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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 28 − 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 28 − 20 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●40
    Rechne: (4 + 9) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 9 = 13
    2. 13 · 6 = 78
    Ergebnis:
    78

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 6 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 5 = 30
    2. 6 + 30 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 38 und erhalte 96. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 56 + 11 + 4
56114
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 56 + 4 + 11
  2. 56 + 4 = 60
  3. 60 + 11 = 71
  1. Vertauschen: 56 + 4 + 11
  2. 56 + 4 = 60
  3. 60 + 11 = 71
Ergebnis:
71

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Emma rechnet 21 + 11 + 39 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    211139
    So fängst du an:
    Vertauschen: 21 + 39 + 11
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 39 + 11
    2. 21 + 39 = 60
    3. 60 + 11 = 71
    Ergebnis:
    71
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 37 + 36 + 3 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    37363
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 3 + 36
    2. 37 + 3 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 36 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 97 + 546 + 103 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    97546103
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 97 + 103 + 546
    2. 97 + 103 = 200
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 546 = 746
    Ergebnis:
    746

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 94
4794
Schritt für Schritt
  1. 47 bekommt 3 dazu, 94 gibt 3 ab.
  2. 47 + 94 = 50 + 91
  3. 50 + 91 = 141
  1. 47 bekommt 3 dazu, 94 gibt 3 ab.
  2. 47 + 94 = 50 + 91
  3. 50 + 91 = 141
Ergebnis:
141

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Noah rechnet 298 + 35 als 300 + 35. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    29835
    So fängst du an:
    Noah hat 298 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 35 = 335.
    3. 2 wieder abziehen: 335 − 2 = 333
    Ergebnis:
    333
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 47 = 300 + ___
    29947
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 47 um 1 kleiner werden: 47 − 1 = 46
    3. 300 + 46 = 346
    Ergebnis:
    46
  3. ★6
    Noah rechnet 699 + 143 als 700 + 143. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    699143
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 699 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 700 + 143 = 843.
    3. 1 wieder abziehen: 843 − 1 = 842
    Ergebnis:
    842

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Hefte mit je 35 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 35
  2. 35 = 30 + 5
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 5 = 25
  4. 150 + 25 = 175
  1. 5 · 35
  2. 35 = 30 + 5
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 5 = 25
  4. 150 + 25 = 175
Ergebnis:
175 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 63
    So fängst du an:
    63 = 60 + 3
    Lösung zeigen
    1. 63 = 60 + 3
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 3 = 18
    3. 360 + 18 = 378
    Ergebnis:
    378
  2. ●8
    Es gibt 7 Tüten mit je 38 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 38
    2. 38 = 30 + 8
    3. 7 · 30 = 210 und 7 · 8 = 56
    4. 210 + 56 = 266
    Ergebnis:
    266 Bonbons
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 138 : 3
Schritt für Schritt
  1. 138 = 120 + 18
  2. 120 : 3 = 40 und 18 : 3 = 6
  3. 40 + 6 = 46
  1. 138 = 120 + 18
  2. 120 : 3 = 40 und 18 : 3 = 6
  3. 40 + 6 = 46
Ergebnis:
46

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 130 : 5
    So fängst du an:
    130 = 100 + 30
    Lösung zeigen
    1. 130 = 100 + 30
    2. 100 : 5 = 20 und 30 : 5 = 6
    3. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●11
    328 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 328 : 8
    2. 328 = 320 + 8
    3. 320 : 8 = 40 und 8 : 8 = 1
    4. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 438 : 3
    Lösung zeigen
    1. 438 = 420 + 18
    2. 420 : 3 = 140 und 18 : 3 = 6
    3. 140 + 6 = 146
    Ergebnis:
    146

