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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 44 − 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 44 − 21 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●40
    Rechne: (4 + 5) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 5 = 9
    2. 9 · 5 = 45
    Ergebnis:
    45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 9 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 8 = 72
    2. 3 + 72 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 36. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 22 + 72 + 8
22728
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 22 + 8 + 72
  2. 22 + 8 = 30
  3. 30 + 72 = 102
  1. Vertauschen: 22 + 8 + 72
  2. 22 + 8 = 30
  3. 30 + 72 = 102
Ergebnis:
102

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 24 + 19 + 6
    24196
    So fängst du an:
    Vertauschen: 24 + 6 + 19
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 6 + 19
    2. 24 + 6 = 30
    3. 30 + 19 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●2
    Sofia rechnet 19 + 43 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    194321
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 21 + 43
    2. 19 + 21 = 40
    3. 40 + 43 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★3
    Tom rechnet 99 + 655 + 32 + 201 + 68 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    996553220168
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 99 + 201 + 32 + 68 + 655
    2. 99 + 201 = 300 und 32 + 68 = 100
    3. 300 + 100 + 655 = 1055
    Ergebnis:
    1055

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Emma rechnet 69 + 88 als 70 + 88. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
6988
Schritt für Schritt
  1. Emma hat 69 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 88 = 158.
  3. 1 wieder abziehen: 158 − 1 = 157
  1. Emma hat 69 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 88 = 158.
  3. 1 wieder abziehen: 158 − 1 = 157
Ergebnis:
157

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 64
    29864
    So fängst du an:
    298 bekommt 2 dazu, 64 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 64 gibt 2 ab.
    2. 298 + 64 = 300 + 62
    3. 300 + 62 = 362
    Ergebnis:
    362
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 67 = 100 + ___
    9767
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 67 um 3 kleiner werden: 67 − 3 = 64
    3. 100 + 64 = 164
    Ergebnis:
    64
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 398 + 456
    398456
    Lösung zeigen
    1. 398 bekommt 2 dazu, 456 gibt 2 ab.
    2. 398 + 456 = 400 + 454
    3. 400 + 454 = 854
    Ergebnis:
    854

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 33
Schritt für Schritt
  1. 33 = 30 + 3
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 3 = 21
  3. 210 + 21 = 231
  1. 33 = 30 + 3
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 3 = 21
  3. 210 + 21 = 231
Ergebnis:
231

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Tüten mit je 13 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 13
    Lösung zeigen
    1. 4 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 4 · 10 = 40 und 4 · 3 = 12
    4. 40 + 12 = 52
    Ergebnis:
    52 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 8 Reihen mit je 68 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 68
    2. 68 = 60 + 8
    3. 8 · 60 = 480 und 8 · 8 = 64
    4. 480 + 64 = 544
    Ergebnis:
    544 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 83
    Lösung zeigen
    1. 83 = 80 + 3
    2. 3 · 80 = 240 und 3 · 3 = 9
    3. 240 + 9 = 249
    Ergebnis:
    249

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 128 : 8
Schritt für Schritt
  1. 128 = 80 + 48
  2. 80 : 8 = 10 und 48 : 8 = 6
  3. 10 + 6 = 16
  1. 128 = 80 + 48
  2. 80 : 8 = 10 und 48 : 8 = 6
  3. 10 + 6 = 16
Ergebnis:
16

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 434 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 434 : 7?
    434: 7
    So fängst du an:
    434 = 420 + 14
    Lösung zeigen
    1. 434 = 420 + 14
    2. 420 : 7 = 60 und 14 : 7 = 2
    3. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62
  2. ●11
    105 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 105 : 3
    2. 105 = 90 + 15
    3. 90 : 3 = 30 und 15 : 3 = 5
    4. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 996 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 996 : 6?
    996: 6
    Lösung zeigen
    1. 996 = 960 + 36
    2. 960 : 6 = 160 und 36 : 6 = 6
    3. 160 + 6 = 166
    Ergebnis:
    166

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 6 = 6 · ___
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
  3. 6 · 2 = 12
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
  3. 6 · 2 = 12
Ergebnis:
12

