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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 8 + 30 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●40
    Rechne: (8 + 5) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 5 = 13
    2. 13 · 6 = 78
    Ergebnis:
    78

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 6 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 3 = 18
    2. 8 + 18 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 34 und erhalte 43. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 16 + 22 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
162214
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 16 + 14 + 22
  2. 16 + 14 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 22 = 52
  1. Vertauschen: 16 + 14 + 22
  2. 16 + 14 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 22 = 52
Ergebnis:
52

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 5 + 57 + 25 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    55725
    So fängst du an:
    Vertauschen: 5 + 25 + 57
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 25 + 57
    2. 5 + 25 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 57 = 87
    Ergebnis:
    87
  2. ●2
    Rechne geschickt: 5 + 58 + 15
    55815
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 15 + 58
    2. 5 + 15 = 20
    3. 20 + 58 = 78
    Ergebnis:
    78
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 279 + 386 + 26 + 21 + 74 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    279386262174
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 279 + 21 + 26 + 74 + 386
    2. 279 + 21 = 300 und 26 + 74 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 386 = 786
    Ergebnis:
    786

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 66
19966
Schritt für Schritt
  1. 199 bekommt 1 dazu, 66 gibt 1 ab.
  2. 199 + 66 = 200 + 65
  3. 200 + 65 = 265
  1. 199 bekommt 1 dazu, 66 gibt 1 ab.
  2. 199 + 66 = 200 + 65
  3. 200 + 65 = 265
Ergebnis:
265

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 58 = 300 + ___
    29758
    So fängst du an:
    297 wird zu 300: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 58 um 3 kleiner werden: 58 − 3 = 55
    3. 300 + 55 = 355
    Ergebnis:
    55
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 53 = 200 + ___
    19853
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 53 um 2 kleiner werden: 53 − 2 = 51
    3. 200 + 51 = 251
    Ergebnis:
    51
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 497 + 427 = 500 + ___
    497427
    Lösung zeigen
    1. 497 wird zu 500: 3 mehr.
    2. Also muss 427 um 3 kleiner werden: 427 − 3 = 424
    3. 500 + 424 = 924
    Ergebnis:
    424

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
  3. 210 − 7 = 203
  1. 29 = 30 − 1
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
  3. 210 − 7 = 203
Ergebnis:
203

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Tüten mit je 23 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 23
    Lösung zeigen
    1. 9 · 23
    2. 23 = 20 + 3
    3. 9 · 20 = 180 und 9 · 3 = 27
    4. 180 + 27 = 207
    Ergebnis:
    207 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 7 Hefte mit je 65 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 65
    2. 65 = 60 + 5
    3. 7 · 60 = 420 und 7 · 5 = 35
    4. 420 + 35 = 455
    Ergebnis:
    455 Hefte
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
    3. 140 − 7 = 133
    Ergebnis:
    133

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 80 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 80 : 5?
80: 5
Schritt für Schritt
  1. 80 = 50 + 30
  2. 50 : 5 = 10 und 30 : 5 = 6
  3. 10 + 6 = 16
  1. 80 = 50 + 30
  2. 50 : 5 = 10 und 30 : 5 = 6
  3. 10 + 6 = 16
Ergebnis:
16

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    140 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    140 : 5
    Lösung zeigen
    1. 140 : 5
    2. 140 = 100 + 40
    3. 100 : 5 = 20 und 40 : 5 = 8
    4. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28 Bücher
  2. ●11
    132 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 132 : 3
    2. 132 = 120 + 12
    3. 120 : 3 = 40 und 12 : 3 = 4
    4. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 363 : 3
    Lösung zeigen
    1. 363 = 360 + 3
    2. 360 : 3 = 120 und 3 : 3 = 1
    3. 120 + 1 = 121
    Ergebnis:
    121

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 76 − 27 = ___ − 32
Schritt für Schritt
  1. 27 wird zu 32: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 76 um 5 größer.
  3. 76 + 5 = 81
  1. 27 wird zu 32: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 76 um 5 größer.
  3. 76 + 5 = 81
Ergebnis:
81

