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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 13 − 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 13 − 8 = 5
    Ergebnis:
    5
  2. ●40
    Rechne: (8 + 8) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 8 = 16
    2. 16 · 2 = 32
    Ergebnis:
    32

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 5 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 2 = 10
    2. 8 + 10 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 39 und erhalte 91. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 39 + 39 + 61
393961
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 39 + 61 + 39
  2. 39 + 61 = 100
  3. 100 + 39 = 139
  1. Vertauschen: 39 + 61 + 39
  2. 39 + 61 = 100
  3. 100 + 39 = 139
Ergebnis:
139

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mia rechnet 48 + 69 + 52 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    486952
    So fängst du an:
    Vertauschen: 48 + 52 + 69
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 48 + 52 + 69
    2. 48 + 52 = 100
    3. 100 + 69 = 169
    Ergebnis:
    169
  2. ●2
    Paul rechnet 6 + 17 + 24 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    61724
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 24 + 17
    2. 6 + 24 = 30
    3. 30 + 17 = 47
    Ergebnis:
    47
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 235 + 461 + 65 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    23546165
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 235 + 65 + 461
    2. 235 + 65 = 300
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 461 = 761
    Ergebnis:
    761

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Zeynep rechnet 37 + 25 als 40 + 25. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
3725
Schritt für Schritt
  1. Zeynep hat 37 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 25 = 65.
  3. 3 wieder abziehen: 65 − 3 = 62
  1. Zeynep hat 37 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 25 = 65.
  3. 3 wieder abziehen: 65 − 3 = 62
Ergebnis:
62

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 67 = 300 + ___
    29967
    So fängst du an:
    299 wird zu 300: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 67 um 1 kleiner werden: 67 − 1 = 66
    3. 300 + 66 = 366
    Ergebnis:
    66
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 44 = 100 + ___
    9844
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 44 um 2 kleiner werden: 44 − 2 = 42
    3. 100 + 42 = 142
    Ergebnis:
    42
  3. ★6
    Elias rechnet 399 + 225 als 400 + 225. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    399225
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 399 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 400 + 225 = 625.
    3. 1 wieder abziehen: 625 − 1 = 624
    Ergebnis:
    624

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Hefte mit je 34 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 34
  2. 34 = 30 + 4
  3. 7 · 30 = 210 und 7 · 4 = 28
  4. 210 + 28 = 238
  1. 7 · 34
  2. 34 = 30 + 4
  3. 7 · 30 = 210 und 7 · 4 = 28
  4. 210 + 28 = 238
Ergebnis:
238 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Tüten mit je 13 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 13
    Lösung zeigen
    1. 4 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 4 · 10 = 40 und 4 · 3 = 12
    4. 40 + 12 = 52
    Ergebnis:
    52 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 3 Reihen mit je 46 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 46
    2. 46 = 40 + 6
    3. 3 · 40 = 120 und 3 · 6 = 18
    4. 120 + 18 = 138
    Ergebnis:
    138 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 6 · 215
    Lösung zeigen
    1. 215 = 200 + 10 + 5
    2. 6 · 200 = 1200; 6 · 10 = 60; 6 · 5 = 30
    3. 1200 + 60 + 30 = 1290
    Ergebnis:
    1290

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

66 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 66 : 3
  2. 66 = 60 + 6
  3. 60 : 3 = 20 und 6 : 3 = 2
  4. 20 + 2 = 22
  1. 66 : 3
  2. 66 = 60 + 6
  3. 60 : 3 = 20 und 6 : 3 = 2
  4. 20 + 2 = 22
Ergebnis:
22 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 225 : 5
    So fängst du an:
    225 = 200 + 25
    Lösung zeigen
    1. 225 = 200 + 25
    2. 200 : 5 = 40 und 25 : 5 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●11
    Zerlege 342 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 342 : 6?
    342: 6
    Lösung zeigen
    1. 342 = 300 + 42
    2. 300 : 6 = 50 und 42 : 6 = 7
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★12
    Zerlege 301 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 301 : 7?
    301: 7
    Lösung zeigen
    1. 301 = 280 + 21
    2. 280 : 7 = 40 und 21 : 7 = 3
    3. 40 + 3 = 43
    Ergebnis:
    43

