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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 56 − 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 56 − 20 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●40
    Rechne: (4 + 9) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 9 = 13
    2. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 10 + 16 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 7 und erhalte 14. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 31 + 35 + 69 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
313569
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 31 + 69 + 35
  2. 31 + 69 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 35 = 135
  1. Vertauschen: 31 + 69 + 35
  2. 31 + 69 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 35 = 135
Ergebnis:
135

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 18 + 74 + 22 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    187422
    So fängst du an:
    Vertauschen: 18 + 22 + 74
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 22 + 74
    2. 18 + 22 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 74 = 114
    Ergebnis:
    114
  2. ●2
    Zeynep rechnet 12 + 41 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    124118
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 18 + 41
    2. 12 + 18 = 30
    3. 30 + 41 = 71
    Ergebnis:
    71
  3. ★3
    Rechne geschickt: 494 + 291 + 506
    494291506
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 494 + 506 + 291
    2. 494 + 506 = 1000
    3. 1000 + 291 = 1291
    Ergebnis:
    1291

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 69 = 100 + ___
9769
Schritt für Schritt
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 69 um 3 kleiner werden: 69 − 3 = 66
  3. 100 + 66 = 166
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 69 um 3 kleiner werden: 69 − 3 = 66
  3. 100 + 66 = 166
Ergebnis:
66

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 24
    4924
    So fängst du an:
    49 bekommt 1 dazu, 24 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 49 bekommt 1 dazu, 24 gibt 1 ab.
    2. 49 + 24 = 50 + 23
    3. 50 + 23 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 74
    19874
    Lösung zeigen
    1. 198 bekommt 2 dazu, 74 gibt 2 ab.
    2. 198 + 74 = 200 + 72
    3. 200 + 72 = 272
    Ergebnis:
    272
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 496 + 537 = 500 + ___
    496537
    Lösung zeigen
    1. 496 wird zu 500: 4 mehr.
    2. Also muss 537 um 4 kleiner werden: 537 − 4 = 533
    3. 500 + 533 = 1033
    Ergebnis:
    533

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Hefte mit je 48 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 48
  2. 48 = 40 + 8
  3. 7 · 40 = 280 und 7 · 8 = 56
  4. 280 + 56 = 336
  1. 7 · 48
  2. 48 = 40 + 8
  3. 7 · 40 = 280 und 7 · 8 = 56
  4. 280 + 56 = 336
Ergebnis:
336 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 22
    So fängst du an:
    22 = 20 + 2
    Lösung zeigen
    1. 22 = 20 + 2
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 2 = 10
    3. 100 + 10 = 110
    Ergebnis:
    110
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. 320 − 8 = 312
    Ergebnis:
    312
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 71
    Lösung zeigen
    1. 71 = 70 + 1
    2. 9 · 70 = 630 und 9 · 1 = 9
    3. 630 + 9 = 639
    Ergebnis:
    639

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 168 : 3
Schritt für Schritt
  1. 168 = 150 + 18
  2. 150 : 3 = 50 und 18 : 3 = 6
  3. 50 + 6 = 56
  1. 168 = 150 + 18
  2. 150 : 3 = 50 und 18 : 3 = 6
  3. 50 + 6 = 56
Ergebnis:
56

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 88 : 4
    So fängst du an:
    88 = 80 + 8
    Lösung zeigen
    1. 88 = 80 + 8
    2. 80 : 4 = 20 und 8 : 4 = 2
    3. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●11
    392 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 392 : 7
    2. 392 = 350 + 42
    3. 350 : 7 = 50 und 42 : 7 = 6
    4. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 592 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 592 : 4?
    592: 4
    Lösung zeigen
    1. 592 = 560 + 32
    2. 560 : 4 = 140 und 32 : 4 = 8
    3. 140 + 8 = 148
    Ergebnis:
    148

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 6 = 3 · ___
6 · 6=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
  3. 6 · 2 = 12
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
  3. 6 · 2 = 12
Ergebnis:
12

