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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 70 − 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 70 − 32 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●40
    Rechne: (7 + 7) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 7 = 14
    2. 14 · 8 = 112
    Ergebnis:
    112

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 10 + 16 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 73. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Paul rechnet 17 + 24 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
172433
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 33 + 24
  2. 17 + 33 = 50
  3. 50 + 24 = 74
  1. Vertauschen: 17 + 33 + 24
  2. 17 + 33 = 50
  3. 50 + 24 = 74
Ergebnis:
74

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 25 + 89 + 15
    258915
    So fängst du an:
    Vertauschen: 25 + 15 + 89
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 15 + 89
    2. 25 + 15 = 40
    3. 40 + 89 = 129
    Ergebnis:
    129
  2. ●2
    Rechne geschickt: 23 + 24 + 17
    232417
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 17 + 24
    2. 23 + 17 = 40
    3. 40 + 24 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★3
    Aylin rechnet 13 + 675 + 41 + 87 + 59 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    13675418759
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 87 + 41 + 59 + 675
    2. 13 + 87 = 100 und 41 + 59 = 100
    3. 100 + 100 + 675 = 875
    Ergebnis:
    875

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 55
6855
Schritt für Schritt
  1. 68 bekommt 2 dazu, 55 gibt 2 ab.
  2. 68 + 55 = 70 + 53
  3. 70 + 53 = 123
  1. 68 bekommt 2 dazu, 55 gibt 2 ab.
  2. 68 + 55 = 70 + 53
  3. 70 + 53 = 123
Ergebnis:
123

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lina rechnet 69 + 76 als 70 + 76. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    6976
    So fängst du an:
    Lina hat 69 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 76 = 146.
    3. 1 wieder abziehen: 146 − 1 = 145
    Ergebnis:
    145
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 55
    29755
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 55 gibt 3 ab.
    2. 297 + 55 = 300 + 52
    3. 300 + 52 = 352
    Ergebnis:
    352
  3. ★6
    Emma rechnet 1999 + 642 als 2000 + 642. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    1999642
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 1999 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 2000 + 642 = 2642.
    3. 1 wieder abziehen: 2642 − 1 = 2641
    Ergebnis:
    2641

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 68
Schritt für Schritt
  1. 68 = 60 + 8
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 8 = 32
  3. 240 + 32 = 272
  1. 68 = 60 + 8
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 8 = 32
  3. 240 + 32 = 272
Ergebnis:
272

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 3 Hefte mit je 18 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    3 · 18
    Lösung zeigen
    1. 3 · 18
    2. 18 = 10 + 8
    3. 3 · 10 = 30 und 3 · 8 = 24
    4. 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    54 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 46
    Lösung zeigen
    1. 46 = 40 + 6
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 6 = 18
    3. 120 + 18 = 138
    Ergebnis:
    138
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 6 · 200 = 1200 und 6 · 2 = 12
    3. 1200 − 12 = 1188
    Ergebnis:
    1188

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 117 : 3
Schritt für Schritt
  1. 117 = 90 + 27
  2. 90 : 3 = 30 und 27 : 3 = 9
  3. 30 + 9 = 39
  1. 117 = 90 + 27
  2. 90 : 3 = 30 und 27 : 3 = 9
  3. 30 + 9 = 39
Ergebnis:
39

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 126 : 9
    So fängst du an:
    126 = 90 + 36
    Lösung zeigen
    1. 126 = 90 + 36
    2. 90 : 9 = 10 und 36 : 9 = 4
    3. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 110 : 5
    Lösung zeigen
    1. 110 = 100 + 10
    2. 100 : 5 = 20 und 10 : 5 = 2
    3. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★12
    938 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 938 : 7
    2. 938 = 910 + 28
    3. 910 : 7 = 130 und 28 : 7 = 4
    4. 130 + 4 = 134
    Ergebnis:
    134 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 6 · 3 = 3 · ___
6 · 3=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 12 = 3 · ___
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 68 + 71 = 78 + ___
    68 + 71=78 + ?
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 78: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 71 um 10 kleiner.
    3. 71 − 10 = 61
    Ergebnis:
    61
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 48 + 24 = 50 + ___
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 24 um 2 kleiner.
    3. 24 − 2 = 22
    Ergebnis:
    22

