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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 48 − 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 48 − 30 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●40
    Rechne: (8 + 5) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 5 = 13
    2. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 6 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 9 = 54
    2. 6 + 54 = 60
    Ergebnis:
    60
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 37 und erhalte 94. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lina rechnet 91 + 37 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
91379
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 91 + 9 + 37
  2. 91 + 9 = 100
  3. 100 + 37 = 137
  1. Vertauschen: 91 + 9 + 37
  2. 91 + 9 = 100
  3. 100 + 37 = 137
Ergebnis:
137

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 29 + 47 + 31
    294731
    So fängst du an:
    Vertauschen: 29 + 31 + 47
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 29 + 31 + 47
    2. 29 + 31 = 60
    3. 60 + 47 = 107
    Ergebnis:
    107
  2. ●2
    Paul rechnet 19 + 82 + 41 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    198241
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 41 + 82
    2. 19 + 41 = 60
    3. 60 + 82 = 142
    Ergebnis:
    142
  3. ★3
    Rechne geschickt: 124 + 698 + 876
    124698876
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 124 + 876 + 698
    2. 124 + 876 = 1000
    3. 1000 + 698 = 1698
    Ergebnis:
    1698

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 49 = 70 + ___
6949
Schritt für Schritt
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 49 um 1 kleiner werden: 49 − 1 = 48
  3. 70 + 48 = 118
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 49 um 1 kleiner werden: 49 − 1 = 48
  3. 70 + 48 = 118
Ergebnis:
48

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 88 = 300 + ___
    29988
    So fängst du an:
    299 wird zu 300: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 88 um 1 kleiner werden: 88 − 1 = 87
    3. 300 + 87 = 387
    Ergebnis:
    87
  2. ●5
    Milan rechnet 38 + 78 als 40 + 78. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    3878
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 78 = 118.
    3. 2 wieder abziehen: 118 − 2 = 116
    Ergebnis:
    116
  3. ★6
    Can rechnet 496 + 359 als 500 + 359. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    496359
    Lösung zeigen
    1. Can hat 496 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 500 + 359 = 859.
    3. 4 wieder abziehen: 859 − 4 = 855
    Ergebnis:
    855

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Hefte mit je 65 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 65
  2. 65 = 60 + 5
  3. 6 · 60 = 360 und 6 · 5 = 30
  4. 360 + 30 = 390
  1. 6 · 65
  2. 65 = 60 + 5
  3. 6 · 60 = 360 und 6 · 5 = 30
  4. 360 + 30 = 390
Ergebnis:
390 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Reihen mit je 38 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 38
    Lösung zeigen
    1. 8 · 38
    2. 38 = 30 + 8
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 8 = 64
    4. 240 + 64 = 304
    Ergebnis:
    304 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 − 4 = 236
    Ergebnis:
    236
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 353
    Lösung zeigen
    1. 353 = 300 + 50 + 3
    2. 5 · 300 = 1500; 5 · 50 = 250; 5 · 3 = 15
    3. 1500 + 250 + 15 = 1765
    Ergebnis:
    1765

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 306 : 6
Schritt für Schritt
  1. 306 = 300 + 6
  2. 300 : 6 = 50 und 6 : 6 = 1
  3. 50 + 1 = 51
  1. 306 = 300 + 6
  2. 300 : 6 = 50 und 6 : 6 = 1
  3. 50 + 1 = 51
Ergebnis:
51

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 172 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 172 : 4?
    172: 4
    So fängst du an:
    172 = 160 + 12
    Lösung zeigen
    1. 172 = 160 + 12
    2. 160 : 4 = 40 und 12 : 4 = 3
    3. 40 + 3 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 203 : 7
    Lösung zeigen
    1. 203 = 140 + 63
    2. 140 : 7 = 20 und 63 : 7 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  3. ★12
    840 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 840 : 8
    2. 840 = 800 + 40
    3. 800 : 8 = 100 und 40 : 8 = 5
    4. 100 + 5 = 105
    Ergebnis:
    105 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 43 − 12 = ___ − 13
Schritt für Schritt
  1. 12 wird zu 13: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 43 um 1 größer.
  3. 43 + 1 = 44
  1. 12 wird zu 13: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 43 um 1 größer.
  3. 43 + 1 = 44
Ergebnis:
44

