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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 5 + 14 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (2 + 8) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 8 = 10
    2. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 12 + 36 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 7 und erhalte 42. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 8 + 61 + 32 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
86132
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 8 + 32 + 61
  2. 8 + 32 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 61 = 101
  1. Vertauschen: 8 + 32 + 61
  2. 8 + 32 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 61 = 101
Ergebnis:
101

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 26 + 23 + 24
    262324
    So fängst du an:
    Vertauschen: 26 + 24 + 23
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 24 + 23
    2. 26 + 24 = 50
    3. 50 + 23 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●2
    Rechne geschickt: 31 + 88 + 29
    318829
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 29 + 88
    2. 31 + 29 = 60
    3. 60 + 88 = 148
    Ergebnis:
    148
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 55 + 738 + 24 + 245 + 76 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    557382424576
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 55 + 245 + 24 + 76 + 738
    2. 55 + 245 = 300 und 24 + 76 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 738 = 1138
    Ergebnis:
    1138

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 86 = 100 + ___
9786
Schritt für Schritt
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 86 um 3 kleiner werden: 86 − 3 = 83
  3. 100 + 83 = 183
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 86 um 3 kleiner werden: 86 − 3 = 83
  3. 100 + 83 = 183
Ergebnis:
83

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 49
    6749
    So fängst du an:
    67 bekommt 3 dazu, 49 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 49 gibt 3 ab.
    2. 67 + 49 = 70 + 46
    3. 70 + 46 = 116
    Ergebnis:
    116
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 34
    4934
    Lösung zeigen
    1. 49 bekommt 1 dazu, 34 gibt 1 ab.
    2. 49 + 34 = 50 + 33
    3. 50 + 33 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 396 + 838 = 400 + ___
    396838
    Lösung zeigen
    1. 396 wird zu 400: 4 mehr.
    2. Also muss 838 um 4 kleiner werden: 838 − 4 = 834
    3. 400 + 834 = 1234
    Ergebnis:
    834

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Hefte mit je 25 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 25
  2. 25 = 20 + 5
  3. 9 · 20 = 180 und 9 · 5 = 45
  4. 180 + 45 = 225
  1. 9 · 25
  2. 25 = 20 + 5
  3. 9 · 20 = 180 und 9 · 5 = 45
  4. 180 + 45 = 225
Ergebnis:
225 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 26
    So fängst du an:
    26 = 20 + 6
    Lösung zeigen
    1. 26 = 20 + 6
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 6 = 42
    3. 140 + 42 = 182
    Ergebnis:
    182
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 − 7 = 273
    Ergebnis:
    273
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 74
    Lösung zeigen
    1. 74 = 70 + 4
    2. 6 · 70 = 420 und 6 · 4 = 24
    3. 420 + 24 = 444
    Ergebnis:
    444

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 348 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 348 : 6?
348: 6
Schritt für Schritt
  1. 348 = 300 + 48
  2. 300 : 6 = 50 und 48 : 6 = 8
  3. 50 + 8 = 58
  1. 348 = 300 + 48
  2. 300 : 6 = 50 und 48 : 6 = 8
  3. 50 + 8 = 58
Ergebnis:
58

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 387 : 9
    So fängst du an:
    387 = 360 + 27
    Lösung zeigen
    1. 387 = 360 + 27
    2. 360 : 9 = 40 und 27 : 9 = 3
    3. 40 + 3 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●11
    114 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 114 : 6
    2. 114 = 60 + 54
    3. 60 : 6 = 10 und 54 : 6 = 9
    4. 10 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 184 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 184 : 8?
    184: 8
    Lösung zeigen
    1. 184 = 160 + 24
    2. 160 : 8 = 20 und 24 : 8 = 3
    3. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    23

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 41 + 74 = 31 + ___
41 + 74=31 + ?
Schritt für Schritt
  1. 41 wird zu 31: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 74 um 10 größer.
  3. 74 + 10 = 84
  1. 41 wird zu 31: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 74 um 10 größer.
  3. 74 + 10 = 84
Ergebnis:
84