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 59 − 54 = ___ − 59
    So fängst du an:
    54 wird zu 59: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 54 wird zu 59: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 5 größer.
    3. 59 + 5 = 64
    Ergebnis:
    64
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 52 − 46 = ___ − 51
    Lösung zeigen
    1. 46 wird zu 51: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 52 um 5 größer.
    3. 52 + 5 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 5 · 61 + 5 · 8 = 5 · ___
    5 · 61 + 5 · 8=5 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 61 und 5 mal 8 sind zusammen 5 mal (61 + 8).
    3. 61 + 8 = 69
    Ergebnis:
    69

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 35 + 49 + 65? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 35 + 65 = 100
  3. 100 + 49 = 149
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 35 + 65 = 100
  3. 100 + 49 = 149
Ergebnis:
vertauschen, 149

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 30? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 30 = 30 + 0.
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 0 = 0
    3. Zusammen: 150
    Ergebnis:
    zerlegen, 150

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 928 − 353 und erhält 595. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 595 + 353 = 948
  2. 948 ist nicht 928: Es ist falsch.
  3. 928 − 353 = 575
  1. Umkehraufgabe: 595 + 353 = 948
  2. 948 ist nicht 928: Es ist falsch.
  3. 928 − 353 = 575
Ergebnis:
falsch, richtig ist 575

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can rechnet 748 − 646 und erhält 102. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 102 + 646 = 748
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 102 + 646 = 748
    2. 748 ist genau 748: Es stimmt.
    3. 748 − 646 = 102
    Ergebnis:
    stimmt, 102
  2. ●23
    Paul rechnet 225 : 9 und erhält 35. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    225 : 9Ergebnis 35?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 35 · 9 = 315
    2. 315 ist nicht 225: Es ist falsch.
    3. 225 : 9 = 25
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 25
  3. ★24
    Elias rechnet 5686 − 2746 und erhält 3040. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3040 + 2746 = 5786
    2. 5786 ist nicht 5686: Es ist falsch.
    3. 5686 − 2746 = 2940
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2940

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 21 + 34 + 19 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    213419
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 19 + 34
    2. 21 + 19 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 34 = 74
    Ergebnis:
    74
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 7 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Kartons7 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 7
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 96 = 300 + ___
    29996
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 96 um 1 kleiner werden: 96 − 1 = 95
    3. 300 + 95 = 395
    Ergebnis:
    95
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 65 − 48
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 65 − 48 = 67 − 50
    3. 67 − 50 = 17
    Ergebnis:
    17
  5. ●29
    Hanna rechnet 7 · 28 so: erst 7 · 20, dann 8 dazu. Hanna erhält 148. Zeige am Bild, was fehlt.
    2087
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
    2. Rechter Teil: 7 · 8 = 56
    3. 140 + 56 = 196
    Ergebnis:
    196
  6. ●30
    320 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 320 : 5
    2. 320 = 300 + 20
    3. 300 : 5 = 60 und 20 : 5 = 4
    4. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64 Murmeln

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 19 + 32 + 31
    193231
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    82

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 27 = 200 + ___
    19727
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Hefte mit je 54 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    216 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    108 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 79 + 41 = 81 + ___
    79 + 41=81 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 482 − 371 und erhält 131. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 111

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 49
  2. 83
  3. 1055
  4. 362
  5. 64
  6. 854
  7. 52 Bonbons
  8. 544 Stühle
  9. 249
  10. 62
  11. 35 Bücher
  12. 166
  13. 64
  14. 57
  15. 69
  16. 70
  17. 180
  18. 330
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. zerlegen, 150
  22. stimmt, 102
  23. falsch, richtig ist 25
  24. falsch, richtig ist 2940
  25. 74
  26. 700 Bälle
  27. 95
  28. 17
  29. 196
  30. 64 Murmeln
  31. 82
  32. 24
  33. 216 Hefte
  34. 18 Murmeln
  35. 39
  36. 80
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. falsch, richtig ist 111
  39. 23
  40. 45
  41. 75
  42. 24