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 12 = 7 · ___
    14 · 12=7 · ?
    So fängst du an:
    14 wird halb so groß: 7.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 8 = 8 · ___
    16 · 8=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 72 + 50 = 62 + ___
    72 + 50=62 + ?
    Lösung zeigen
    1. 72 wird zu 62: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 50 um 10 größer.
    3. 50 + 10 = 60
    Ergebnis:
    60

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Hanna verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Tom verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 42 + 72 + 58? Nenne ihn und rechne.
42 + 72 + 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 72 = 172
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 72 = 172
Ergebnis:
vertauschen, 172

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 131 + 299? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 131 + 299 = 130 + 300
    3. 130 + 300 = 430
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 430

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 41 · 26 das Ergebnis 866. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
  2. 866 liegt zu weit weg. Genau: 41 · 26 = 1066
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
  2. 866 liegt zu weit weg. Genau: 41 · 26 = 1066
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1066

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna rechnet 87 : 3 und erhält 31. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    87 : 3Ergebnis 31?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 31 · 3 = 93
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 31 · 3 = 93
    2. 93 ist nicht 87: Es ist falsch.
    3. 87 : 3 = 29
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 29
  2. ●23
    Tom rechnet 180 : 4 und erhält 45. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    180 : 4Ergebnis 45?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 45 · 4 = 180
    2. 180 ist genau 180: Es stimmt.
    3. 180 : 4 = 45
    Ergebnis:
    stimmt, 45
  3. ★24
    Can rechnet 8051 − 3561 und erhält 4490. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4490 + 3561 = 8051
    2. 8051 ist genau 8051: Es stimmt.
    3. 8051 − 3561 = 4490
    Ergebnis:
    stimmt, 4490

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Zeynep rechnet 25 + 24 + 25 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    252425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 25 + 24
    2. 25 + 25 = 50
    3. 50 + 24 = 74
    Ergebnis:
    74
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Kisten. In jeder Kiste sind 4 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Kisten4 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 4
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 4 = 400
    Ergebnis:
    400 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 66 = 70 + ___
    6966
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 66 um 1 kleiner werden: 66 − 1 = 65
    3. 70 + 65 = 135
    Ergebnis:
    65
  4. ●28
    Sofia rechnet 133 − 47 als 133 − 50 und erhält 83. Ist das schon das Ergebnis?
    133 − 47133 − 50
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 83 + 3 = 86
    Ergebnis:
    Nein, 86
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 64
    Lösung zeigen
    1. 64 = 60 + 4
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 4 = 16
    3. 240 + 16 = 256
    Ergebnis:
    256
  6. ●30
    Zeynep rechnet 6 · 23 so: erst 6 · 20, dann 3 dazu. Zeynep erhält 123. Zeige am Bild, was fehlt.
    2036
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 6 · 3 = 18
    3. 120 + 18 = 138
    Ergebnis:
    138

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 82 + 21 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    98221
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 49 = 40 + ___
    3849
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Hefte mit je 47 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    141 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 621 : 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 10 = 7 · ___
    14 · 10=7 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 212 + 198? Nenne ihn und rechne.
    212 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 410

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can rechnet 882 : 9 und erhält 98. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    882 : 9Ergebnis 98?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 98

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 107
  2. 142
  3. 1698
  4. 87
  5. 116
  6. 855
  7. 304 Stühle
  8. 236
  9. 1765
  10. 43
  11. 29
  12. 105 Bücher
  13. 24
  14. 16
  15. 60
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. 3000
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. gegensinnig verändern, 430
  22. falsch, richtig ist 29
  23. stimmt, 45
  24. stimmt, 4490
  25. 74
  26. 400 Bälle
  27. 65
  28. Nein, 86
  29. 256
  30. 138
  31. 112
  32. 47
  33. 141 Hefte
  34. 69
  35. 20
  36. 200
  37. gegensinnig verändern, 410
  38. stimmt, 98
  39. 18
  40. 26
  41. 60
  42. 57