 · ?
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 20 + 55 = 10 + ___
    So fängst du an:
    20 wird zu 10: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 20 wird zu 10: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 55 um 10 größer.
    3. 55 + 10 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 41 − 25 = ___ − 26
    Lösung zeigen
    1. 25 wird zu 26: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 41 um 1 größer.
    3. 41 + 1 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 59 + 54 = 60 + ___
    Lösung zeigen
    1. 59 wird zu 60: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 54 um 1 kleiner.
    3. 54 − 1 = 53
    Ergebnis:
    53

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Lea verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 32 · 25
    Lösung zeigen
    1. 32 · 25 = 16 · 50
    2. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 16 + 39 + 84? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 16 + 84 = 100
  3. 100 + 39 = 139
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 16 + 84 = 100
  3. 100 + 39 = 139
Ergebnis:
vertauschen, 139

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 379 + 598? Nenne ihn und rechne.
    379 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 379 + 598 = 377 + 600
    3. 377 + 600 = 977
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 977
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 43 + 53 + 57? Nenne ihn und rechne.
    43 + 53 + 57zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 43 + 57 = 100
    3. 100 + 53 = 153
    Ergebnis:
    vertauschen, 153

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 641 − 411 und erhält 250. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 250 + 411 = 661
  2. 661 ist nicht 641: Es ist falsch.
  3. 641 − 411 = 230
  1. Umkehraufgabe: 250 + 411 = 661
  2. 661 ist nicht 641: Es ist falsch.
  3. 641 − 411 = 230
Ergebnis:
falsch, richtig ist 230

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 429 − 292 und erhält 237. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 237 + 292 = 529
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 237 + 292 = 529
    2. 529 ist nicht 429: Es ist falsch.
    3. 429 − 292 = 137
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 137
  2. ●23
    Mia rechnet 195 : 5 und erhält 41. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    195 : 5Ergebnis 41?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 41 · 5 = 205
    2. 205 ist nicht 195: Es ist falsch.
    3. 195 : 5 = 39
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 39
  3. ★24
    Zeynep erhält für 303 · 20 das Ergebnis 6160. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 6160 liegt zu weit weg. Genau: 303 · 20 = 6060
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6060

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea rechnet 31 + 65 + 69 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    316569
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 69 + 65
    2. 31 + 69 = 100
    3. 100 + 65 = 165
    Ergebnis:
    165
  2. ●26
    Rechne geschickt: 50 · 7 · 2
    5072
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 7
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 63 = 200 + ___
    19863
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 63 um 2 kleiner werden: 63 − 2 = 61
    3. 200 + 61 = 261
    Ergebnis:
    61
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 222 − 198
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 222 − 198 = 224 − 200
    3. 224 − 200 = 24
    Ergebnis:
    24
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 23
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 3 = 18
    3. 120 + 18 = 138
    Ergebnis:
    138
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 21 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2013
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 20 = 60
    2. Rechter Teil: 3 · 1 = 3
    3. Zusammen: 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Jonas rechnet 95 + 16 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    95165
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 92 = 100 + ___
    9992
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    120

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 144 : 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 75 − 15 = ___ − 16
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 186 + 399? Nenne ihn und rechne.
    186 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 585

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna rechnet 567 − 413 und erhält 154. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 154

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 95
  2. 177
  3. 961
  4. 162
  5. 86
  6. 1015
  7. 196 Stühle
  8. 112
  9. 95
  10. 29
  11. 14
  12. 163
  13. 65
  14. 42
  15. 53
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. 800
  19. gegensinnig verändern, 977
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. vertauschen, 153
  22. falsch, richtig ist 137
  23. falsch, richtig ist 39
  24. falsch, richtig ist 6060
  25. 165
  26. 700
  27. 61
  28. 24
  29. 138
  30. 63 Kästchen
  31. 116
  32. 91
  33. 120
  34. 16
  35. 76
  36. 80
  37. gegensinnig verändern, 585
  38. stimmt, 154
  39. 26
  40. 50
  41. 67
  42. 38