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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 9 + 40 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●40
    Rechne: (7 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 5 = 12
    2. 12 · 7 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 7 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 8 = 56
    2. 6 + 56 = 62
    Ergebnis:
    62
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 24 und erhalte 52. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 33 + 16 + 27
331627
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 33 + 27 + 16
  2. 33 + 27 = 60
  3. 60 + 16 = 76
  1. Vertauschen: 33 + 27 + 16
  2. 33 + 27 = 60
  3. 60 + 16 = 76
Ergebnis:
76

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 86 + 3 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    17863
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 3 + 86
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 3 + 86
    2. 17 + 3 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 86 = 106
    Ergebnis:
    106
  2. ●2
    Rechne geschickt: 54 + 33 + 6
    54336
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 54 + 6 + 33
    2. 54 + 6 = 60
    3. 60 + 33 = 93
    Ergebnis:
    93
  3. ★3
    Hanna rechnet 101 + 897 + 57 + 199 + 43 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    1018975719943
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 101 + 199 + 57 + 43 + 897
    2. 101 + 199 = 300 und 57 + 43 = 100
    3. 300 + 100 + 897 = 1297
    Ergebnis:
    1297

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 24 = 40 + ___
3824
Schritt für Schritt
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 24 um 2 kleiner werden: 24 − 2 = 22
  3. 40 + 22 = 62
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 24 um 2 kleiner werden: 24 − 2 = 22
  3. 40 + 22 = 62
Ergebnis:
22

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aylin rechnet 299 + 64 als 300 + 64. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    29964
    So fängst du an:
    Aylin hat 299 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 64 = 364.
    3. 1 wieder abziehen: 364 − 1 = 363
    Ergebnis:
    363
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 39 = 100 + ___
    9839
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 39 um 2 kleiner werden: 39 − 2 = 37
    3. 100 + 37 = 137
    Ergebnis:
    37
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 699 + 514 = 700 + ___
    699514
    Lösung zeigen
    1. 699 wird zu 700: 1 mehr.
    2. Also muss 514 um 1 kleiner werden: 514 − 1 = 513
    3. 700 + 513 = 1213
    Ergebnis:
    513

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Hefte mit je 48 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 48
  2. 48 = 40 + 8
  3. 7 · 40 = 280 und 7 · 8 = 56
  4. 280 + 56 = 336
  1. 7 · 48
  2. 48 = 40 + 8
  3. 7 · 40 = 280 und 7 · 8 = 56
  4. 280 + 56 = 336
Ergebnis:
336 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 − 5 = 95
    Ergebnis:
    95
  3. ★9
    Es gibt 9 Tüten mit je 97 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 97
    2. 97 = 90 + 7
    3. 9 · 90 = 810 und 9 · 7 = 63
    4. 810 + 63 = 873
    Ergebnis:
    873 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 296 : 8
Schritt für Schritt
  1. 296 = 240 + 56
  2. 240 : 8 = 30 und 56 : 8 = 7
  3. 30 + 7 = 37
  1. 296 = 240 + 56
  2. 240 : 8 = 30 und 56 : 8 = 7
  3. 30 + 7 = 37
Ergebnis:
37

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 114 : 6
    So fängst du an:
    114 = 60 + 54
    Lösung zeigen
    1. 114 = 60 + 54
    2. 60 : 6 = 10 und 54 : 6 = 9
    3. 10 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●11
    120 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 120 : 5
    2. 120 = 100 + 20
    3. 100 : 5 = 20 und 20 : 5 = 4
    4. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24 Murmeln
  3. ★12
    543 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 543 : 3
    2. 543 = 540 + 3
    3. 540 : 3 = 180 und 3 : 3 = 1
    4. 180 + 1 = 181
    Ergebnis:
    181 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 18 · 8 = 9 · ___
18 · 8=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 15 = 7 · ___
    So fängst du an:
    14 wird halb so groß: 7.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 24 + 58 = 14 + ___
    Lösung zeigen
    1. 24 wird zu 14: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 10 größer.
    3. 58 + 10 = 68
    Ergebnis:
    68
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 77 + 85 = 80 + ___
    77 + 85=80 + ?
    Lösung zeigen
    1. 77 wird zu 80: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 3 kleiner.
    3. 85 − 3 = 82
    Ergebnis:
    82

