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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 44 − 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 44 − 15 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●40
    Rechne: (4 + 4) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 4 = 8
    2. 8 · 9 = 72
    Ergebnis:
    72

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 8 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 6 = 48
    2. 12 + 48 = 60
    Ergebnis:
    60
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 4 und erhalte 41. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 11 + 66 + 29
116629
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 11 + 29 + 66
  2. 11 + 29 = 40
  3. 40 + 66 = 106
  1. Vertauschen: 11 + 29 + 66
  2. 11 + 29 = 40
  3. 40 + 66 = 106
Ergebnis:
106

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 4 + 62 + 36 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    46236
    So fängst du an:
    Vertauschen: 4 + 36 + 62
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 36 + 62
    2. 4 + 36 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 62 = 102
    Ergebnis:
    102
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 85 + 43 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    178543
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 43 + 85
    2. 17 + 43 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 85 = 145
    Ergebnis:
    145
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 36 + 476 + 164 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    36476164
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 164 + 476
    2. 36 + 164 = 200
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 476 = 676
    Ergebnis:
    676

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Aylin rechnet 67 + 95 als 70 + 95. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
6795
Schritt für Schritt
  1. Aylin hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 95 = 165.
  3. 3 wieder abziehen: 165 − 3 = 162
  1. Aylin hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 95 = 165.
  3. 3 wieder abziehen: 165 − 3 = 162
Ergebnis:
162

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 74
    9874
    So fängst du an:
    98 bekommt 2 dazu, 74 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 74 gibt 2 ab.
    2. 98 + 74 = 100 + 72
    3. 100 + 72 = 172
    Ergebnis:
    172
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 32 = 200 + ___
    19932
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 32 um 1 kleiner werden: 32 − 1 = 31
    3. 200 + 31 = 231
    Ergebnis:
    31
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 397 + 746 = 400 + ___
    397746
    Lösung zeigen
    1. 397 wird zu 400: 3 mehr.
    2. Also muss 746 um 3 kleiner werden: 746 − 3 = 743
    3. 400 + 743 = 1143
    Ergebnis:
    743

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Hefte mit je 15 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 15
  2. 15 = 10 + 5
  3. 8 · 10 = 80 und 8 · 5 = 40
  4. 80 + 40 = 120
  1. 8 · 15
  2. 15 = 10 + 5
  3. 8 · 10 = 80 und 8 · 5 = 40
  4. 80 + 40 = 120
Ergebnis:
120 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  2. ●8
    Es gibt 4 Tüten mit je 64 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 64
    2. 64 = 60 + 4
    3. 4 · 60 = 240 und 4 · 4 = 16
    4. 240 + 16 = 256
    Ergebnis:
    256 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 5 Hefte mit je 64 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 64
    2. 64 = 60 + 4
    3. 5 · 60 = 300 und 5 · 4 = 20
    4. 300 + 20 = 320
    Ergebnis:
    320 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 128 : 8
Schritt für Schritt
  1. 128 = 80 + 48
  2. 80 : 8 = 10 und 48 : 8 = 6
  3. 10 + 6 = 16
  1. 128 = 80 + 48
  2. 80 : 8 = 10 und 48 : 8 = 6
  3. 10 + 6 = 16
Ergebnis:
16

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 156 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 156 : 6?
    156: 6
    So fängst du an:
    156 = 120 + 36
    Lösung zeigen
    1. 156 = 120 + 36
    2. 120 : 6 = 20 und 36 : 6 = 6
    3. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 165 : 5
    Lösung zeigen
    1. 165 = 150 + 15
    2. 150 : 5 = 30 und 15 : 5 = 3
    3. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33
  3. ★12
    Zerlege 115 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 115 : 5?
    115: 5
    Lösung zeigen
    1. 115 = 100 + 15
    2. 100 : 5 = 20 und 15 : 5 = 3
    3. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    23

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 8 · 4 = 4 · ___
8 · 4=4 · ?
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
Ergebnis:
8

