Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 34 − 2 · 4
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 2 · 4 = 8
2. 34 − 8 = 26
Ergebnis:
26
●40
Rechne: (4 + 6) · 5
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 4 + 6 = 10
2. 10 · 5 = 50
Ergebnis:
50

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 3 + 8 · 8
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 8 · 8 = 64
2. 3 + 64 = 67
Ergebnis:
67
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 41. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
38

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 51 + 55 + 9

Schritt für Schritt

Vertauschen: 51 + 9 + 55
51 + 9 = 60
60 + 55 = 115

Vertauschen: 51 + 9 + 55
51 + 9 = 60
60 + 55 = 115

Ergebnis:

115

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Lina rechnet 12 + 49 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
So fängst du an:
Vertauschen: 12 + 18 + 49
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 12 + 18 + 49
2. 12 + 18 = 30
3. 30 + 49 = 79
Ergebnis:
79
●2
Zeynep rechnet 57 + 22 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 57 + 3 + 22
2. 57 + 3 = 60
3. 60 + 22 = 82
Ergebnis:
82
★3
Rechne geschickt: 61 + 267 + 82 + 39 + 18
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 61 + 39 + 82 + 18 + 267
2. 61 + 39 = 100 und 82 + 18 = 100
3. 100 + 100 + 267 = 467
Ergebnis:
467

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 44 = 50 + ___

Schritt für Schritt

48 wird zu 50: 2 mehr.
Also muss 44 um 2 kleiner werden: 44 − 2 = 42
50 + 42 = 92

48 wird zu 50: 2 mehr.
Also muss 44 um 2 kleiner werden: 44 − 2 = 42
50 + 42 = 92

Ergebnis:

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 86 = 40 + ___
So fängst du an:
39 wird zu 40: 1 mehr.
Lösung zeigen
1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
2. Also muss 86 um 1 kleiner werden: 86 − 1 = 85
3. 40 + 85 = 125
Ergebnis:
85
●5
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 88
Lösung zeigen
1. 49 bekommt 1 dazu, 88 gibt 1 ab.
2. 49 + 88 = 50 + 87
3. 50 + 87 = 137
Ergebnis:
137
★6
Elias rechnet 1998 + 348 als 2000 + 348. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Elias hat 1998 um 2 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 2000 + 348 = 2348.
3. 2 wieder abziehen: 2348 − 2 = 2346
Ergebnis:
2346

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 19

Schritt für Schritt

19 = 20 − 1
6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
120 − 6 = 114

19 = 20 − 1
6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
120 − 6 = 114

Ergebnis:

114

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
So fängst du an:
39 = 40 − 1
Lösung zeigen
1. 39 = 40 − 1
2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
3. 280 − 7 = 273
Ergebnis:
273
●8
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 35
Lösung zeigen
1. 35 = 30 + 5
2. 5 · 30 = 150 und 5 · 5 = 25
3. 150 + 25 = 175
Ergebnis:
175
★9
Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 157
Lösung zeigen
1. 157 = 100 + 50 + 7
2. 7 · 100 = 700; 7 · 50 = 350; 7 · 7 = 49
3. 700 + 350 + 49 = 1099
Ergebnis:
1099

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 138 : 3

Schritt für Schritt

138 = 120 + 18
120 : 3 = 40 und 18 : 3 = 6
40 + 6 = 46

138 = 120 + 18
120 : 3 = 40 und 18 : 3 = 6
40 + 6 = 46

Ergebnis:

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
Rechne halbschriftlich: 330 : 5
So fängst du an:
330 = 300 + 30
Lösung zeigen
1. 330 = 300 + 30
2. 300 : 5 = 60 und 30 : 5 = 6
3. 60 + 6 = 66
Ergebnis:
66
●11
Zerlege 462 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 462 : 7?
Lösung zeigen
1. 462 = 420 + 42
2. 420 : 7 = 60 und 42 : 7 = 6
3. 60 + 6 = 66
Ergebnis:
66
★12
Zerlege 1026 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 1026 : 6?
Lösung zeigen
1. 1026 = 1020 + 6
2. 1020 : 6 = 170 und 6 : 6 = 1
3. 170 + 1 = 171
Ergebnis:
171

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 41 − 16 = ___ − 21

Schritt für Schritt

16 wird zu 21: 5 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 41 um 5 größer.
41 + 5 = 46

16 wird zu 21: 5 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 41 um 5 größer.
41 + 5 = 46

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 13 = 7 · ___
So fängst du an:
14 wird halb so groß: 7.
Lösung zeigen
1. 14 wird halb so groß: 7.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26
●14
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 3 = 4 · ___
Lösung zeigen
1. 8 wird halb so groß: 4.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
3. 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6
★15
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 64 + 6 · 5 = 6 · ___
Lösung zeigen
1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
2. 6 mal 64 und 6 mal 5 sind zusammen 6 mal (64 + 5).
3. 64 + 5 = 69
Ergebnis:
69

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.

