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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 9 + 30 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●40
    Rechne: (4 + 6) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 6 = 10
    2. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 12 + 6 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 13 und erhalte 58. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lea rechnet 11 + 36 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
11369
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 11 + 9 + 36
  2. 11 + 9 = 20
  3. 20 + 36 = 56
  1. Vertauschen: 11 + 9 + 36
  2. 11 + 9 = 20
  3. 20 + 36 = 56
Ergebnis:
56

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Hanna rechnet 37 + 14 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    37143
    So fängst du an:
    Vertauschen: 37 + 3 + 14
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 3 + 14
    2. 37 + 3 = 40
    3. 40 + 14 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●2
    Sofia rechnet 25 + 87 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    25875
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 5 + 87
    2. 25 + 5 = 30
    3. 30 + 87 = 117
    Ergebnis:
    117
  3. ★3
    Rechne geschickt: 112 + 402 + 188
    112402188
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 112 + 188 + 402
    2. 112 + 188 = 300
    3. 300 + 402 = 702
    Ergebnis:
    702

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 27 = 200 + ___
19827
Schritt für Schritt
  1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
  2. Also muss 27 um 2 kleiner werden: 27 − 2 = 25
  3. 200 + 25 = 225
  1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
  2. Also muss 27 um 2 kleiner werden: 27 − 2 = 25
  3. 200 + 25 = 225
Ergebnis:
25

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 45
    19945
    So fängst du an:
    199 bekommt 1 dazu, 45 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 199 bekommt 1 dazu, 45 gibt 1 ab.
    2. 199 + 45 = 200 + 44
    3. 200 + 44 = 244
    Ergebnis:
    244
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 68 = 70 + ___
    6968
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 68 um 1 kleiner werden: 68 − 1 = 67
    3. 70 + 67 = 137
    Ergebnis:
    67
  3. ★6
    Lina rechnet 697 + 759 als 700 + 759. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    697759
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 697 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 700 + 759 = 1459.
    3. 3 wieder abziehen: 1459 − 3 = 1456
    Ergebnis:
    1456

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 31
Schritt für Schritt
  1. 31 = 30 + 1
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
  3. 150 + 5 = 155
  1. 31 = 30 + 1
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
  3. 150 + 5 = 155
Ergebnis:
155

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Hefte mit je 42 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 42
    Lösung zeigen
    1. 7 · 42
    2. 42 = 40 + 2
    3. 7 · 40 = 280 und 7 · 2 = 14
    4. 280 + 14 = 294
    Ergebnis:
    294 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 18
    Lösung zeigen
    1. 18 = 10 + 8
    2. 6 · 10 = 60 und 6 · 8 = 48
    3. 60 + 48 = 108
    Ergebnis:
    108
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 8 · 238
    Lösung zeigen
    1. 238 = 200 + 30 + 8
    2. 8 · 200 = 1600; 8 · 30 = 240; 8 · 8 = 64
    3. 1600 + 240 + 64 = 1904
    Ergebnis:
    1904

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

234 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 234 : 6
  2. 234 = 180 + 54
  3. 180 : 6 = 30 und 54 : 6 = 9
  4. 30 + 9 = 39
  1. 234 : 6
  2. 234 = 180 + 54
  3. 180 : 6 = 30 und 54 : 6 = 9
  4. 30 + 9 = 39
Ergebnis:
39 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 390 : 6
    So fängst du an:
    390 = 360 + 30
    Lösung zeigen
    1. 390 = 360 + 30
    2. 360 : 6 = 60 und 30 : 6 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 72 : 6
    Lösung zeigen
    1. 72 = 60 + 12
    2. 60 : 6 = 10 und 12 : 6 = 2
    3. 10 + 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★12
    Zerlege 217 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 217 : 7?
    217: 7
    Lösung zeigen
    1. 217 = 210 + 7
    2. 210 : 7 = 30 und 7 : 7 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 10 = 3 · ___
6 · 10=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 84 + 53 = 81 + ___
    84 + 53=81 + ?
    So fängst du an:
    84 wird zu 81: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 84 wird zu 81: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 3 größer.
    3. 53 + 3 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 17 + 58 = 27 + ___
    17 + 58=27 + ?
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 27: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 10 kleiner.
    3. 58 − 10 = 48
    Ergebnis:
    48
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 15 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 37 + 72 + 63? Nenne ihn und rechne.
37 + 72 + 63zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 37 + 63 = 100
  3. 100 + 72 = 172
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 37 + 63 = 100
  3. 100 + 72 = 172
Ergebnis:
vertauschen, 172