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Tom verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 35 + 26 + 65? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 35 + 65 = 100
  3. 100 + 26 = 126
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 35 + 65 = 100
  3. 100 + 26 = 126
Ergebnis:
vertauschen, 126

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 156 + 299? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 156 + 299 = 155 + 300
    3. 155 + 300 = 455
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 455
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 43? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 43 = 40 + 3.
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 3 = 27
    3. Zusammen: 387
    Ergebnis:
    zerlegen, 387
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia rechnet 576 : 8 und erhält 71. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
576 : 8Ergebnis 71?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 71 · 8 = 568
  2. 568 ist nicht 576: Es ist falsch.
  3. 576 : 8 = 72
  1. Umkehraufgabe: 71 · 8 = 568
  2. 568 ist nicht 576: Es ist falsch.
  3. 576 : 8 = 72
Ergebnis:
falsch, richtig ist 72

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna rechnet 659 − 454 und erhält 205. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 205 + 454 = 659
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 205 + 454 = 659
    2. 659 ist genau 659: Es stimmt.
    3. 659 − 454 = 205
    Ergebnis:
    stimmt, 205
  2. ●23
    Aylin rechnet 840 − 320 und erhält 510. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 510 + 320 = 830
    2. 830 ist nicht 840: Es ist falsch.
    3. 840 − 320 = 520
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 520
  3. ★24
    Aylin rechnet 723 : 3 und erhält 251. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    723 : 3Ergebnis 251?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 251 · 3 = 753
    2. 753 ist nicht 723: Es ist falsch.
    3. 723 : 3 = 241
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 241

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Tom rechnet 4 + 81 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    48136
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 36 + 81
    2. 4 + 36 = 40
    3. 40 + 81 = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 11 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Packungen11 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 11
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 11 = 110
    Ergebnis:
    110 Bälle
  3. ●27
    Lina rechnet 97 + 34 als 100 + 34. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    9734
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 34 = 134.
    3. 3 wieder abziehen: 134 − 3 = 131
    Ergebnis:
    131
  4. ●28
    Tom rechnet 102 − 49 als 102 − 50 und erhält 52. Ist das schon das Ergebnis?
    102 − 49102 − 50
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 52 + 1 = 53
    Ergebnis:
    Nein, 53
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 42
    Lösung zeigen
    1. 42 = 40 + 2
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 2 = 18
    3. 360 + 18 = 378
    Ergebnis:
    378
  6. ●30
    Milan rechnet 5 · 23 so: erst 5 · 20, dann 3 dazu. Milan erhält 103. Zeige am Bild, was fehlt.
    2035
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 5 · 3 = 15
    3. 100 + 15 = 115
    Ergebnis:
    115

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Jonas rechnet 54 + 71 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    54716
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    131

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 46
    6746
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    113

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Hefte mit je 68 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    204 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    56 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 57 − 36 = ___ − 41
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 353 + 299? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 652

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 830 − 171 und erhält 659. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 659

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 129
  2. 64
  3. 875
  4. 145
  5. 352
  6. 2641
  7. 54 Hefte
  8. 138
  9. 1188
  10. 14
  11. 22
  12. 134 Sticker
  13. 24
  14. 61
  15. 22
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 490
  19. gegensinnig verändern, 455
  20. zerlegen, 387
  21. halbieren und verdoppeln, 300
  22. stimmt, 205
  23. falsch, richtig ist 520
  24. falsch, richtig ist 241
  25. 121
  26. 110 Bälle
  27. 131
  28. Nein, 53
  29. 378
  30. 115
  31. 131
  32. 113
  33. 204 Hefte
  34. 14 Sticker
  35. 62
  36. 400
  37. gegensinnig verändern, 652
  38. stimmt, 659
  39. 38
  40. 112
  41. 26
  42. 42