Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 3 + 32 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (9 + 2) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 2 = 11
    2. 11 · 6 = 66
    Ergebnis:
    66

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 6 + 24 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 19 und erhalte 67. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Milan rechnet 38 + 56 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
385622
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 38 + 22 + 56
  2. 38 + 22 = 60
  3. 60 + 56 = 116
  1. Vertauschen: 38 + 22 + 56
  2. 38 + 22 = 60
  3. 60 + 56 = 116
Ergebnis:
116

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 32 + 86 + 68 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    328668
    So fängst du an:
    Vertauschen: 32 + 68 + 86
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 32 + 68 + 86
    2. 32 + 68 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 86 = 186
    Ergebnis:
    186
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 21 + 81 + 9 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    21819
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 9 + 81
    2. 21 + 9 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 81 = 111
    Ergebnis:
    111
  3. ★3
    Rechne geschickt: 29 + 287 + 12 + 71 + 88
    29287127188
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 29 + 71 + 12 + 88 + 287
    2. 29 + 71 = 100 und 12 + 88 = 100
    3. 100 + 100 + 287 = 487
    Ergebnis:
    487

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Milan rechnet 69 + 72 als 70 + 72. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
6972
Schritt für Schritt
  1. Milan hat 69 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 72 = 142.
  3. 1 wieder abziehen: 142 − 1 = 141
  1. Milan hat 69 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 72 = 142.
  3. 1 wieder abziehen: 142 − 1 = 141
Ergebnis:
141

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 44 = 200 + ___
    19844
    So fängst du an:
    198 wird zu 200: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 44 um 2 kleiner werden: 44 − 2 = 42
    3. 200 + 42 = 242
    Ergebnis:
    42
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 28
    29728
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 28 gibt 3 ab.
    2. 297 + 28 = 300 + 25
    3. 300 + 25 = 325
    Ergebnis:
    325
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 999 + 238 = 1000 + ___
    999238
    Lösung zeigen
    1. 999 wird zu 1000: 1 mehr.
    2. Also muss 238 um 1 kleiner werden: 238 − 1 = 237
    3. 1000 + 237 = 1237
    Ergebnis:
    237

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
  3. 160 − 4 = 156
  1. 39 = 40 − 1
  2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
  3. 160 − 4 = 156
Ergebnis:
156

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Tüten mit je 26 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 26
    Lösung zeigen
    1. 9 · 26
    2. 26 = 20 + 6
    3. 9 · 20 = 180 und 9 · 6 = 54
    4. 180 + 54 = 234
    Ergebnis:
    234 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 9 Tüten mit je 66 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 66
    2. 66 = 60 + 6
    3. 9 · 60 = 540 und 9 · 6 = 54
    4. 540 + 54 = 594
    Ergebnis:
    594 Bonbons
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 78
    Lösung zeigen
    1. 78 = 70 + 8
    2. 6 · 70 = 420 und 6 · 8 = 48
    3. 420 + 48 = 468
    Ergebnis:
    468

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 354 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 354 : 6?
354: 6
Schritt für Schritt
  1. 354 = 300 + 54
  2. 300 : 6 = 50 und 54 : 6 = 9
  3. 50 + 9 = 59
  1. 354 = 300 + 54
  2. 300 : 6 = 50 und 54 : 6 = 9
  3. 50 + 9 = 59
Ergebnis:
59

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 212 : 4
    So fängst du an:
    212 = 200 + 12
    Lösung zeigen
    1. 212 = 200 + 12
    2. 200 : 4 = 50 und 12 : 4 = 3
    3. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●11
    Zerlege 177 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 177 : 3?
    177: 3
    Lösung zeigen
    1. 177 = 150 + 27
    2. 150 : 3 = 50 und 27 : 3 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 470 : 5
    Lösung zeigen
    1. 470 = 450 + 20
    2. 450 : 5 = 90 und 20 : 5 = 4
    3. 90 + 4 = 94
    Ergebnis:
    94

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 50 − 34 = ___ − 36
Schritt für Schritt
  1. 34 wird zu 36: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 50 um 2 größer.
  3. 50 + 2 = 52
  1. 34 wird zu 36: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 50 um 2 größer.
  3. 50 + 2 = 52
Ergebnis:
52