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 45 + 20 = 55 + ___
    So fängst du an:
    45 wird zu 55: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 45 wird zu 55: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 20 um 10 kleiner.
    3. 20 − 10 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 43 + 67 = 33 + ___
    Lösung zeigen
    1. 43 wird zu 33: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 67 um 10 größer.
    3. 67 + 10 = 77
    Ergebnis:
    77
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 82 − 44 = ___ − 46
    Lösung zeigen
    1. 44 wird zu 46: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 82 um 2 größer.
    3. 82 + 2 = 84
    Ergebnis:
    84

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Elias verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Noah verdoppelt bei 24 · 125 beide Faktoren und rechnet 48 · 250. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 48 · 250 = 12.000, aber 24 · 125 = 3000
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 32 + 25 + 68? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 32 + 68 = 100
  3. 100 + 25 = 125
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 32 + 68 = 100
  3. 100 + 25 = 125
Ergebnis:
vertauschen, 125

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 20 + 71 + 80? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 20 + 80 = 100
    3. 100 + 71 = 171
    Ergebnis:
    vertauschen, 171
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 41 + 56 + 59? Nenne ihn und rechne.
    41 + 56 + 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 41 + 59 = 100
    3. 100 + 56 = 156
    Ergebnis:
    vertauschen, 156
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 89? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 89 = 80 + 9.
    2. 7 · 80 = 560 und 7 · 9 = 63
    3. Zusammen: 623
    Ergebnis:
    zerlegen, 623

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan rechnet 873 : 9 und erhält 107. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
873 : 9Ergebnis 107?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 107 · 9 = 963
  2. 963 ist nicht 873: Es ist falsch.
  3. 873 : 9 = 97
  1. Umkehraufgabe: 107 · 9 = 963
  2. 963 ist nicht 873: Es ist falsch.
  3. 873 : 9 = 97
Ergebnis:
falsch, richtig ist 97

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma erhält für 36 · 20 das Ergebnis 620. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 20 = 800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 620 liegt zu weit weg. Genau: 36 · 20 = 720
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 720
  2. ●23
    Hanna rechnet 280 : 8 und erhält 35. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    280 : 8Ergebnis 35?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 35 · 8 = 280
    2. 280 ist genau 280: Es stimmt.
    3. 280 : 8 = 35
    Ergebnis:
    stimmt, 35
  3. ★24
    Jonas rechnet 7311 − 6773 und erhält 558. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 558 + 6773 = 7331
    2. 7331 ist nicht 7311: Es ist falsch.
    3. 7311 − 6773 = 538
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 538

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Emma rechnet 8 + 58 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    85812
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    1. Vertauschen: 8 + 12 + 58
    2. 8 + 12 = 20
    3. 20 + 58 = 78
    Ergebnis:
    78
  2. ●26
    Rechne geschickt: 50 · 4 · 2
    5042
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 4
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 4 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 24 = 300 + ___
    29724
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 24 um 3 kleiner werden: 24 − 3 = 21
    3. 300 + 21 = 321
    Ergebnis:
    21
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 117 − 27
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    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 117 − 27 = 120 − 30
    3. 120 − 30 = 90
    Ergebnis:
    90
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 21
    Lösung zeigen
    1. 21 = 20 + 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 + 5 = 105
    Ergebnis:
    105
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 19 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1096
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 10 = 60
    2. Rechter Teil: 6 · 9 = 54
    3. Zusammen: 60 + 54 = 114
    Ergebnis:
    114 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 19 + 12 + 11
    191211
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 68
    3768
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    105

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 61
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    549

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 98 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 98 : 7?
    98: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 70 − 59 = ___ − 69
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 38 + 34 + 62? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 134

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia erhält für 23 · 25 das Ergebnis 575. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 575

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 114
  2. 71
  3. 1291
  4. 73
  5. 272
  6. 533
  7. 110
  8. 312
  9. 639
  10. 22
  11. 56 Murmeln
  12. 148
  13. 10
  14. 77
  15. 84
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 3000
  19. vertauschen, 171
  20. vertauschen, 156
  21. zerlegen, 623
  22. falsch, richtig ist 720
  23. stimmt, 35
  24. falsch, richtig ist 538
  25. 78
  26. 400
  27. 21
  28. 90
  29. 105
  30. 114 Kästchen
  31. 42
  32. 105
  33. 549
  34. 14
  35. 80
  36. 80
  37. vertauschen, 134
  38. stimmt, 575
  39. 36
  40. 26
  41. 26
  42. 7