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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 4 = 12
    2. 3 + 12 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●40
    Rechne: (8 + 7) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 7 = 15
    2. 15 · 3 = 45
    Ergebnis:
    45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 7 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 3 = 21
    2. 5 + 21 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 39. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Hanna rechnet 13 + 54 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
13547
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 13 + 7 + 54
  2. 13 + 7 = 20
  3. 20 + 54 = 74
  1. Vertauschen: 13 + 7 + 54
  2. 13 + 7 = 20
  3. 20 + 54 = 74
Ergebnis:
74

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 27 + 67 + 3
    27673
    So fängst du an:
    Vertauschen: 27 + 3 + 67
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 3 + 67
    2. 27 + 3 = 30
    3. 30 + 67 = 97
    Ergebnis:
    97
  2. ●2
    Rechne geschickt: 16 + 47 + 4
    16474
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 4 + 47
    2. 16 + 4 = 20
    3. 20 + 47 = 67
    Ergebnis:
    67
  3. ★3
    Tom rechnet 173 + 711 + 127 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    173711127
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 173 + 127 + 711
    2. 173 + 127 = 300
    3. 300 + 711 = 1011
    Ergebnis:
    1011

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 95 = 100 + ___
9795
Schritt für Schritt
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 95 um 3 kleiner werden: 95 − 3 = 92
  3. 100 + 92 = 192
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 95 um 3 kleiner werden: 95 − 3 = 92
  3. 100 + 92 = 192
Ergebnis:
92

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lea rechnet 99 + 77 als 100 + 77. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    9977
    So fängst du an:
    Lea hat 99 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 77 = 177.
    3. 1 wieder abziehen: 177 − 1 = 176
    Ergebnis:
    176
  2. ●5
    Aylin rechnet 197 + 36 als 200 + 36. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    19736
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 36 = 236.
    3. 3 wieder abziehen: 236 − 3 = 233
    Ergebnis:
    233
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 698 + 317 = 700 + ___
    698317
    Lösung zeigen
    1. 698 wird zu 700: 2 mehr.
    2. Also muss 317 um 2 kleiner werden: 317 − 2 = 315
    3. 700 + 315 = 1015
    Ergebnis:
    315

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
  3. 150 − 5 = 145
  1. 29 = 30 − 1
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
  3. 150 − 5 = 145
Ergebnis:
145

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Hefte mit je 62 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 62
    Lösung zeigen
    1. 8 · 62
    2. 62 = 60 + 2
    3. 8 · 60 = 480 und 8 · 2 = 16
    4. 480 + 16 = 496
    Ergebnis:
    496 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 23
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 3 = 21
    3. 140 + 21 = 161
    Ergebnis:
    161
  3. ★9
    Es gibt 5 Hefte mit je 13 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 5 · 10 = 50 und 5 · 3 = 15
    4. 50 + 15 = 65
    Ergebnis:
    65 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 528 : 8
Schritt für Schritt
  1. 528 = 480 + 48
  2. 480 : 8 = 60 und 48 : 8 = 6
  3. 60 + 6 = 66
  1. 528 = 480 + 48
  2. 480 : 8 = 60 und 48 : 8 = 6
  3. 60 + 6 = 66
Ergebnis:
66

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 275 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 275 : 5?
    275: 5
    So fängst du an:
    275 = 250 + 25
    Lösung zeigen
    1. 275 = 250 + 25
    2. 250 : 5 = 50 und 25 : 5 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●11
    Zerlege 132 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 132 : 6?
    132: 6
    Lösung zeigen
    1. 132 = 120 + 12
    2. 120 : 6 = 20 und 12 : 6 = 2
    3. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★12
    Zerlege 321 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 321 : 3?
    321: 3
    Lösung zeigen
    1. 321 = 300 + 21
    2. 300 : 3 = 100 und 21 : 3 = 7
    3. 100 + 7 = 107
    Ergebnis:
    107

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 33 + 66 = 23 + ___
33 + 66=23 + ?
Schritt für Schritt
  1. 33 wird zu 23: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 66 um 10 größer.
  3. 66 + 10 = 76
  1. 33 wird zu 23: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 66 um 10 größer.
  3. 66 + 10 = 76
Ergebnis:
76