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 13 = 2 · ___
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 79 − 31 = ___ − 41
    So fängst du an:
    31 wird zu 41: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 31 wird zu 41: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 79 um 10 größer.
    3. 79 + 10 = 89
    Ergebnis:
    89
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 48 + 63 = 51 + ___
    48 + 63=51 + ?
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 51: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 63 um 3 kleiner.
    3. 63 − 3 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 5 · 43 + 5 · 7 = 5 · ___
    5 · 43 + 5 · 7=5 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 43 und 5 mal 7 sind zusammen 5 mal (43 + 7).
    3. 43 + 7 = 50
    Ergebnis:
    50

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Paul verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Jonas verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 25 + 56 + 75? Nenne ihn und rechne.
25 + 56 + 75zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 25 + 75 = 100
  3. 100 + 56 = 156
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 25 + 75 = 100
  3. 100 + 56 = 156
Ergebnis:
vertauschen, 156

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 5 · 24? Nenne ihn und rechne.
    5 · 24zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 24 = 20 + 4.
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 4 = 20
    3. Zusammen: 120
    Ergebnis:
    zerlegen, 120

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep rechnet 354 − 293 und erhält 51. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 51 + 293 = 344
  2. 344 ist nicht 354: Es ist falsch.
  3. 354 − 293 = 61
  1. Umkehraufgabe: 51 + 293 = 344
  2. 344 ist nicht 354: Es ist falsch.
  3. 354 − 293 = 61
Ergebnis:
falsch, richtig ist 61

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 147 : 3 und erhält 51. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    147 : 3Ergebnis 51?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 51 · 3 = 153
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 51 · 3 = 153
    2. 153 ist nicht 147: Es ist falsch.
    3. 147 : 3 = 49
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 49
  2. ●23
    Mia rechnet 666 − 136 und erhält 630. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 630 + 136 = 766
    2. 766 ist nicht 666: Es ist falsch.
    3. 666 − 136 = 530
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 530
  3. ★24
    Elias rechnet 588 : 3 und erhält 196. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    588 : 3Ergebnis 196?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 196 · 3 = 588
    2. 588 ist genau 588: Es stimmt.
    3. 588 : 3 = 196
    Ergebnis:
    stimmt, 196

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Tom rechnet 38 + 51 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    385122
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 38 + 22 + 51
    2. 38 + 22 = 60
    3. 60 + 51 = 111
    Ergebnis:
    111
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 17 · 25 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    17254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 17
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700
  3. ●27
    Emma rechnet 39 + 76 als 40 + 76. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    3976
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 76 = 116.
    3. 1 wieder abziehen: 116 − 1 = 115
    Ergebnis:
    115
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 220 − 199 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 220 um 1 größer: 221.
    3. 221 − 200 = 21
    Ergebnis:
    221
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    3. 240 − 6 = 234
    Ergebnis:
    234
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 18?
    1085
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 10 = 50
    2. Rechts: 5 · 8 = 40
    3. 5 · 18 = 50 + 40 = 90
    Ergebnis:
    5 · 10 und 5 · 8, zusammen 90

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 35 + 36 + 15
    353615
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    86

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 54
    19854
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    252

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 48
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    240

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 294 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 294 : 6?
    294: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 70 + 61 = 69 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Milan verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 172 + 399? Nenne ihn und rechne.
    172 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 571

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina erhält für 49 · 46 das Ergebnis 2054. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2254

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 71
  2. 76
  3. 746
  4. 333
  5. 46
  6. 842
  7. 378
  8. 266 Bonbons
  9. 295
  10. 26
  11. 41 Sticker
  12. 146
  13. 89
  14. 60
  15. 50
  16. 210
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. zerlegen, 120
  22. falsch, richtig ist 49
  23. falsch, richtig ist 530
  24. stimmt, 196
  25. 111
  26. 1700
  27. 115
  28. 221
  29. 234
  30. 5 · 10 und 5 · 8, zusammen 90
  31. 86
  32. 252
  33. 240
  34. 49
  35. 62
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. gegensinnig verändern, 571
  38. falsch, richtig ist 2254
  39. 8
  40. 78
  41. 36
  42. 58