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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 46 − 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 46 − 24 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●40
    Rechne: (9 + 5) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 5 = 14
    2. 14 · 9 = 126
    Ergebnis:
    126

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 10 + 24 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 14 und erhalte 45. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 9 + 67 + 11
96711
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 9 + 11 + 67
  2. 9 + 11 = 20
  3. 20 + 67 = 87
  1. Vertauschen: 9 + 11 + 67
  2. 9 + 11 = 20
  3. 20 + 67 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom rechnet 17 + 81 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    178113
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 13 + 81
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 13 + 81
    2. 17 + 13 = 30
    3. 30 + 81 = 111
    Ergebnis:
    111
  2. ●2
    Mia rechnet 27 + 26 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    27263
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 3 + 26
    2. 27 + 3 = 30
    3. 30 + 26 = 56
    Ergebnis:
    56
  3. ★3
    Rechne geschickt: 57 + 539 + 77 + 43 + 23
    57539774323
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 57 + 43 + 77 + 23 + 539
    2. 57 + 43 = 100 und 77 + 23 = 100
    3. 100 + 100 + 539 = 739
    Ergebnis:
    739

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 85
19885
Schritt für Schritt
  1. 198 bekommt 2 dazu, 85 gibt 2 ab.
  2. 198 + 85 = 200 + 83
  3. 200 + 83 = 283
  1. 198 bekommt 2 dazu, 85 gibt 2 ab.
  2. 198 + 85 = 200 + 83
  3. 200 + 83 = 283
Ergebnis:
283

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 93
    29893
    So fängst du an:
    298 bekommt 2 dazu, 93 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 93 gibt 2 ab.
    2. 298 + 93 = 300 + 91
    3. 300 + 91 = 391
    Ergebnis:
    391
  2. ●5
    Sofia rechnet 199 + 65 als 200 + 65. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    19965
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 65 = 265.
    3. 1 wieder abziehen: 265 − 1 = 264
    Ergebnis:
    264
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 698 + 224
    698224
    Lösung zeigen
    1. 698 bekommt 2 dazu, 224 gibt 2 ab.
    2. 698 + 224 = 700 + 222
    3. 700 + 222 = 922
    Ergebnis:
    922

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Tüten mit je 61 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 61
  2. 61 = 60 + 1
  3. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  4. 480 + 8 = 488
  1. 8 · 61
  2. 61 = 60 + 1
  3. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  4. 480 + 8 = 488
Ergebnis:
488 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
    3. 200 − 5 = 195
    Ergebnis:
    195
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 15
    Lösung zeigen
    1. 15 = 10 + 5
    2. 5 · 10 = 50 und 5 · 5 = 25
    3. 50 + 25 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 158
    Lösung zeigen
    1. 158 = 100 + 50 + 8
    2. 5 · 100 = 500; 5 · 50 = 250; 5 · 8 = 40
    3. 500 + 250 + 40 = 790
    Ergebnis:
    790

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 440 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 440 : 8?
440: 8
Schritt für Schritt
  1. 440 = 400 + 40
  2. 400 : 8 = 50 und 40 : 8 = 5
  3. 50 + 5 = 55
  1. 440 = 400 + 40
  2. 400 : 8 = 50 und 40 : 8 = 5
  3. 50 + 5 = 55
Ergebnis:
55

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 87 : 3
    So fängst du an:
    87 = 60 + 27
    Lösung zeigen
    1. 87 = 60 + 27
    2. 60 : 3 = 20 und 27 : 3 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 207 : 9
    Lösung zeigen
    1. 207 = 180 + 27
    2. 180 : 9 = 20 und 27 : 9 = 3
    3. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    23
  3. ★12
    749 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 749 : 7
    2. 749 = 700 + 49
    3. 700 : 7 = 100 und 49 : 7 = 7
    4. 100 + 7 = 107
    Ergebnis:
    107 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 72 − 42 = ___ − 43
Schritt für Schritt
  1. 42 wird zu 43: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 72 um 1 größer.
  3. 72 + 1 = 73
  1. 42 wird zu 43: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 72 um 1 größer.
  3. 72 + 1 = 73
Ergebnis:
73

