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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 9 + 25 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●40
    Rechne: (9 + 6) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 6 = 15
    2. 15 · 3 = 45
    Ergebnis:
    45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 9 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
    2. 3 + 36 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 70. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 23 + 82 + 7 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
23827
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 23 + 7 + 82
  2. 23 + 7 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 82 = 112
  1. Vertauschen: 23 + 7 + 82
  2. 23 + 7 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 82 = 112
Ergebnis:
112

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zeynep rechnet 37 + 81 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    378113
    So fängst du an:
    Vertauschen: 37 + 13 + 81
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 13 + 81
    2. 37 + 13 = 50
    3. 50 + 81 = 131
    Ergebnis:
    131
  2. ●2
    Tom rechnet 28 + 54 + 72 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    285472
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 72 + 54
    2. 28 + 72 = 100
    3. 100 + 54 = 154
    Ergebnis:
    154
  3. ★3
    Rechne geschickt: 56 + 718 + 63 + 44 + 37
    56718634437
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 44 + 63 + 37 + 718
    2. 56 + 44 = 100 und 63 + 37 = 100
    3. 100 + 100 + 718 = 918
    Ergebnis:
    918

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lina rechnet 48 + 93 als 50 + 93. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
4893
Schritt für Schritt
  1. Lina hat 48 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 93 = 143.
  3. 2 wieder abziehen: 143 − 2 = 141
  1. Lina hat 48 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 93 = 143.
  3. 2 wieder abziehen: 143 − 2 = 141
Ergebnis:
141

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ben rechnet 67 + 96 als 70 + 96. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    6796
    So fängst du an:
    Ben hat 67 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 96 = 166.
    3. 3 wieder abziehen: 166 − 3 = 163
    Ergebnis:
    163
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 65 = 200 + ___
    19965
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 65 um 1 kleiner werden: 65 − 1 = 64
    3. 200 + 64 = 264
    Ergebnis:
    64
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 697 + 679
    697679
    Lösung zeigen
    1. 697 bekommt 3 dazu, 679 gibt 3 ab.
    2. 697 + 679 = 700 + 676
    3. 700 + 676 = 1376
    Ergebnis:
    1376

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Tüten mit je 55 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 55
  2. 55 = 50 + 5
  3. 8 · 50 = 400 und 8 · 5 = 40
  4. 400 + 40 = 440
  1. 8 · 55
  2. 55 = 50 + 5
  3. 8 · 50 = 400 und 8 · 5 = 40
  4. 400 + 40 = 440
Ergebnis:
440 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    3. 240 − 6 = 234
    Ergebnis:
    234
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 − 4 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 99
    Lösung zeigen
    1. 99 = 100 − 1
    2. 4 · 100 = 400 und 4 · 1 = 4
    3. 400 − 4 = 396
    Ergebnis:
    396

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

308 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 308 : 7
  2. 308 = 280 + 28
  3. 280 : 7 = 40 und 28 : 7 = 4
  4. 40 + 4 = 44
  1. 308 : 7
  2. 308 = 280 + 28
  3. 280 : 7 = 40 und 28 : 7 = 4
  4. 40 + 4 = 44
Ergebnis:
44 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 180 : 4
    So fängst du an:
    180 = 160 + 20
    Lösung zeigen
    1. 180 = 160 + 20
    2. 160 : 4 = 40 und 20 : 4 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●11
    245 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 245 : 7
    2. 245 = 210 + 35
    3. 210 : 7 = 30 und 35 : 7 = 5
    4. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 985 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 985 : 5?
    985: 5
    Lösung zeigen
    1. 985 = 950 + 35
    2. 950 : 5 = 190 und 35 : 5 = 7
    3. 190 + 7 = 197
    Ergebnis:
    197

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 69 + 41 = 79 + ___
69 + 41=79 + ?
Schritt für Schritt
  1. 69 wird zu 79: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 41 um 10 kleiner.
  3. 41 − 10 = 31
  1. 69 wird zu 79: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 41 um 10 kleiner.
  3. 41 − 10 = 31
Ergebnis:
31

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 31 + 35 = 28 + ___
    31 + 35=28 + ?
    So fängst du an:
    31 wird zu 28: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 31 wird zu 28: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 35 um 3 größer.
    3. 35 + 3 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 7 = 2 · ___
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 49 + 6 · 8 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 49 und 6 mal 8 sind zusammen 6 mal (49 + 8).
    3. 49 + 8 = 57
    Ergebnis:
    57

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Elias verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Lina verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Mia verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 400

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 347 + 198? Nenne ihn und rechne.
    347 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 347 + 198 = 345 + 200
    3. 345 + 200 = 545
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 545

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 682 − 477 und erhält 195. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 195 + 477 = 672
  2. 672 ist nicht 682: Es ist falsch.
  3. 682 − 477 = 205
  1. Umkehraufgabe: 195 + 477 = 672
  2. 672 ist nicht 682: Es ist falsch.
  3. 682 − 477 = 205
Ergebnis:
falsch, richtig ist 205

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can erhält für 33 · 17 das Ergebnis 661. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 20 = 600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 20 = 600
    2. 661 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 33 · 17 = 561
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 561
  2. ●23
    Paul rechnet 342 : 6 und erhält 67. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    342 : 6Ergebnis 67?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 67 · 6 = 402
    2. 402 ist nicht 342: Es ist falsch.
    3. 342 : 6 = 57
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 57
  3. ★24
    Mia erhält für 475 · 44 das Ergebnis 21.900. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 500 · 40 = 20.000
    2. 21.900 liegt zu weit weg. Genau: 475 · 44 = 20.900
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 20.900

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 29 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    15295
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 5 + 29
    2. 15 + 5 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 29 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 11 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kartons11 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 11
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 11 = 110
    Ergebnis:
    110 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 64
    6764
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 64 gibt 3 ab.
    2. 67 + 64 = 70 + 61
    3. 70 + 61 = 131
    Ergebnis:
    131
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 151 − 19 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 20: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 151 um 1 größer: 152.
    3. 152 − 20 = 132
    Ergebnis:
    152
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 40 + 9
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 9 = 81
    3. 360 + 81 = 441
    Ergebnis:
    441
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 22 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2027
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 2 = 14
    3. Zusammen: 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    154 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 11 + 45 + 19
    114519
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ben rechnet 199 + 56 als 200 + 56. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    19956
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    255

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    156

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    255 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 22 + 16 = 19 + ___
    22 + 16=19 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 190 : 5 und erhält 37. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    190 : 5Ergebnis 37?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 38

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 131
  2. 154
  3. 918
  4. 163
  5. 64
  6. 1376
  7. 234
  8. 76
  9. 396
  10. 45
  11. 35 Murmeln
  12. 197
  13. 38
  14. 14
  15. 57
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. gegensinnig verändern, 545
  22. falsch, richtig ist 561
  23. falsch, richtig ist 57
  24. falsch, richtig ist 20.900
  25. 49
  26. 110 Bälle
  27. 131
  28. 152
  29. 441
  30. 154 Kästchen
  31. 75
  32. 255
  33. 156
  34. 51 Sticker
  35. 19
  36. 90
  37. halbieren und verdoppeln, 90
  38. falsch, richtig ist 38
  39. 34
  40. 45
  41. 39
  42. 58