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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 39 − 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 39 − 15 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●40
    Rechne: (9 + 5) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 5 = 14
    2. 14 · 6 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 5 + 14 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 40 und erhalte 49. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Zeynep rechnet 37 + 61 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
376113
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 37 + 13 + 61
  2. 37 + 13 = 50
  3. 50 + 61 = 111
  1. Vertauschen: 37 + 13 + 61
  2. 37 + 13 = 50
  3. 50 + 61 = 111
Ergebnis:
111

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Sofia rechnet 45 + 16 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    45165
    So fängst du an:
    Vertauschen: 45 + 5 + 16
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 45 + 5 + 16
    2. 45 + 5 = 50
    3. 50 + 16 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●2
    Rechne geschickt: 59 + 47 + 41
    594741
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 59 + 41 + 47
    2. 59 + 41 = 100
    3. 100 + 47 = 147
    Ergebnis:
    147
  3. ★3
    Zeynep rechnet 134 + 482 + 66 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    13448266
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 134 + 66 + 482
    2. 134 + 66 = 200
    3. 200 + 482 = 682
    Ergebnis:
    682

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 39 = 200 + ___
19839
Schritt für Schritt
  1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
  2. Also muss 39 um 2 kleiner werden: 39 − 2 = 37
  3. 200 + 37 = 237
  1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
  2. Also muss 39 um 2 kleiner werden: 39 − 2 = 37
  3. 200 + 37 = 237
Ergebnis:
37

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 68 = 40 + ___
    3768
    So fängst du an:
    37 wird zu 40: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 68 um 3 kleiner werden: 68 − 3 = 65
    3. 40 + 65 = 105
    Ergebnis:
    65
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 47
    6847
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 47 gibt 2 ab.
    2. 68 + 47 = 70 + 45
    3. 70 + 45 = 115
    Ergebnis:
    115
  3. ★6
    Noah rechnet 996 + 979 als 1000 + 979. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    996979
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 1000 + 979 = 1979.
    3. 4 wieder abziehen: 1979 − 4 = 1975
    Ergebnis:
    1975

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Tüten mit je 15 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 15
  2. 15 = 10 + 5
  3. 8 · 10 = 80 und 8 · 5 = 40
  4. 80 + 40 = 120
  1. 8 · 15
  2. 15 = 10 + 5
  3. 8 · 10 = 80 und 8 · 5 = 40
  4. 80 + 40 = 120
Ergebnis:
120 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 16
    Lösung zeigen
    1. 16 = 10 + 6
    2. 9 · 10 = 90 und 9 · 6 = 54
    3. 90 + 54 = 144
    Ergebnis:
    144
  3. ★9
    Es gibt 5 Reihen mit je 55 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 55
    2. 55 = 50 + 5
    3. 5 · 50 = 250 und 5 · 5 = 25
    4. 250 + 25 = 275
    Ergebnis:
    275 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

245 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 245 : 7
  2. 245 = 210 + 35
  3. 210 : 7 = 30 und 35 : 7 = 5
  4. 30 + 5 = 35
  1. 245 : 7
  2. 245 = 210 + 35
  3. 210 : 7 = 30 und 35 : 7 = 5
  4. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    80 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    80 : 5
    Lösung zeigen
    1. 80 : 5
    2. 80 = 50 + 30
    3. 50 : 5 = 10 und 30 : 5 = 6
    4. 10 + 6 = 16
    Ergebnis:
    16 Sticker
  2. ●11
    136 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 136 : 4
    2. 136 = 120 + 16
    3. 120 : 4 = 30 und 16 : 4 = 4
    4. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34 Sticker
  3. ★12
    930 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 930 : 6
    2. 930 = 900 + 30
    3. 900 : 6 = 150 und 30 : 6 = 5
    4. 150 + 5 = 155
    Ergebnis:
    155 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 88 − 39 = ___ − 40
Schritt für Schritt
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 88 um 1 größer.
  3. 88 + 1 = 89
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 88 um 1 größer.
  3. 88 + 1 = 89
Ergebnis:
89