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 16 · 9 = 8 · ___
16 · 9=8 · ?
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 31 + 75 = 29 + ___
    So fängst du an:
    31 wird zu 29: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 31 wird zu 29: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 2 größer.
    3. 75 + 2 = 77
    Ergebnis:
    77
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 15 = 7 · ___
    14 · 15=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 42 − 33 = ___ − 43
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 43: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 42 um 10 größer.
    3. 42 + 10 = 52
    Ergebnis:
    52

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Elias verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 35 + 59 + 65? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 35 + 65 = 100
  3. 100 + 59 = 159
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 35 + 65 = 100
  3. 100 + 59 = 159
Ergebnis:
vertauschen, 159

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 27 + 26 + 73? Nenne ihn und rechne.
    27 + 26 + 73zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 27 + 73 = 100
    3. 100 + 26 = 126
    Ergebnis:
    vertauschen, 126
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 30? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 30 = 30 + 0.
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 0 = 0
    3. Zusammen: 210
    Ergebnis:
    zerlegen, 210

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 677 − 266 und erhält 411. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 411 + 266 = 677
  2. 677 ist genau 677: Es stimmt.
  3. 677 − 266 = 411
  1. Umkehraufgabe: 411 + 266 = 677
  2. 677 ist genau 677: Es stimmt.
  3. 677 − 266 = 411
Ergebnis:
stimmt, 411

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben rechnet 776 : 8 und erhält 97. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    776 : 8Ergebnis 97?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 97 · 8 = 776
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 97 · 8 = 776
    2. 776 ist genau 776: Es stimmt.
    3. 776 : 8 = 97
    Ergebnis:
    stimmt, 97
  2. ●23
    Zeynep rechnet 508 − 303 und erhält 305. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 305 + 303 = 608
    2. 608 ist nicht 508: Es ist falsch.
    3. 508 − 303 = 205
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 205
  3. ★24
    Zeynep rechnet 1695 : 3 und erhält 566. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1695 : 3Ergebnis 566?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 566 · 3 = 1698
    2. 1698 ist nicht 1695: Es ist falsch.
    3. 1695 : 3 = 565
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 565

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 13 + 65 + 7
    13657
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 7 + 65
    2. 13 + 7 = 20
    3. 20 + 65 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 12 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kartons12 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 12
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 12 = 120
    Ergebnis:
    120 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 75 = 40 + ___
    3975
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 75 um 1 kleiner werden: 75 − 1 = 74
    3. 40 + 74 = 114
    Ergebnis:
    74
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 139 − 98 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 139 um 2 größer: 141.
    3. 141 − 100 = 41
    Ergebnis:
    141
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  6. ●30
    Zeynep rechnet 6 · 12 so: erst 6 · 10, dann 2 dazu. Zeynep erhält 62. Zeige am Bild, was fehlt.
    1026
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 6 · 2 = 12
    3. 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    72

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 21 + 82 + 39 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    218239
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    142

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 69 = 40 + ___
    3869
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    67

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Tüten mit je 15 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 488 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 488 : 8?
    488: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 48 − 23 = ___ − 28
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 301 + 497? Nenne ihn und rechne.
    301 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 798

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 312 − 151 und erhält 171. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 161

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 169
  2. 47
  3. 761
  4. 66
  5. 42
  6. 624
  7. 52 Bonbons
  8. 138 Stühle
  9. 1290
  10. 45
  11. 57
  12. 43
  13. 77
  14. 30
  15. 52
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. 3000
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. vertauschen, 126
  21. zerlegen, 210
  22. stimmt, 97
  23. falsch, richtig ist 205
  24. falsch, richtig ist 565
  25. 85
  26. 120 Bälle
  27. 74
  28. 141
  29. 472
  30. 72
  31. 142
  32. 67
  33. 45 Bonbons
  34. 61
  35. 53
  36. 200
  37. gegensinnig verändern, 798
  38. falsch, richtig ist 161
  39. 5
  40. 32
  41. 18
  42. 52