Schritt für Schritt

Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
18 · 5 = 9 · 10
9 · 10 = 90

Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
18 · 5 = 9 · 10
9 · 10 = 90

Ergebnis:

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
So fängst du an:
Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 16 · 25 = 8 · 50
3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400
●17
Jonas verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200
★18
Noah verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 30 + 79 + 70? Nenne ihn und rechne.

Schritt für Schritt

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
30 + 70 = 100
100 + 79 = 179

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
30 + 70 = 100
100 + 79 = 179

Ergebnis:

vertauschen, 179

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 86? Nenne ihn und rechne.
So fängst du an:
Den zweiten Faktor zerlegen: 86 = 80 + 6.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 86 = 80 + 6.
2. 8 · 80 = 640 und 8 · 6 = 48
3. Zusammen: 688
Ergebnis:
zerlegen, 688
●20
Welcher Weg passt zu 8 · 82? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
2. 8 · 80 = 640 und 8 · 2 = 16
3. Zusammen: 656
Ergebnis:
zerlegen, 656
★21
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
2. 14 · 5 = 7 · 10
3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas rechnet 225 : 3 und erhält 85. Prüfe mit der Umkehraufgabe.

Schritt für Schritt

Umkehraufgabe: 85 · 3 = 255
255 ist nicht 225: Es ist falsch.
225 : 3 = 75

Umkehraufgabe: 85 · 3 = 255
255 ist nicht 225: Es ist falsch.
225 : 3 = 75

Ergebnis:

falsch, richtig ist 75

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Zeynep erhält für 83 · 46 das Ergebnis 4018. Prüfe mit einem Überschlag.
So fängst du an:
Überschlag: 80 · 50 = 4000
Lösung zeigen
1. Überschlag: 80 · 50 = 4000
2. 4018 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 83 · 46 = 3818
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 3818
●23
Jonas rechnet 612 − 304 und erhält 318. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 318 + 304 = 622
2. 622 ist nicht 612: Es ist falsch.
3. 612 − 304 = 308
Ergebnis:
falsch, richtig ist 308
★24
Emma rechnet 2604 − 2132 und erhält 472. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 472 + 2132 = 2604
2. 2604 ist genau 2604: Es stimmt.
3. 2604 − 2132 = 472
Ergebnis:
stimmt, 472

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Rechne geschickt: 22 + 66 + 28
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 22 + 28 + 66
2. 22 + 28 = 50
3. 50 + 66 = 116
Ergebnis:
116
●26
Rechne geschickt: 50 · 9 · 2
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 50 · 2 · 9
2. 50 · 2 = 100
3. 100 · 9 = 900
Ergebnis:
900
●27
Lea rechnet 38 + 86 als 40 + 86. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Lea hat 38 um 2 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 86 = 126.
3. 2 wieder abziehen: 126 − 2 = 124
Ergebnis:
124
●28
Lina rechnet 192 − 47 als 192 − 50 und erhält 142. Ist das schon das Ergebnis?
Lösung zeigen
1. Lina hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
3. 142 + 3 = 145
Ergebnis:
Nein, 145
●29
Es gibt 9 Reihen mit je 33 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 9 · 33
2. 33 = 30 + 3
3. 9 · 30 = 270 und 9 · 3 = 27
4. 270 + 27 = 297
Ergebnis:
297 Stühle
●30
Elias rechnet 4 · 14 so: erst 4 · 10, dann 4 dazu. Elias erhält 44. Zeige am Bild, was fehlt.
Lösung zeigen
1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
2. Rechter Teil: 4 · 4 = 16
3. 40 + 16 = 56
Ergebnis:
56

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Lea rechnet 16 + 78 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
Ergebnis:
98
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Mia rechnet 299 + 48 als 300 + 48. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
Ergebnis:
347
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
Lösung zeigen
Ergebnis:
232
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
64 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
Ergebnis:
16 Murmeln
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 10 = 2 · ___
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Ergebnis:
20
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
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Ergebnis:
80
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 27? Nenne ihn und rechne.
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Ergebnis:
zerlegen, 108
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Sofia rechnet 430 : 5 und erhält 86. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
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Ergebnis:
stimmt, 86

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

79
82
467
85
137
2346
273
175
1099
66
66
171
26
6
69
400
Nein, viermal so groß; richtig ist 200
Nein, viermal so groß; richtig ist 900
zerlegen, 688
zerlegen, 656
halbieren und verdoppeln, 70
falsch, richtig ist 3818
falsch, richtig ist 308
stimmt, 472
116
900
124
Nein, 145
297 Stühle
56
98
347
232
16 Murmeln
20
80
zerlegen, 108
stimmt, 86
26
50
67
38