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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 33 − 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 33 − 6 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●40
    Rechne: (8 + 8) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 8 = 16
    2. 16 · 9 = 144
    Ergebnis:
    144

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 5 + 24 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 75. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Tom rechnet 31 + 82 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
318219
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 31 + 19 + 82
  2. 31 + 19 = 50
  3. 50 + 82 = 132
  1. Vertauschen: 31 + 19 + 82
  2. 31 + 19 = 50
  3. 50 + 82 = 132
Ergebnis:
132

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 21 + 36 + 79
    213679
    So fängst du an:
    Vertauschen: 21 + 79 + 36
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 79 + 36
    2. 21 + 79 = 100
    3. 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    136
  2. ●2
    Rechne geschickt: 36 + 29 + 24
    362924
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 24 + 29
    2. 36 + 24 = 60
    3. 60 + 29 = 89
    Ergebnis:
    89
  3. ★3
    Ben rechnet 49 + 212 + 151 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    49212151
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 49 + 151 + 212
    2. 49 + 151 = 200
    3. 200 + 212 = 412
    Ergebnis:
    412

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 88
6988
Schritt für Schritt
  1. 69 bekommt 1 dazu, 88 gibt 1 ab.
  2. 69 + 88 = 70 + 87
  3. 70 + 87 = 157
  1. 69 bekommt 1 dazu, 88 gibt 1 ab.
  2. 69 + 88 = 70 + 87
  3. 70 + 87 = 157
Ergebnis:
157

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 94 = 70 + ___
    6994
    So fängst du an:
    69 wird zu 70: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 94 um 1 kleiner werden: 94 − 1 = 93
    3. 70 + 93 = 163
    Ergebnis:
    93
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 63 = 200 + ___
    19863
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 63 um 2 kleiner werden: 63 − 2 = 61
    3. 200 + 61 = 261
    Ergebnis:
    61
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 397 + 416
    397416
    Lösung zeigen
    1. 397 bekommt 3 dazu, 416 gibt 3 ab.
    2. 397 + 416 = 400 + 413
    3. 400 + 413 = 813
    Ergebnis:
    813

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 34
Schritt für Schritt
  1. 34 = 30 + 4
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 4 = 28
  3. 210 + 28 = 238
  1. 34 = 30 + 4
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 4 = 28
  3. 210 + 28 = 238
Ergebnis:
238

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 23
    So fängst du an:
    23 = 20 + 3
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 3 = 9
    3. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 44
    Lösung zeigen
    1. 44 = 40 + 4
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 4 = 36
    3. 360 + 36 = 396
    Ergebnis:
    396
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 6 · 200 = 1200 und 6 · 2 = 12
    3. 1200 − 12 = 1188
    Ergebnis:
    1188

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 488 : 8
Schritt für Schritt
  1. 488 = 480 + 8
  2. 480 : 8 = 60 und 8 : 8 = 1
  3. 60 + 1 = 61
  1. 488 = 480 + 8
  2. 480 : 8 = 60 und 8 : 8 = 1
  3. 60 + 1 = 61
Ergebnis:
61

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 255 : 5
    So fängst du an:
    255 = 250 + 5
    Lösung zeigen
    1. 255 = 250 + 5
    2. 250 : 5 = 50 und 5 : 5 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 315 : 5
    Lösung zeigen
    1. 315 = 300 + 15
    2. 300 : 5 = 60 und 15 : 5 = 3
    3. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63
  3. ★12
    Zerlege 1176 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 1176 : 8?
    1176: 8
    Lösung zeigen
    1. 1176 = 1120 + 56
    2. 1120 : 8 = 140 und 56 : 8 = 7
    3. 140 + 7 = 147
    Ergebnis:
    147

