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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 4 + 25 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●40
    Rechne: (6 + 8) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 8 = 14
    2. 14 · 7 = 98
    Ergebnis:
    98

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 8 + 32 = 40
    Ergebnis:
    40
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 75. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 31 + 87 + 29
318729
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 31 + 29 + 87
  2. 31 + 29 = 60
  3. 60 + 87 = 147
  1. Vertauschen: 31 + 29 + 87
  2. 31 + 29 = 60
  3. 60 + 87 = 147
Ergebnis:
147

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 17 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    15175
    So fängst du an:
    Vertauschen: 15 + 5 + 17
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 5 + 17
    2. 15 + 5 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 17 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●2
    Rechne geschickt: 19 + 18 + 41
    191841
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 41 + 18
    2. 19 + 41 = 60
    3. 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    78
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 56 + 761 + 49 + 244 + 51 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    567614924451
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 244 + 49 + 51 + 761
    2. 56 + 244 = 300 und 49 + 51 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 761 = 1161
    Ergebnis:
    1161

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 24
29824
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 24 gibt 2 ab.
  2. 298 + 24 = 300 + 22
  3. 300 + 22 = 322
  1. 298 bekommt 2 dazu, 24 gibt 2 ab.
  2. 298 + 24 = 300 + 22
  3. 300 + 22 = 322
Ergebnis:
322

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Hanna rechnet 98 + 36 als 100 + 36. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    9836
    So fängst du an:
    Hanna hat 98 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 36 = 136.
    3. 2 wieder abziehen: 136 − 2 = 134
    Ergebnis:
    134
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 29
    9729
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 29 gibt 3 ab.
    2. 97 + 29 = 100 + 26
    3. 100 + 26 = 126
    Ergebnis:
    126
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 699 + 187 = 700 + ___
    699187
    Lösung zeigen
    1. 699 wird zu 700: 1 mehr.
    2. Also muss 187 um 1 kleiner werden: 187 − 1 = 186
    3. 700 + 186 = 886
    Ergebnis:
    186

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
  3. 250 − 5 = 245
  1. 49 = 50 − 1
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
  3. 250 − 5 = 245
Ergebnis:
245

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 65
    So fängst du an:
    65 = 60 + 5
    Lösung zeigen
    1. 65 = 60 + 5
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 5 = 15
    3. 180 + 15 = 195
    Ergebnis:
    195
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 35
    Lösung zeigen
    1. 35 = 30 + 5
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 5 = 15
    3. 90 + 15 = 105
    Ergebnis:
    105
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 17
    Lösung zeigen
    1. 17 = 10 + 7
    2. 8 · 10 = 80 und 8 · 7 = 56
    3. 80 + 56 = 136
    Ergebnis:
    136

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 150 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 150 : 6?
150: 6
Schritt für Schritt
  1. 150 = 120 + 30
  2. 120 : 6 = 20 und 30 : 6 = 5
  3. 20 + 5 = 25
  1. 150 = 120 + 30
  2. 120 : 6 = 20 und 30 : 6 = 5
  3. 20 + 5 = 25
Ergebnis:
25

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    594 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    594 : 9
    Lösung zeigen
    1. 594 : 9
    2. 594 = 540 + 54
    3. 540 : 9 = 60 und 54 : 9 = 6
    4. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 93 : 3
    Lösung zeigen
    1. 93 = 90 + 3
    2. 90 : 3 = 30 und 3 : 3 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  3. ★12
    568 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 568 : 4
    2. 568 = 560 + 8
    3. 560 : 4 = 140 und 8 : 4 = 2
    4. 140 + 2 = 142
    Ergebnis:
    142 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 64 − 30 = ___ − 40
Schritt für Schritt
  1. 30 wird zu 40: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 64 um 10 größer.
  3. 64 + 10 = 74
  1. 30 wird zu 40: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 64 um 10 größer.
  3. 64 + 10 = 74
Ergebnis:
74

