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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 54 − 2 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 9 = 18
    2. 54 − 18 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●40
    Rechne: (9 + 3) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 3 = 12
    2. 12 · 5 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 8 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 2 = 16
    2. 2 + 16 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 9 und erhalte 20. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Mia rechnet 14 + 72 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
147236
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 36 + 72
  2. 14 + 36 = 50
  3. 50 + 72 = 122
  1. Vertauschen: 14 + 36 + 72
  2. 14 + 36 = 50
  3. 50 + 72 = 122
Ergebnis:
122

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 7 + 34 + 13
    73413
    So fängst du an:
    Vertauschen: 7 + 13 + 34
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 34
    2. 7 + 13 = 20
    3. 20 + 34 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●2
    Aylin rechnet 32 + 24 + 68 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    322468
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 32 + 68 + 24
    2. 32 + 68 = 100
    3. 100 + 24 = 124
    Ergebnis:
    124
  3. ★3
    Can rechnet 73 + 763 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    7376327
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 73 + 27 + 763
    2. 73 + 27 = 100
    3. 100 + 763 = 863
    Ergebnis:
    863

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 38 + 57 als 40 + 57. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
3857
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 38 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 57 = 97.
  3. 2 wieder abziehen: 97 − 2 = 95
  1. Noah hat 38 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 57 = 97.
  3. 2 wieder abziehen: 97 − 2 = 95
Ergebnis:
95

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Milan rechnet 69 + 49 als 70 + 49. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    6949
    So fängst du an:
    Milan hat 69 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 49 = 119.
    3. 1 wieder abziehen: 119 − 1 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●5
    Ben rechnet 198 + 77 als 200 + 77. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    19877
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 77 = 277.
    3. 2 wieder abziehen: 277 − 2 = 275
    Ergebnis:
    275
  3. ★6
    Sofia rechnet 497 + 707 als 500 + 707. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    497707
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 497 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 500 + 707 = 1207.
    3. 3 wieder abziehen: 1207 − 3 = 1204
    Ergebnis:
    1204

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Tüten mit je 43 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 43
  2. 43 = 40 + 3
  3. 4 · 40 = 160 und 4 · 3 = 12
  4. 160 + 12 = 172
  1. 4 · 43
  2. 43 = 40 + 3
  3. 4 · 40 = 160 und 4 · 3 = 12
  4. 160 + 12 = 172
Ergebnis:
172 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
    3. 450 − 9 = 441
    Ergebnis:
    441
  2. ●8
    Es gibt 5 Tüten mit je 54 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 54
    2. 54 = 50 + 4
    3. 5 · 50 = 250 und 5 · 4 = 20
    4. 250 + 20 = 270
    Ergebnis:
    270 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 3 Tüten mit je 68 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 68
    2. 68 = 60 + 8
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 8 = 24
    4. 180 + 24 = 204
    Ergebnis:
    204 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 255 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 255 : 5?
255: 5
Schritt für Schritt
  1. 255 = 250 + 5
  2. 250 : 5 = 50 und 5 : 5 = 1
  3. 50 + 1 = 51
  1. 255 = 250 + 5
  2. 250 : 5 = 50 und 5 : 5 = 1
  3. 50 + 1 = 51
Ergebnis:
51

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    305 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    305 : 5
    Lösung zeigen
    1. 305 : 5
    2. 305 = 300 + 5
    3. 300 : 5 = 60 und 5 : 5 = 1
    4. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 423 : 9
    Lösung zeigen
    1. 423 = 360 + 63
    2. 360 : 9 = 40 und 63 : 9 = 7
    3. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47
  3. ★12
    310 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 310 : 5
    2. 310 = 300 + 10
    3. 300 : 5 = 60 und 10 : 5 = 2
    4. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 91 − 74 = ___ − 75
Schritt für Schritt
  1. 74 wird zu 75: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 91 um 1 größer.
  3. 91 + 1 = 92
  1. 74 wird zu 75: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 91 um 1 größer.
  3. 91 + 1 = 92
Ergebnis:
92