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 18 · 3 = 9 · ___
    18 · 3=9 · ?
    So fängst du an:
    18 wird halb so groß: 9.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 43 − 37 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 38: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 43 um 1 größer.
    3. 43 + 1 = 44
    Ergebnis:
    44
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 3 · 22 + 3 · 7 = 3 · ___
    3 · 22 + 3 · 7=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 3.
    2. 3 mal 22 und 3 mal 7 sind zusammen 3 mal (22 + 7).
    3. 22 + 7 = 29
    Ergebnis:
    29

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 67? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 67 = 60 + 7.
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 7 = 35
  3. Zusammen: 335
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 67 = 60 + 7.
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 7 = 35
  3. Zusammen: 335
Ergebnis:
zerlegen, 335

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 260 + 497? Nenne ihn und rechne.
    260 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 260 + 497 = 257 + 500
    3. 257 + 500 = 757
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 757
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 32 + 27 + 68? Nenne ihn und rechne.
    32 + 27 + 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 32 + 68 = 100
    3. 100 + 27 = 127
    Ergebnis:
    vertauschen, 127

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 83 · 15 das Ergebnis 1445. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1445 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 83 · 15 = 1245
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1445 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 83 · 15 = 1245
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1245

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 803 − 597 und erhält 306. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 306 + 597 = 903
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 306 + 597 = 903
    2. 903 ist nicht 803: Es ist falsch.
    3. 803 − 597 = 206
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 206
  2. ●23
    Sofia erhält für 26 · 28 das Ergebnis 1728. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 30 = 900
    2. 1728 liegt zu weit weg. Genau: 26 · 28 = 728
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 728
  3. ★24
    Jonas erhält für 363 · 17 das Ergebnis 6171. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 20 = 8000
    2. 6171 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 363 · 17 = 6171
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 6171

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Jonas rechnet 27 + 68 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    276823
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 23 + 68
    2. 27 + 23 = 50
    3. 50 + 68 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 7 · 50 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    7502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 7
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700
  3. ●27
    Zeynep rechnet 39 + 97 als 40 + 97. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    3997
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 97 = 137.
    3. 1 wieder abziehen: 137 − 1 = 136
    Ergebnis:
    136
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 82 − 19
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 82 − 19 = 83 − 20
    3. 83 − 20 = 63
    Ergebnis:
    63
  5. ●29
    Es gibt 7 Hefte mit je 49 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 49
    2. 49 = 40 + 9
    3. 7 · 40 = 280 und 7 · 9 = 63
    4. 280 + 63 = 343
    Ergebnis:
    343 Hefte
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 16?
    1066
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 10 = 60
    2. Rechts: 6 · 6 = 36
    3. 6 · 16 = 60 + 36 = 96
    Ergebnis:
    6 · 10 und 6 · 6, zusammen 96

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 78 + 51 + 22 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    785122
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    151

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 54
    29954
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    353

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 28
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    168

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    594 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 67 − 12 = ___ − 17
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 30? Nenne ihn und rechne.
    8 · 30zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 240

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 270 : 5 und erhält 64. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    270 : 5Ergebnis 64?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 54

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 97
  2. 67
  3. 1011
  4. 176
  5. 233
  6. 315
  7. 496 Hefte
  8. 161
  9. 65 Hefte
  10. 55
  11. 22
  12. 107
  13. 6
  14. 44
  15. 29
  16. 90
  17. 400
  18. 330
  19. gegensinnig verändern, 757
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. vertauschen, 127
  22. falsch, richtig ist 206
  23. falsch, richtig ist 728
  24. stimmt, 6171
  25. 118
  26. 700
  27. 136
  28. 63
  29. 343 Hefte
  30. 6 · 10 und 6 · 6, zusammen 96
  31. 151
  32. 353
  33. 168
  34. 66 Sticker
  35. 72
  36. 210
  37. zerlegen, 240
  38. falsch, richtig ist 54
  39. 15
  40. 45
  41. 26
  42. 8