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 37 + 57 = 38 + ___
    So fängst du an:
    37 wird zu 38: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 38: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 57 um 1 kleiner.
    3. 57 − 1 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 97 − 50 = ___ − 52
    Lösung zeigen
    1. 50 wird zu 52: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 97 um 2 größer.
    3. 97 + 2 = 99
    Ergebnis:
    99
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 89 + 37 = 99 + ___
    89 + 37=99 + ?
    Lösung zeigen
    1. 89 wird zu 99: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 10 kleiner.
    3. 37 − 10 = 27
    Ergebnis:
    27

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 7 · 26? Nenne ihn und rechne.
7 · 26zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 26 = 20 + 6.
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 6 = 42
  3. Zusammen: 182
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 26 = 20 + 6.
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 6 = 42
  3. Zusammen: 182
Ergebnis:
zerlegen, 182

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 46 + 56 + 54? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 46 + 54 = 100
    3. 100 + 56 = 156
    Ergebnis:
    vertauschen, 156
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 341 + 598? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 341 + 598 = 339 + 600
    3. 339 + 600 = 939
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 939
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 36 + 29 + 64? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 36 + 64 = 100
    3. 100 + 29 = 129
    Ergebnis:
    vertauschen, 129

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma rechnet 974 − 906 und erhält 168. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 168 + 906 = 1074
  2. 1074 ist nicht 974: Es ist falsch.
  3. 974 − 906 = 68
  1. Umkehraufgabe: 168 + 906 = 1074
  2. 1074 ist nicht 974: Es ist falsch.
  3. 974 − 906 = 68
Ergebnis:
falsch, richtig ist 68

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 765 : 9 und erhält 86. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    765 : 9Ergebnis 86?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 86 · 9 = 774
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 86 · 9 = 774
    2. 774 ist nicht 765: Es ist falsch.
    3. 765 : 9 = 85
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 85
  2. ●23
    Jonas erhält für 78 · 37 das Ergebnis 3086. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
    2. 3086 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 78 · 37 = 2886
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2886
  3. ★24
    Lea erhält für 305 · 18 das Ergebnis 6490. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 6490 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 305 · 18 = 5490
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5490

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Jonas rechnet 3 + 73 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    37317
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 3 + 17 + 73
    2. 3 + 17 = 20
    3. 20 + 73 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 16 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kisten16 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 16
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 16 = 160
    Ergebnis:
    160 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 55
    6955
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 55 gibt 1 ab.
    2. 69 + 55 = 70 + 54
    3. 70 + 54 = 124
    Ergebnis:
    124
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 76 − 49 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 76 um 1 größer: 77.
    3. 77 − 50 = 27
    Ergebnis:
    77
  5. ●29
    Es gibt 6 Tüten mit je 31 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 31
    2. 31 = 30 + 1
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    4. 180 + 6 = 186
    Ergebnis:
    186 Bonbons
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 23?
    2037
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 3 = 21
    3. 7 · 23 = 140 + 21 = 161
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 3, zusammen 161

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 14 + 53 + 6
    14536
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    73

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Tom rechnet 298 + 47 als 300 + 47. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    29847
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    345

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 58
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    290

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    152 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 7 = 2 · ___
    4 · 7=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 486 : 6 und erhält 83. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    486 : 6Ergebnis 83?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 81

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 111
  2. 56
  3. 739
  4. 391
  5. 264
  6. 922
  7. 195
  8. 75
  9. 790
  10. 29
  11. 23
  12. 107 Bücher
  13. 56
  14. 99
  15. 27
  16. 90
  17. 80
  18. 180
  19. vertauschen, 156
  20. gegensinnig verändern, 939
  21. vertauschen, 129
  22. falsch, richtig ist 85
  23. falsch, richtig ist 2886
  24. falsch, richtig ist 5490
  25. 93
  26. 160 Bälle
  27. 124
  28. 77
  29. 186 Bonbons
  30. 7 · 20 und 7 · 3, zusammen 161
  31. 73
  32. 345
  33. 290
  34. 19 Bücher
  35. 14
  36. 200
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. falsch, richtig ist 81
  39. 22
  40. 126
  41. 34
  42. 31