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Noah verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Mia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Elias verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Paul verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 38? Nenne ihn und rechne.
5 · 38zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 38 = 30 + 8.
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 8 = 40
  3. Zusammen: 190
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 38 = 30 + 8.
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 8 = 40
  3. Zusammen: 190
Ergebnis:
zerlegen, 190

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 + 47 + 82? Nenne ihn und rechne.
    18 + 47 + 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 18 + 82 = 100
    3. 100 + 47 = 147
    Ergebnis:
    vertauschen, 147
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 44 + 73 + 56? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 44 + 56 = 100
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    vertauschen, 173

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan erhält für 36 · 13 das Ergebnis 468. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 10 = 400
  2. 468 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 36 · 13 = 468
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 40 · 10 = 400
  2. 468 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 36 · 13 = 468
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 468

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 412 − 232 und erhält 170. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 170 + 232 = 402
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 170 + 232 = 402
    2. 402 ist nicht 412: Es ist falsch.
    3. 412 − 232 = 180
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 180
  2. ●23
    Can rechnet 96 : 4 und erhält 26. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    96 : 4Ergebnis 26?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 26 · 4 = 104
    2. 104 ist nicht 96: Es ist falsch.
    3. 96 : 4 = 24
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 24
  3. ★24
    Aylin rechnet 7118 − 2884 und erhält 4234. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4234 + 2884 = 7118
    2. 7118 ist genau 7118: Es stimmt.
    3. 7118 − 2884 = 4234
    Ergebnis:
    stimmt, 4234

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Jonas rechnet 24 + 72 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    247216
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 16 + 72
    2. 24 + 16 = 40
    3. 40 + 72 = 112
    Ergebnis:
    112
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 14 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kartons14 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 14
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 14 = 140
    Ergebnis:
    140 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 62 = 300 + ___
    29962
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 62 um 1 kleiner werden: 62 − 1 = 61
    3. 300 + 61 = 361
    Ergebnis:
    61
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 49 − 28 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 2 größer: 51.
    3. 51 − 30 = 21
    Ergebnis:
    51
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    3. 150 − 5 = 145
    Ergebnis:
    145
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 15 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1057
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 10 = 70
    2. Rechter Teil: 7 · 5 = 35
    3. Zusammen: 70 + 35 = 105
    Ergebnis:
    105 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Jonas rechnet 82 + 81 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    828118
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    181

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 76
    6776
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    143

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Hefte mit je 56 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    168 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 76 : 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 6 · 12 = 3 · ___
    6 · 12=3 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Hanna verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 9 · 85? Nenne ihn und rechne.
    9 · 85zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 765

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas rechnet 297 : 3 und erhält 101. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    297 : 3Ergebnis 101?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 99

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 106
  2. 93
  3. 1297
  4. 363
  5. 37
  6. 513
  7. 472
  8. 95
  9. 873 Bonbons
  10. 19
  11. 24 Murmeln
  12. 181 Sticker
  13. 30
  14. 68
  15. 82
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. vertauschen, 147
  20. halbieren und verdoppeln, 200
  21. vertauschen, 173
  22. falsch, richtig ist 180
  23. falsch, richtig ist 24
  24. stimmt, 4234
  25. 112
  26. 140 Bälle
  27. 61
  28. 51
  29. 145
  30. 105 Kästchen
  31. 181
  32. 143
  33. 168 Hefte
  34. 19
  35. 24
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. zerlegen, 765
  38. falsch, richtig ist 99
  39. 49
  40. 84
  41. 62
  42. 28