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 54 − 30 = ___ − 35
    So fängst du an:
    30 wird zu 35: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 30 wird zu 35: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 5 größer.
    3. 54 + 5 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 74 − 28 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 38: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 10 größer.
    3. 74 + 10 = 84
    Ergebnis:
    84
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 51 − 27 = ___ − 37
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 37: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 51 um 10 größer.
    3. 51 + 10 = 61
    Ergebnis:
    61

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 15 + 34 + 85? Nenne ihn und rechne.
15 + 34 + 85zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 15 + 85 = 100
  3. 100 + 34 = 134
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 15 + 85 = 100
  3. 100 + 34 = 134
Ergebnis:
vertauschen, 134

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 60? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 60 = 60 + 0.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 60 = 60 + 0.
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 0 = 0
    3. Zusammen: 480
    Ergebnis:
    zerlegen, 480
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 319 + 299? Nenne ihn und rechne.
    319 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 319 + 299 = 318 + 300
    3. 318 + 300 = 618
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 618

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 246 : 6 und erhält 51. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
246 : 6Ergebnis 51?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 51 · 6 = 306
  2. 306 ist nicht 246: Es ist falsch.
  3. 246 : 6 = 41
  1. Umkehraufgabe: 51 · 6 = 306
  2. 306 ist nicht 246: Es ist falsch.
  3. 246 : 6 = 41
Ergebnis:
falsch, richtig ist 41

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can erhält für 52 · 49 das Ergebnis 2748. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 50 = 2500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 50 = 2500
    2. 2748 liegt zu weit weg. Genau: 52 · 49 = 2548
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2548
  2. ●23
    Lea erhält für 65 · 48 das Ergebnis 3120. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 50 = 3500
    2. 3120 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 65 · 48 = 3120
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 3120
  3. ★24
    Mia rechnet 6373 − 1533 und erhält 4830. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4830 + 1533 = 6363
    2. 6363 ist nicht 6373: Es ist falsch.
    3. 6373 − 1533 = 4840
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4840

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 37 + 17 + 3 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    37173
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 3 + 17
    2. 37 + 3 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 17 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 15 · 5
    20155
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 15
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 29
    19729
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 29 gibt 3 ab.
    2. 197 + 29 = 200 + 26
    3. 200 + 26 = 226
    Ergebnis:
    226
  4. ●28
    Ben rechnet 100 − 29 als 100 − 30 und erhält 70. Ist das schon das Ergebnis?
    100 − 29100 − 30
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 70 + 1 = 71
    Ergebnis:
    Nein, 71
  5. ●29
    Es gibt 5 Tüten mit je 28 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 28
    2. 28 = 20 + 8
    3. 5 · 20 = 100 und 5 · 8 = 40
    4. 100 + 40 = 140
    Ergebnis:
    140 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 24 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2047
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 4 = 28
    3. Zusammen: 140 + 28 = 168
    Ergebnis:
    168 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 3 + 41 + 27
    34127
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    71

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 66 = 40 + ___
    3766
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 52
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    156

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    342 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 54 − 20 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 386 + 198? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 584

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 515 − 442 und erhält 173. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 73

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 37
  2. 78
  3. 1161
  4. 134
  5. 126
  6. 186
  7. 195
  8. 105
  9. 136
  10. 66 Bücher
  11. 31
  12. 142 Murmeln
  13. 59
  14. 84
  15. 61
  16. 90
  17. 90
  18. 400
  19. zerlegen, 480
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. gegensinnig verändern, 618
  22. falsch, richtig ist 2548
  23. stimmt, 3120
  24. falsch, richtig ist 4840
  25. 57
  26. 1500
  27. 226
  28. Nein, 71
  29. 140 Bonbons
  30. 168 Kästchen
  31. 71
  32. 63
  33. 156
  34. 38 Murmeln
  35. 64
  36. 90
  37. gegensinnig verändern, 584
  38. falsch, richtig ist 73
  39. 29
  40. 98
  41. 40
  42. 45