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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 9 + 40 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●40
    Rechne: (7 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 5 = 12
    2. 12 · 7 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 7 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 8 = 56
    2. 6 + 56 = 62
    Ergebnis:
    62
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 24 und erhalte 52. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 23 + 31 + 27
233127
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 23 + 27 + 31
  2. 23 + 27 = 50
  3. 50 + 31 = 81
  1. Vertauschen: 23 + 27 + 31
  2. 23 + 27 = 50
  3. 50 + 31 = 81
Ergebnis:
81

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 27 + 32 + 73
    273273
    So fängst du an:
    Vertauschen: 27 + 73 + 32
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 73 + 32
    2. 27 + 73 = 100
    3. 100 + 32 = 132
    Ergebnis:
    132
  2. ●2
    Rechne geschickt: 72 + 57 + 28
    725728
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 72 + 28 + 57
    2. 72 + 28 = 100
    3. 100 + 57 = 157
    Ergebnis:
    157
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 145 + 839 + 82 + 155 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    1458398215518
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 145 + 155 + 82 + 18 + 839
    2. 145 + 155 = 300 und 82 + 18 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 839 = 1239
    Ergebnis:
    1239

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Emma rechnet 67 + 59 als 70 + 59. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
6759
Schritt für Schritt
  1. Emma hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 59 = 129.
  3. 3 wieder abziehen: 129 − 3 = 126
  1. Emma hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 59 = 129.
  3. 3 wieder abziehen: 129 − 3 = 126
Ergebnis:
126

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 46
    6946
    So fängst du an:
    69 bekommt 1 dazu, 46 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 46 gibt 1 ab.
    2. 69 + 46 = 70 + 45
    3. 70 + 45 = 115
    Ergebnis:
    115
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 77
    9777
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 77 gibt 3 ab.
    2. 97 + 77 = 100 + 74
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    174
  3. ★6
    Aylin rechnet 496 + 366 als 500 + 366. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    496366
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 496 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 500 + 366 = 866.
    3. 4 wieder abziehen: 866 − 4 = 862
    Ergebnis:
    862

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
  3. 210 − 7 = 203
  1. 29 = 30 − 1
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
  3. 210 − 7 = 203
Ergebnis:
203

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Tüten mit je 37 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 37
    Lösung zeigen
    1. 9 · 37
    2. 37 = 30 + 7
    3. 9 · 30 = 270 und 9 · 7 = 63
    4. 270 + 63 = 333
    Ergebnis:
    333 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 9 Tüten mit je 24 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 24
    2. 24 = 20 + 4
    3. 9 · 20 = 180 und 9 · 4 = 36
    4. 180 + 36 = 216
    Ergebnis:
    216 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 6 Hefte mit je 38 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 38
    2. 38 = 30 + 8
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 8 = 48
    4. 180 + 48 = 228
    Ergebnis:
    228 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

456 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 456 : 8
  2. 456 = 400 + 56
  3. 400 : 8 = 50 und 56 : 8 = 7
  4. 50 + 7 = 57
  1. 456 : 8
  2. 456 = 400 + 56
  3. 400 : 8 = 50 und 56 : 8 = 7
  4. 50 + 7 = 57
Ergebnis:
57 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 396 : 6
    So fängst du an:
    396 = 360 + 36
    Lösung zeigen
    1. 396 = 360 + 36
    2. 360 : 6 = 60 und 36 : 6 = 6
    3. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 207 : 3
    Lösung zeigen
    1. 207 = 180 + 27
    2. 180 : 3 = 60 und 27 : 3 = 9
    3. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 385 : 5
    Lösung zeigen
    1. 385 = 350 + 35
    2. 350 : 5 = 70 und 35 : 5 = 7
    3. 70 + 7 = 77
    Ergebnis:
    77

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 89 − 73 = ___ − 83
Schritt für Schritt
  1. 73 wird zu 83: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 10 größer.
  3. 89 + 10 = 99
  1. 73 wird zu 83: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 10 größer.
  3. 89 + 10 = 99
Ergebnis:
99

