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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 8 + 6 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●40
    Rechne: (9 + 2) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 2 = 11
    2. 11 · 6 = 66
    Ergebnis:
    66

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 4 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 3 = 12
    2. 11 + 12 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 34 und erhalte 86. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Ben rechnet 7 + 54 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
75423
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 23 + 54
  2. 7 + 23 = 30
  3. 30 + 54 = 84
  1. Vertauschen: 7 + 23 + 54
  2. 7 + 23 = 30
  3. 30 + 54 = 84
Ergebnis:
84

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lea rechnet 26 + 77 + 24 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    267724
    So fängst du an:
    Vertauschen: 26 + 24 + 77
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 24 + 77
    2. 26 + 24 = 50
    3. 50 + 77 = 127
    Ergebnis:
    127
  2. ●2
    Rechne geschickt: 7 + 35 + 13
    73513
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 35
    2. 7 + 13 = 20
    3. 20 + 35 = 55
    Ergebnis:
    55
  3. ★3
    Rechne geschickt: 33 + 795 + 43 + 167 + 57
    337954316757
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 167 + 43 + 57 + 795
    2. 33 + 167 = 200 und 43 + 57 = 100
    3. 200 + 100 + 795 = 1095
    Ergebnis:
    1095

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 87
29887
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 87 gibt 2 ab.
  2. 298 + 87 = 300 + 85
  3. 300 + 85 = 385
  1. 298 bekommt 2 dazu, 87 gibt 2 ab.
  2. 298 + 87 = 300 + 85
  3. 300 + 85 = 385
Ergebnis:
385

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 59
    19859
    So fängst du an:
    198 bekommt 2 dazu, 59 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 198 bekommt 2 dazu, 59 gibt 2 ab.
    2. 198 + 59 = 200 + 57
    3. 200 + 57 = 257
    Ergebnis:
    257
  2. ●5
    Noah rechnet 298 + 69 als 300 + 69. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    29869
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 69 = 369.
    3. 2 wieder abziehen: 369 − 2 = 367
    Ergebnis:
    367
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 499 + 737 = 500 + ___
    499737
    Lösung zeigen
    1. 499 wird zu 500: 1 mehr.
    2. Also muss 737 um 1 kleiner werden: 737 − 1 = 736
    3. 500 + 736 = 1236
    Ergebnis:
    736

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
  3. 160 − 8 = 152
  1. 19 = 20 − 1
  2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
  3. 160 − 8 = 152
Ergebnis:
152

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 25
    So fängst du an:
    25 = 20 + 5
    Lösung zeigen
    1. 25 = 20 + 5
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 5 = 20
    3. 80 + 20 = 100
    Ergebnis:
    100
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 98
    Lösung zeigen
    1. 98 = 100 − 2
    2. 9 · 100 = 900 und 9 · 2 = 18
    3. 900 − 18 = 882
    Ergebnis:
    882

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 266 : 7
Schritt für Schritt
  1. 266 = 210 + 56
  2. 210 : 7 = 30 und 56 : 7 = 8
  3. 30 + 8 = 38
  1. 266 = 210 + 56
  2. 210 : 7 = 30 und 56 : 7 = 8
  3. 30 + 8 = 38
Ergebnis:
38

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 384 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 384 : 8?
    384: 8
    So fängst du an:
    384 = 320 + 64
    Lösung zeigen
    1. 384 = 320 + 64
    2. 320 : 8 = 40 und 64 : 8 = 8
    3. 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●11
    Zerlege 90 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 90 : 6?
    90: 6
    Lösung zeigen
    1. 90 = 60 + 30
    2. 60 : 6 = 10 und 30 : 6 = 5
    3. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★12
    Zerlege 1089 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 1089 : 9?
    1089: 9
    Lösung zeigen
    1. 1089 = 1080 + 9
    2. 1080 : 9 = 120 und 9 : 9 = 1
    3. 120 + 1 = 121
    Ergebnis:
    121

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 68 − 48 = ___ − 58
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 58: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 10 größer.
  3. 68 + 10 = 78
  1. 48 wird zu 58: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 10 größer.
  3. 68 + 10 = 78
Ergebnis:
78