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 7 · 69? Nenne ihn und rechne.
    7 · 69zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 69 = 60 + 9.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 69 = 60 + 9.
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 9 = 63
    3. Zusammen: 483
    Ergebnis:
    zerlegen, 483
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 35? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 35 = 30 + 5.
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 5 = 25
    3. Zusammen: 175
    Ergebnis:
    zerlegen, 175
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 + 68 + 82? Nenne ihn und rechne.
    18 + 68 + 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 18 + 82 = 100
    3. 100 + 68 = 168
    Ergebnis:
    vertauschen, 168

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan rechnet 162 : 3 und erhält 55. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
162 : 3Ergebnis 55?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 55 · 3 = 165
  2. 165 ist nicht 162: Es ist falsch.
  3. 162 : 3 = 54
  1. Umkehraufgabe: 55 · 3 = 165
  2. 165 ist nicht 162: Es ist falsch.
  3. 162 : 3 = 54
Ergebnis:
falsch, richtig ist 54

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mia erhält für 40 · 28 das Ergebnis 920. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 30 = 1200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
    2. 920 liegt zu weit weg. Genau: 40 · 28 = 1120
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1120
  2. ●23
    Noah rechnet 378 : 9 und erhält 41. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    378 : 9Ergebnis 41?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 41 · 9 = 369
    2. 369 ist nicht 378: Es ist falsch.
    3. 378 : 9 = 42
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 42
  3. ★24
    Jonas rechnet 468 : 3 und erhält 158. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    468 : 3Ergebnis 158?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 158 · 3 = 474
    2. 474 ist nicht 468: Es ist falsch.
    3. 468 : 3 = 156
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 156

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Jonas rechnet 19 + 38 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    193811
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 11 + 38
    2. 19 + 11 = 30
    3. 30 + 38 = 68
    Ergebnis:
    68
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 12 · 2 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1225
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 12
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 12 = 120
    Ergebnis:
    120
  3. ●27
    Can rechnet 99 + 27 als 100 + 27. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    9927
    Lösung zeigen
    1. Can hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 27 = 127.
    3. 1 wieder abziehen: 127 − 1 = 126
    Ergebnis:
    126
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 148 − 29
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 148 − 29 = 149 − 30
    3. 149 − 30 = 119
    Ergebnis:
    119
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    3. 240 − 6 = 234
    Ergebnis:
    234
  6. ●30
    Can rechnet 7 · 15 so: erst 7 · 10, dann 5 dazu. Can erhält 75. Zeige am Bild, was fehlt.
    1057
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 5 Kästchen, nicht nur 5.
    2. Rechter Teil: 7 · 5 = 35
    3. 70 + 35 = 105
    Ergebnis:
    105

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 11 + 67 + 9 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    11679
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    87

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Sofia rechnet 38 + 65 als 40 + 65. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3865
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    103

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Tüten mit je 65 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    260 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    177 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 9 = 8 · ___
    16 · 9=8 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 126 + 198? Nenne ihn und rechne.
    126 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 324

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin erhält für 78 · 45 das Ergebnis 3510. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 3510

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 54
  2. 117
  3. 702
  4. 244
  5. 67
  6. 1456
  7. 294 Hefte
  8. 108
  9. 1904
  10. 65
  11. 12
  12. 31
  13. 56
  14. 48
  15. 30
  16. 80
  17. 80
  18. 180
  19. zerlegen, 483
  20. zerlegen, 175
  21. vertauschen, 168
  22. falsch, richtig ist 1120
  23. falsch, richtig ist 42
  24. falsch, richtig ist 156
  25. 68
  26. 120
  27. 126
  28. 119
  29. 234
  30. 105
  31. 87
  32. 103
  33. 260 Bonbons
  34. 59 Bücher
  35. 18
  36. 400
  37. gegensinnig verändern, 324
  38. stimmt, 3510
  39. 39
  40. 60
  41. 18
  42. 45