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 75 + 37 = 76 + ___
    75 + 37=76 + ?
    So fängst du an:
    75 wird zu 76: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 75 wird zu 76: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 1 kleiner.
    3. 37 − 1 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 91 − 16 = ___ − 21
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 21: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 91 um 5 größer.
    3. 91 + 5 = 96
    Ergebnis:
    96
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 7 · 23 + 7 · 9 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 23 und 7 mal 9 sind zusammen 7 mal (23 + 9).
    3. 23 + 9 = 32
    Ergebnis:
    32

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Sofia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 22 · 15
    Lösung zeigen
    1. 22 · 15 = 11 · 30
    2. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 43 + 48 + 57? Nenne ihn und rechne.
    43 + 48 + 57zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 43 + 57 = 100
    3. 100 + 48 = 148
    Ergebnis:
    vertauschen, 148
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 42 + 22 + 58? Nenne ihn und rechne.
    42 + 22 + 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 42 + 58 = 100
    3. 100 + 22 = 122
    Ergebnis:
    vertauschen, 122
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 77? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 77 = 70 + 7.
    2. 5 · 70 = 350 und 5 · 7 = 35
    3. Zusammen: 385
    Ergebnis:
    zerlegen, 385

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea erhält für 29 · 30 das Ergebnis 670. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 30 = 900
  2. 670 liegt zu weit weg. Genau: 29 · 30 = 870
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 30 · 30 = 900
  2. 670 liegt zu weit weg. Genau: 29 · 30 = 870
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 870

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 792 − 542 und erhält 240. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 240 + 542 = 782
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 240 + 542 = 782
    2. 782 ist nicht 792: Es ist falsch.
    3. 792 − 542 = 250
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 250
  2. ●23
    Hanna rechnet 433 − 228 und erhält 205. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 205 + 228 = 433
    2. 433 ist genau 433: Es stimmt.
    3. 433 − 228 = 205
    Ergebnis:
    stimmt, 205
  3. ★24
    Hanna erhält für 199 · 35 das Ergebnis 6765. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 40 = 8000
    2. 6765 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 199 · 35 = 6965
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6965

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 17 + 89 + 23
    178923
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 23 + 89
    2. 17 + 23 = 40
    3. 40 + 89 = 129
    Ergebnis:
    129
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 16 · 2 · 50 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    16250
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 16
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 96
    4996
    Lösung zeigen
    1. 49 bekommt 1 dazu, 96 gibt 1 ab.
    2. 49 + 96 = 50 + 95
    3. 50 + 95 = 145
    Ergebnis:
    145
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 131 − 17
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 131 − 17 = 134 − 20
    3. 134 − 20 = 114
    Ergebnis:
    114
  5. ●29
    Es gibt 9 Tüten mit je 59 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 59
    2. 59 = 50 + 9
    3. 9 · 50 = 450 und 9 · 9 = 81
    4. 450 + 81 = 531
    Ergebnis:
    531 Bonbons
  6. ●30
    Lea rechnet 5 · 16 so: erst 5 · 10, dann 6 dazu. Lea erhält 56. Zeige am Bild, was fehlt.
    1065
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 6 Kästchen, nicht nur 6.
    2. Rechter Teil: 5 · 6 = 30
    3. 50 + 30 = 80
    Ergebnis:
    80

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Aylin rechnet 81 + 51 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    815119
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    151

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Tom rechnet 48 + 58 als 50 + 58. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    4858
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    106

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 141 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 141 : 3?
    141: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 51 − 31 = ___ − 32
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Can verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 385 + 198? Nenne ihn und rechne.
    385 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 583

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 800 − 154 und erhält 646. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 646

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 54
  2. 124
  3. 863
  4. 118
  5. 275
  6. 1204
  7. 441
  8. 270 Bonbons
  9. 204 Bonbons
  10. 61 Murmeln
  11. 47
  12. 62 Sticker
  13. 36
  14. 96
  15. 32
  16. 210
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 330
  19. vertauschen, 148
  20. vertauschen, 122
  21. zerlegen, 385
  22. falsch, richtig ist 250
  23. stimmt, 205
  24. falsch, richtig ist 6965
  25. 129
  26. 1600
  27. 145
  28. 114
  29. 531 Bonbons
  30. 80
  31. 151
  32. 106
  33. 57
  34. 47
  35. 52
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  37. gegensinnig verändern, 583
  38. stimmt, 646
  39. 36
  40. 60
  41. 18
  42. 11