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 63 − 23 = ___ − 33
    So fängst du an:
    23 wird zu 33: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 23 wird zu 33: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 63 um 10 größer.
    3. 63 + 10 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 10 = 8 · ___
    16 · 10=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 5 · 47 + 5 · 4 = 5 · ___
    5 · 47 + 5 · 4=5 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 47 und 5 mal 4 sind zusammen 5 mal (47 + 4).
    3. 47 + 4 = 51
    Ergebnis:
    51

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Noah verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 15 + 66 + 85? Nenne ihn und rechne.
15 + 66 + 85zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 15 + 85 = 100
  3. 100 + 66 = 166
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 15 + 85 = 100
  3. 100 + 66 = 166
Ergebnis:
vertauschen, 166

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 78? Nenne ihn und rechne.
    8 · 78zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 78 = 70 + 8.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 78 = 70 + 8.
    2. 8 · 70 = 560 und 8 · 8 = 64
    3. Zusammen: 624
    Ergebnis:
    zerlegen, 624
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 24 + 67 + 76? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 24 + 76 = 100
    3. 100 + 67 = 167
    Ergebnis:
    vertauschen, 167
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 3016 − 1280? Nenne ihn und rechne.
    3016 − 1280zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 3016 − 1280 = 1736
    Ergebnis:
    schriftlich, 1736

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben erhält für 46 · 40 das Ergebnis 2840. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
  2. 2840 liegt zu weit weg. Genau: 46 · 40 = 1840
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
  2. 2840 liegt zu weit weg. Genau: 46 · 40 = 1840
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1840

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin erhält für 58 · 28 das Ergebnis 1724. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 60 · 30 = 1800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
    2. 1724 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 58 · 28 = 1624
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1624
  2. ●23
    Ben erhält für 89 · 27 das Ergebnis 2503. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 30 = 2700
    2. 2503 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 89 · 27 = 2403
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2403
  3. ★24
    Lina rechnet 516 : 3 und erhält 182. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    516 : 3Ergebnis 182?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 182 · 3 = 546
    2. 546 ist nicht 516: Es ist falsch.
    3. 516 : 3 = 172
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 172

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 76 + 81 + 24 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    768124
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 76 + 24 + 81
    2. 76 + 24 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 81 = 181
    Ergebnis:
    181
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 12 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Packungen12 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 12
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 12 = 120
    Ergebnis:
    120 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 78
    6878
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 78 gibt 2 ab.
    2. 68 + 78 = 70 + 76
    3. 70 + 76 = 146
    Ergebnis:
    146
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 178 − 28
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 178 − 28 = 180 − 30
    3. 180 − 30 = 150
    Ergebnis:
    150
  5. ●29
    Es gibt 9 Hefte mit je 13 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 3 = 27
    4. 90 + 27 = 117
    Ergebnis:
    117 Hefte
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 28?
    2083
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 20 = 60
    2. Rechts: 3 · 8 = 24
    3. 3 · 28 = 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    3 · 20 und 3 · 8, zusammen 84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Ben rechnet 7 + 48 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    74813
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    68

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 77
    4977
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    126

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 51
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    408

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    120 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 89 − 50 = ___ − 60
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    99

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 + 28 + 82? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 128

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin erhält für 28 · 39 das Ergebnis 992. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1092

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 127
  2. 55
  3. 1095
  4. 257
  5. 367
  6. 736
  7. 100
  8. 392
  9. 882
  10. 48
  11. 15
  12. 121
  13. 73
  14. 20
  15. 51
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 70
  18. 180
  19. zerlegen, 624
  20. vertauschen, 167
  21. schriftlich, 1736
  22. falsch, richtig ist 1624
  23. falsch, richtig ist 2403
  24. falsch, richtig ist 172
  25. 181
  26. 120 Bälle
  27. 146
  28. 150
  29. 117 Hefte
  30. 3 · 20 und 3 · 8, zusammen 84
  31. 68
  32. 126
  33. 408
  34. 24 Sticker
  35. 99
  36. 210
  37. vertauschen, 128
  38. falsch, richtig ist 1092
  39. 14
  40. 66
  41. 23
  42. 52