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 85 − 18 = ___ − 23
    So fängst du an:
    18 wird zu 23: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird zu 23: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 5 größer.
    3. 85 + 5 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 22 + 79 = 19 + ___
    22 + 79=19 + ?
    Lösung zeigen
    1. 22 wird zu 19: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 79 um 3 größer.
    3. 79 + 3 = 82
    Ergebnis:
    82
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 65 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 65 um 1 größer.
    3. 65 + 1 = 66
    Ergebnis:
    66

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sofia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 225 + 299? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 225 + 299 = 224 + 300
  3. 224 + 300 = 524
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 225 + 299 = 224 + 300
  3. 224 + 300 = 524
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 524

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 5 · 25? Nenne ihn und rechne.
    5 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 25 = 20 + 5.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 25 = 20 + 5.
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 5 = 25
    3. Zusammen: 125
    Ergebnis:
    zerlegen, 125
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 22? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 22 = 20 + 2.
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 2 = 12
    3. Zusammen: 132
    Ergebnis:
    zerlegen, 132
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 + 57 + 82? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 18 + 82 = 100
    3. 100 + 57 = 157
    Ergebnis:
    vertauschen, 157

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 648 − 200 und erhält 458. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 458 + 200 = 658
  2. 658 ist nicht 648: Es ist falsch.
  3. 648 − 200 = 448
  1. Umkehraufgabe: 458 + 200 = 658
  2. 658 ist nicht 648: Es ist falsch.
  3. 648 − 200 = 448
Ergebnis:
falsch, richtig ist 448

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 556 − 200 und erhält 376. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 376 + 200 = 576
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 376 + 200 = 576
    2. 576 ist nicht 556: Es ist falsch.
    3. 556 − 200 = 356
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 356
  2. ●23
    Hanna rechnet 300 : 5 und erhält 59. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    300 : 5Ergebnis 59?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 59 · 5 = 295
    2. 295 ist nicht 300: Es ist falsch.
    3. 300 : 5 = 60
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 60
  3. ★24
    Aylin rechnet 3280 − 3080 und erhält 210. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 210 + 3080 = 3290
    2. 3290 ist nicht 3280: Es ist falsch.
    3. 3280 − 3080 = 200
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 200

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 89 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    12898
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 89
    2. 12 + 8 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 89 = 109
    Ergebnis:
    109
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 6 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kisten6 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 6
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 67 = 300 + ___
    29767
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 67 um 3 kleiner werden: 67 − 3 = 64
    3. 300 + 64 = 364
    Ergebnis:
    64
  4. ●28
    Sofia rechnet 118 − 48 als 118 − 50 und erhält 68. Ist das schon das Ergebnis?
    118 − 48118 − 50
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 68 + 2 = 70
    Ergebnis:
    Nein, 70
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 38
    Lösung zeigen
    1. 38 = 30 + 8
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 8 = 72
    3. 270 + 72 = 342
    Ergebnis:
    342
  6. ●30
    Milan rechnet 4 · 17 so: erst 4 · 10, dann 7 dazu. Milan erhält 47. Zeige am Bild, was fehlt.
    1074
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 7 Kästchen, nicht nur 7.
    2. Rechter Teil: 4 · 7 = 28
    3. 40 + 28 = 68
    Ergebnis:
    68

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Tom rechnet 56 + 76 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    56764
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    136

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 32
    29932
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    331

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Tüten mit je 53 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    212 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 378 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 378 : 6?
    378: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 12 = 9 · ___
    18 · 12=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Lina verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 164 : 4 und erhält 40. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    164 : 4Ergebnis 40?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 41

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 73
  2. 148
  3. 1138
  4. 116
  5. 83
  6. 834
  7. 182
  8. 273
  9. 444
  10. 43
  11. 19 Bücher
  12. 23
  13. 90
  14. 82
  15. 66
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 400
  18. 330
  19. zerlegen, 125
  20. zerlegen, 132
  21. vertauschen, 157
  22. falsch, richtig ist 356
  23. falsch, richtig ist 60
  24. falsch, richtig ist 200
  25. 109
  26. 60 Bälle
  27. 64
  28. Nein, 70
  29. 342
  30. 68
  31. 136
  32. 331
  33. 212 Bonbons
  34. 63
  35. 24
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. falsch, richtig ist 41
  39. 19
  40. 90
  41. 48
  42. 35