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 81 + 14 = 79 + ___
81 + 14=79 + ?
Schritt für Schritt
  1. 81 wird zu 79: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 14 um 2 größer.
  3. 14 + 2 = 16
  1. 81 wird zu 79: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 14 um 2 größer.
  3. 14 + 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 50 − 32 = ___ − 42
    So fängst du an:
    32 wird zu 42: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 32 wird zu 42: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 50 um 10 größer.
    3. 50 + 10 = 60
    Ergebnis:
    60
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 13 = 2 · ___
    4 · 13=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 34 + 58 = 24 + ___
    34 + 58=24 + ?
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 24: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 10 größer.
    3. 58 + 10 = 68
    Ergebnis:
    68

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Aylin verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 90

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 34 + 58 + 66? Nenne ihn und rechne.
    34 + 58 + 66zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 34 + 66 = 100
    3. 100 + 58 = 158
    Ergebnis:
    vertauschen, 158
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 126 + 497? Nenne ihn und rechne.
    126 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 126 + 497 = 123 + 500
    3. 123 + 500 = 623
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 623

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 296 : 8 und erhält 36. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
296 : 8Ergebnis 36?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 36 · 8 = 288
  2. 288 ist nicht 296: Es ist falsch.
  3. 296 : 8 = 37
  1. Umkehraufgabe: 36 · 8 = 288
  2. 288 ist nicht 296: Es ist falsch.
  3. 296 : 8 = 37
Ergebnis:
falsch, richtig ist 37

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia erhält für 84 · 22 das Ergebnis 1848. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 20 = 1600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
    2. 1848 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 84 · 22 = 1848
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1848
  2. ●23
    Ben rechnet 516 : 6 und erhält 87. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    516 : 6Ergebnis 87?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 87 · 6 = 522
    2. 522 ist nicht 516: Es ist falsch.
    3. 516 : 6 = 86
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 86
  3. ★24
    Elias erhält für 382 · 15 das Ergebnis 5930. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 20 = 8000
    2. 5930 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 382 · 15 = 5730
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5730

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 22 + 72 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    227218
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 18 + 72
    2. 22 + 18 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 72 = 112
    Ergebnis:
    112
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 7 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Packungen7 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 7
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 66 = 300 + ___
    29866
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 66 um 2 kleiner werden: 66 − 2 = 64
    3. 300 + 64 = 364
    Ergebnis:
    64
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 98 − 49 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 1 größer: 99.
    3. 99 − 50 = 49
    Ergebnis:
    99
  5. ●29
    Es gibt 5 Reihen mit je 38 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 38
    2. 38 = 30 + 8
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 8 = 40
    4. 150 + 40 = 190
    Ergebnis:
    190 Stühle
  6. ●30
    Emma rechnet 7 · 26 so: erst 7 · 20, dann 6 dazu. Emma erhält 146. Zeige am Bild, was fehlt.
    2067
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 6 Kästchen, nicht nur 6.
    2. Rechter Teil: 7 · 6 = 42
    3. 140 + 42 = 182
    Ergebnis:
    182

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 16 + 47 + 84
    164784
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    147

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 46
    19746
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    243

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Hefte mit je 61 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    305 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 306 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 15 = 9 · ___
    18 · 15=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 65? Nenne ihn und rechne.
    9 · 65zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 585

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 604 − 424 und erhält 190. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 180

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 136
  2. 89
  3. 412
  4. 93
  5. 61
  6. 813
  7. 69
  8. 396
  9. 1188
  10. 51
  11. 63
  12. 147
  13. 60
  14. 26
  15. 68
  16. 90
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 3000
  19. halbieren und verdoppeln, 400
  20. vertauschen, 158
  21. gegensinnig verändern, 623
  22. stimmt, 1848
  23. falsch, richtig ist 86
  24. falsch, richtig ist 5730
  25. 112
  26. 700 Bälle
  27. 64
  28. 99
  29. 190 Stühle
  30. 182
  31. 147
  32. 243
  33. 305 Hefte
  34. 51
  35. 30
  36. 180
  37. zerlegen, 585
  38. falsch, richtig ist 180
  39. 27
  40. 144
  41. 29
  42. 45