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 64 + 24 = 62 + ___
    64 + 24=62 + ?
    So fängst du an:
    64 wird zu 62: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 64 wird zu 62: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 24 um 2 größer.
    3. 24 + 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 65 − 36 = ___ − 41
    Lösung zeigen
    1. 36 wird zu 41: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 65 um 5 größer.
    3. 65 + 5 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 26 + 72 = 28 + ___
    26 + 72=28 + ?
    Lösung zeigen
    1. 26 wird zu 28: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 72 um 2 kleiner.
    3. 72 − 2 = 70
    Ergebnis:
    70

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Mia verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Noah verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 90

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 30? Nenne ihn und rechne.
    4 · 30zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 30 = 30 + 0.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 30 = 30 + 0.
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 0 = 0
    3. Zusammen: 120
    Ergebnis:
    zerlegen, 120
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 38 + 52 + 62? Nenne ihn und rechne.
    38 + 52 + 62zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 38 + 62 = 100
    3. 100 + 52 = 152
    Ergebnis:
    vertauschen, 152
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 262 + 399? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 262 + 399 = 261 + 400
    3. 261 + 400 = 661
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 661

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep rechnet 728 : 8 und erhält 91. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
728 : 8Ergebnis 91?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 91 · 8 = 728
  2. 728 ist genau 728: Es stimmt.
  3. 728 : 8 = 91
  1. Umkehraufgabe: 91 · 8 = 728
  2. 728 ist genau 728: Es stimmt.
  3. 728 : 8 = 91
Ergebnis:
stimmt, 91

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea rechnet 838 − 515 und erhält 343. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 343 + 515 = 858
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 343 + 515 = 858
    2. 858 ist nicht 838: Es ist falsch.
    3. 838 − 515 = 323
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 323
  2. ●23
    Lea rechnet 405 − 132 und erhält 293. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 293 + 132 = 425
    2. 425 ist nicht 405: Es ist falsch.
    3. 405 − 132 = 273
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 273
  3. ★24
    Can erhält für 169 · 26 das Ergebnis 4494. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 30 = 6000
    2. 4494 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 169 · 26 = 4394
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4394

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 7 + 22 + 13 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    72213
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 22
    2. 7 + 13 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 22 = 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 13 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kisten13 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 13
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 13 = 130
    Ergebnis:
    130 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 66 = 100 + ___
    9966
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 66 um 1 kleiner werden: 66 − 1 = 65
    3. 100 + 65 = 165
    Ergebnis:
    65
  4. ●28
    Tom rechnet 117 − 38 als 117 − 40 und erhält 77. Ist das schon das Ergebnis?
    117 − 38117 − 40
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 77 + 2 = 79
    Ergebnis:
    Nein, 79
  5. ●29
    Es gibt 3 Tüten mit je 26 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 26
    2. 26 = 20 + 6
    3. 3 · 20 = 60 und 3 · 6 = 18
    4. 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    78 Bonbons
  6. ●30
    Jonas rechnet 7 · 24 so: erst 7 · 20, dann 4 dazu. Jonas erhält 144. Zeige am Bild, was fehlt.
    2047
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 7 · 4 = 28
    3. 140 + 28 = 168
    Ergebnis:
    168

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 29 + 49 + 11 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    294911
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    89

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Sofia rechnet 199 + 35 als 200 + 35. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    19935
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    234

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    245 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 91 − 74 = ___ − 84
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    101

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Emma verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 83? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 498

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 575 − 197 und erhält 378. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 378

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 102
  2. 145
  3. 676
  4. 172
  5. 31
  6. 743
  7. 392
  8. 256 Bonbons
  9. 320 Hefte
  10. 26
  11. 33
  12. 23
  13. 26
  14. 70
  15. 70
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. zerlegen, 120
  20. vertauschen, 152
  21. gegensinnig verändern, 661
  22. falsch, richtig ist 323
  23. falsch, richtig ist 273
  24. falsch, richtig ist 4394
  25. 42
  26. 130 Bälle
  27. 65
  28. Nein, 79
  29. 78 Bonbons
  30. 168
  31. 89
  32. 234
  33. 76
  34. 49 Bücher
  35. 101
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. zerlegen, 498
  38. stimmt, 378
  39. 29
  40. 72
  41. 60
  42. 37