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 52 + 58 = 49 + ___
    So fängst du an:
    52 wird zu 49: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 52 wird zu 49: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 3 größer.
    3. 58 + 3 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 62 − 45 = ___ − 55
    Lösung zeigen
    1. 45 wird zu 55: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 62 um 10 größer.
    3. 62 + 10 = 72
    Ergebnis:
    72
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 37 + 55 = 39 + ___
    37 + 55=39 + ?
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 39: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 55 um 2 kleiner.
    3. 55 − 2 = 53
    Ergebnis:
    53

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Aylin verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 38? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 38 = 30 + 8.
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 8 = 48
  3. Zusammen: 228
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 38 = 30 + 8.
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 8 = 48
  3. Zusammen: 228
Ergebnis:
zerlegen, 228

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 75? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 75 = 70 + 5.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 75 = 70 + 5.
    2. 5 · 70 = 350 und 5 · 5 = 25
    3. Zusammen: 375
    Ergebnis:
    zerlegen, 375
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 255 + 399? Nenne ihn und rechne.
    255 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 255 + 399 = 254 + 400
    3. 254 + 400 = 654
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 654
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 58? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 58 = 50 + 8.
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 8 = 32
    3. Zusammen: 232
    Ergebnis:
    zerlegen, 232

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia erhält für 35 · 28 das Ergebnis 1980. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
  2. 1980 liegt zu weit weg. Genau: 35 · 28 = 980
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
  2. 1980 liegt zu weit weg. Genau: 35 · 28 = 980
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 980

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 756 : 9 und erhält 84. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    756 : 9Ergebnis 84?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 84 · 9 = 756
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 84 · 9 = 756
    2. 756 ist genau 756: Es stimmt.
    3. 756 : 9 = 84
    Ergebnis:
    stimmt, 84
  2. ●23
    Hanna rechnet 378 : 9 und erhält 44. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    378 : 9Ergebnis 44?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 44 · 9 = 396
    2. 396 ist nicht 378: Es ist falsch.
    3. 378 : 9 = 42
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 42
  3. ★24
    Elias erhält für 394 · 44 das Ergebnis 17.236. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 40 = 16.000
    2. 17.236 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 394 · 44 = 17.336
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 17.336

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lina rechnet 22 + 26 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    222618
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 18 + 26
    2. 22 + 18 = 40
    3. 40 + 26 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kisten. In jeder Kiste sind 18 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kisten18 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 18
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 27
    6727
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 27 gibt 3 ab.
    2. 67 + 27 = 70 + 24
    3. 70 + 24 = 94
    Ergebnis:
    94
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 171 − 38 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 171 um 2 größer: 173.
    3. 173 − 40 = 133
    Ergebnis:
    173
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 33
    Lösung zeigen
    1. 33 = 30 + 3
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 3 = 12
    3. 120 + 12 = 132
    Ergebnis:
    132
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 14?
    1043
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 4 = 12
    3. 3 · 14 = 30 + 12 = 42
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 4, zusammen 42

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 23 + 19 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    231917
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 95
    3795
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    132

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Reihen mit je 65 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    260 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    68 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 3 = 7 · ___
    14 · 3=7 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 347 + 399? Nenne ihn und rechne.
    347 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 746

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul erhält für 69 · 40 das Ergebnis 2960. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2760

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 87
  2. 78
  3. 786
  4. 55
  5. 51
  6. 424
  7. 207 Bonbons
  8. 455 Hefte
  9. 133
  10. 28 Bücher
  11. 44 Sticker
  12. 121
  13. 61
  14. 72
  15. 53
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. 180
  19. zerlegen, 375
  20. gegensinnig verändern, 654
  21. zerlegen, 232
  22. stimmt, 84
  23. falsch, richtig ist 42
  24. falsch, richtig ist 17.336
  25. 66
  26. 1800 Bälle
  27. 94
  28. 173
  29. 132
  30. 3 · 10 und 3 · 4, zusammen 42
  31. 59
  32. 132
  33. 260 Stühle
  34. 17 Bücher
  35. 6
  36. 200
  37. gegensinnig verändern, 746
  38. falsch, richtig ist 2760
  39. 38
  40. 78
  41. 26
  42. 9