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 68 − 61 = ___ − 71
    So fängst du an:
    61 wird zu 71: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 61 wird zu 71: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 10 größer.
    3. 68 + 10 = 78
    Ergebnis:
    78
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 28 + 67 = 30 + ___
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 67 um 2 kleiner.
    3. 67 − 2 = 65
    Ergebnis:
    65
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 6 · 63 + 6 · 5 = 6 · ___
    6 · 63 + 6 · 5=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 63 und 6 mal 5 sind zusammen 6 mal (63 + 5).
    3. 63 + 5 = 68
    Ergebnis:
    68

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Jonas verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 14 + 71 + 86? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 14 + 86 = 100
  3. 100 + 71 = 171
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 14 + 86 = 100
  3. 100 + 71 = 171
Ergebnis:
vertauschen, 171

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 52? Nenne ihn und rechne.
    6 · 52zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 52 = 50 + 2.
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 2 = 12
    3. Zusammen: 312
    Ergebnis:
    zerlegen, 312
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 70? Nenne ihn und rechne.
    5 · 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
    2. 5 · 70 = 350 und 5 · 0 = 0
    3. Zusammen: 350
    Ergebnis:
    zerlegen, 350

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 210 : 6 und erhält 36. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
210 : 6Ergebnis 36?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 36 · 6 = 216
  2. 216 ist nicht 210: Es ist falsch.
  3. 210 : 6 = 35
  1. Umkehraufgabe: 36 · 6 = 216
  2. 216 ist nicht 210: Es ist falsch.
  3. 210 : 6 = 35
Ergebnis:
falsch, richtig ist 35

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 712 : 8 und erhält 89. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    712 : 8Ergebnis 89?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 89 · 8 = 712
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 89 · 8 = 712
    2. 712 ist genau 712: Es stimmt.
    3. 712 : 8 = 89
    Ergebnis:
    stimmt, 89
  2. ●23
    Jonas rechnet 856 − 612 und erhält 264. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 264 + 612 = 876
    2. 876 ist nicht 856: Es ist falsch.
    3. 856 − 612 = 244
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 244
  3. ★24
    Noah rechnet 5376 : 8 und erhält 673. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    5376 : 8Ergebnis 673?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 673 · 8 = 5384
    2. 5384 ist nicht 5376: Es ist falsch.
    3. 5376 : 8 = 672
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 672

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 53 + 16 + 7
    53167
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 53 + 7 + 16
    2. 53 + 7 = 60
    3. 60 + 16 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 11 · 4 · 25 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    11425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 11
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 11 = 1100
    Ergebnis:
    1100
  3. ●27
    Lina rechnet 49 + 45 als 50 + 45. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    4945
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 45 = 95.
    3. 1 wieder abziehen: 95 − 1 = 94
    Ergebnis:
    94
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 114 − 97 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 114 um 3 größer: 117.
    3. 117 − 100 = 17
    Ergebnis:
    117
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 41
    Lösung zeigen
    1. 41 = 40 + 1
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    3. 120 + 3 = 123
    Ergebnis:
    123
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 19 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1097
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 10 = 70
    2. Rechter Teil: 7 · 9 = 63
    3. Zusammen: 70 + 63 = 133
    Ergebnis:
    133 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lina rechnet 7 + 77 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    77713
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    97

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Elias rechnet 199 + 56 als 200 + 56. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    19956
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    255

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Reihen mit je 66 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    528 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 225 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 59 + 27 = 60 + ___
    59 + 27=60 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 534 − 249 und erhält 385. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 285

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 66
  2. 147
  3. 682
  4. 65
  5. 115
  6. 1975
  7. 392
  8. 144
  9. 275 Stühle
  10. 16 Sticker
  11. 34 Sticker
  12. 155 Bücher
  13. 78
  14. 65
  15. 68
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 70
  18. 180
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. zerlegen, 312
  21. zerlegen, 350
  22. stimmt, 89
  23. falsch, richtig ist 244
  24. falsch, richtig ist 672
  25. 76
  26. 1100
  27. 94
  28. 117
  29. 123
  30. 133 Kästchen
  31. 97
  32. 255
  33. 528 Stühle
  34. 45
  35. 26
  36. 200
  37. halbieren und verdoppeln, 90
  38. falsch, richtig ist 285
  39. 24
  40. 84
  41. 19
  42. 9