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 96 − 30 = ___ − 40
    So fängst du an:
    30 wird zu 40: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 30 wird zu 40: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 96 um 10 größer.
    3. 96 + 10 = 106
    Ergebnis:
    106
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 26 + 80 = 36 + ___
    26 + 80=36 + ?
    Lösung zeigen
    1. 26 wird zu 36: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 80 um 10 kleiner.
    3. 80 − 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 59 + 22 = 62 + ___
    59 + 22=62 + ?
    Lösung zeigen
    1. 59 wird zu 62: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 3 kleiner.
    3. 22 − 3 = 19
    Ergebnis:
    19

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zeynep verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  2. ●17
    Noah verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Elias verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 201 + 598? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 201 + 598 = 199 + 600
  3. 199 + 600 = 799
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 201 + 598 = 199 + 600
  3. 199 + 600 = 799
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 799

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 247 + 299? Nenne ihn und rechne.
    247 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 247 + 299 = 246 + 300
    3. 246 + 300 = 546
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 546
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 155 + 497? Nenne ihn und rechne.
    155 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 155 + 497 = 152 + 500
    3. 152 + 500 = 652
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 652

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas rechnet 866 − 680 und erhält 186. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 186 + 680 = 866
  2. 866 ist genau 866: Es stimmt.
  3. 866 − 680 = 186
  1. Umkehraufgabe: 186 + 680 = 866
  2. 866 ist genau 866: Es stimmt.
  3. 866 − 680 = 186
Ergebnis:
stimmt, 186

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben rechnet 755 − 371 und erhält 484. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 484 + 371 = 855
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 484 + 371 = 855
    2. 855 ist nicht 755: Es ist falsch.
    3. 755 − 371 = 384
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 384
  2. ●23
    Ben rechnet 581 − 337 und erhält 234. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 234 + 337 = 571
    2. 571 ist nicht 581: Es ist falsch.
    3. 581 − 337 = 244
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 244
  3. ★24
    Lina rechnet 1750 : 7 und erhält 250. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1750 : 7Ergebnis 250?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 250 · 7 = 1750
    2. 1750 ist genau 1750: Es stimmt.
    3. 1750 : 7 = 250
    Ergebnis:
    stimmt, 250

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 59 + 36 + 41 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    593641
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 59 + 41 + 36
    2. 59 + 41 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    136
  2. ●26
    Rechne geschickt: 8 · 5 · 20
    8520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 8
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 8 = 800
    Ergebnis:
    800
  3. ●27
    Hanna rechnet 99 + 88 als 100 + 88. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    9988
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 88 = 188.
    3. 1 wieder abziehen: 188 − 1 = 187
    Ergebnis:
    187
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 71 − 47
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 71 − 47 = 74 − 50
    3. 74 − 50 = 24
    Ergebnis:
    24
  5. ●29
    Es gibt 5 Tüten mit je 56 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 56
    2. 56 = 50 + 6
    3. 5 · 50 = 250 und 5 · 6 = 30
    4. 250 + 30 = 280
    Ergebnis:
    280 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 26 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2066
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 20 = 120
    2. Rechter Teil: 6 · 6 = 36
    3. Zusammen: 120 + 36 = 156
    Ergebnis:
    156 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 6 + 86 + 14
    68614
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    106

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 75
    19775
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    272

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 42
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    294

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 567 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 567 : 9?
    567: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 40 + 53 = 38 + ___
    40 + 53=38 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas rechnet 474 : 6 und erhält 78. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    474 : 6Ergebnis 78?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 79

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 186
  2. 111
  3. 487
  4. 42
  5. 325
  6. 237
  7. 234 Bonbons
  8. 594 Bonbons
  9. 468
  10. 53
  11. 59
  12. 94
  13. 106
  14. 70
  15. 19
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. gegensinnig verändern, 546
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. gegensinnig verändern, 652
  22. falsch, richtig ist 384
  23. falsch, richtig ist 244
  24. stimmt, 250
  25. 136
  26. 800
  27. 187
  28. 24
  29. 280 Bonbons
  30. 156 Kästchen
  31. 106
  32. 272
  33. 294
  34. 63
  35. 55
  36. 180
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. falsch, richtig ist 79
  39. 35
  40. 66
  41. 30
  42. 48