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 9 = 6 · ___
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 91 − 51 = ___ − 53
    Lösung zeigen
    1. 51 wird zu 53: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 91 um 2 größer.
    3. 91 + 2 = 93
    Ergebnis:
    93
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 13 = 8 · ___
    16 · 13=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lea verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    So fängst du an:
    12 · 15 = 6 · 30
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 41? Nenne ihn und rechne.
6 · 41zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 41 = 40 + 1.
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
  3. Zusammen: 246
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 41 = 40 + 1.
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
  3. Zusammen: 246
Ergebnis:
zerlegen, 246

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 225 + 399? Nenne ihn und rechne.
    225 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 225 + 399 = 224 + 400
    3. 224 + 400 = 624
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 624

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 728 − 226 und erhält 522. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 522 + 226 = 748
  2. 748 ist nicht 728: Es ist falsch.
  3. 728 − 226 = 502
  1. Umkehraufgabe: 522 + 226 = 748
  2. 748 ist nicht 728: Es ist falsch.
  3. 728 − 226 = 502
Ergebnis:
falsch, richtig ist 502

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul rechnet 246 : 3 und erhält 83. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    246 : 3Ergebnis 83?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 83 · 3 = 249
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 83 · 3 = 249
    2. 249 ist nicht 246: Es ist falsch.
    3. 246 : 3 = 82
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 82
  2. ●23
    Aylin rechnet 216 : 3 und erhält 74. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    216 : 3Ergebnis 74?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 74 · 3 = 222
    2. 222 ist nicht 216: Es ist falsch.
    3. 216 : 3 = 72
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 72
  3. ★24
    Mia rechnet 4039 − 2801 und erhält 1238. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1238 + 2801 = 4039
    2. 4039 ist genau 4039: Es stimmt.
    3. 4039 − 2801 = 1238
    Ergebnis:
    stimmt, 1238

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 51 + 72 + 9
    51729
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 51 + 9 + 72
    2. 51 + 9 = 60
    3. 60 + 72 = 132
    Ergebnis:
    132
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 14 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kartons14 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 14
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 14 = 140
    Ergebnis:
    140 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 93
    3893
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 93 gibt 2 ab.
    2. 38 + 93 = 40 + 91
    3. 40 + 91 = 131
    Ergebnis:
    131
  4. ●28
    Zeynep rechnet 157 − 49 als 157 − 50 und erhält 107. Ist das schon das Ergebnis?
    157 − 49157 − 50
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 107 + 1 = 108
    Ergebnis:
    Nein, 108
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 36
    Lösung zeigen
    1. 36 = 30 + 6
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 6 = 48
    3. 240 + 48 = 288
    Ergebnis:
    288
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 12?
    1026
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 10 = 60
    2. Rechts: 6 · 2 = 12
    3. 6 · 12 = 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    6 · 10 und 6 · 2, zusammen 72

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Zeynep rechnet 3 + 48 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    34827
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    78

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 89
    3889
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    127

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 23
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    145 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 19 + 45 = 22 + ___
    19 + 45=22 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 27 + 55 + 73? Nenne ihn und rechne.
    27 + 55 + 73zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 155

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan rechnet 457 − 362 und erhält 195. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 95

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 132
  2. 157
  3. 1239
  4. 115
  5. 174
  6. 862
  7. 333 Bonbons
  8. 216 Bonbons
  9. 228 Hefte
  10. 66
  11. 69
  12. 77
  13. 18
  14. 93
  15. 26
  16. 180
  17. 200
  18. 490
  19. halbieren und verdoppeln, 400
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. gegensinnig verändern, 624
  22. falsch, richtig ist 82
  23. falsch, richtig ist 72
  24. stimmt, 1238
  25. 132
  26. 140 Bälle
  27. 131
  28. Nein, 108
  29. 288
  30. 6 · 10 und 6 · 2, zusammen 72
  31. 78
  32. 127
  33. 92
  34. 29 Sticker
  35. 42
  36. 70
  37. vertauschen, 155
  38. falsch, richtig ist 95
  39. 49
  40. 84
  41. 62
  42. 28