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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 9 + 16 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (5 + 5) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 5 = 10
    2. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 7 + 36 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 8. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 57 + 87 + 3
57873
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 57 + 3 + 87
  2. 57 + 3 = 60
  3. 60 + 87 = 147
  1. Vertauschen: 57 + 3 + 87
  2. 57 + 3 = 60
  3. 60 + 87 = 147
Ergebnis:
147

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mia rechnet 12 + 25 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    122518
    So fängst du an:
    Vertauschen: 12 + 18 + 25
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 18 + 25
    2. 12 + 18 = 30
    3. 30 + 25 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●2
    Elias rechnet 44 + 89 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    448916
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 16 + 89
    2. 44 + 16 = 60
    3. 60 + 89 = 149
    Ergebnis:
    149
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 57 + 854 + 78 + 243 + 22 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    578547824322
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 57 + 243 + 78 + 22 + 854
    2. 57 + 243 = 300 und 78 + 22 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 854 = 1254
    Ergebnis:
    1254

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 26
4926
Schritt für Schritt
  1. 49 bekommt 1 dazu, 26 gibt 1 ab.
  2. 49 + 26 = 50 + 25
  3. 50 + 25 = 75
  1. 49 bekommt 1 dazu, 26 gibt 1 ab.
  2. 49 + 26 = 50 + 25
  3. 50 + 25 = 75
Ergebnis:
75

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Paul rechnet 38 + 49 als 40 + 49. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    3849
    So fängst du an:
    Paul hat 38 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 49 = 89.
    3. 2 wieder abziehen: 89 − 2 = 87
    Ergebnis:
    87
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 66 = 50 + ___
    4966
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 66 um 1 kleiner werden: 66 − 1 = 65
    3. 50 + 65 = 115
    Ergebnis:
    65
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 398 + 357 = 400 + ___
    398357
    Lösung zeigen
    1. 398 wird zu 400: 2 mehr.
    2. Also muss 357 um 2 kleiner werden: 357 − 2 = 355
    3. 400 + 355 = 755
    Ergebnis:
    355

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 3 Hefte mit je 27 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 3 · 27
  2. 27 = 20 + 7
  3. 3 · 20 = 60 und 3 · 7 = 21
  4. 60 + 21 = 81
  1. 3 · 27
  2. 27 = 20 + 7
  3. 3 · 20 = 60 und 3 · 7 = 21
  4. 60 + 21 = 81
Ergebnis:
81 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 1 = 7
    3. 350 − 7 = 343
    Ergebnis:
    343
  2. ●8
    Es gibt 3 Hefte mit je 48 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 48
    2. 48 = 40 + 8
    3. 3 · 40 = 120 und 3 · 8 = 24
    4. 120 + 24 = 144
    Ergebnis:
    144 Hefte
  3. ★9
    Es gibt 5 Reihen mit je 67 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 67
    2. 67 = 60 + 7
    3. 5 · 60 = 300 und 5 · 7 = 35
    4. 300 + 35 = 335
    Ergebnis:
    335 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 75 : 3
Schritt für Schritt
  1. 75 = 60 + 15
  2. 60 : 3 = 20 und 15 : 3 = 5
  3. 20 + 5 = 25
  1. 75 = 60 + 15
  2. 60 : 3 = 20 und 15 : 3 = 5
  3. 20 + 5 = 25
Ergebnis:
25

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 150 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 150 : 6?
    150: 6
    So fängst du an:
    150 = 120 + 30
    Lösung zeigen
    1. 150 = 120 + 30
    2. 120 : 6 = 20 und 30 : 6 = 5
    3. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 156 : 3
    Lösung zeigen
    1. 156 = 150 + 6
    2. 150 : 3 = 50 und 6 : 3 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 388 : 4
    Lösung zeigen
    1. 388 = 360 + 28
    2. 360 : 4 = 90 und 28 : 4 = 7
    3. 90 + 7 = 97
    Ergebnis:
    97

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 21 + 89 = 20 + ___
Schritt für Schritt
  1. 21 wird zu 20: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 1 größer.
  3. 89 + 1 = 90
  1. 21 wird zu 20: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 1 größer.
  3. 89 + 1 = 90
Ergebnis:
90

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 13 = 2 · ___
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 52 − 20 = ___ − 25
    Lösung zeigen
    1. 20 wird zu 25: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 52 um 5 größer.
    3. 52 + 5 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 56 − 33 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 38: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 5 größer.
    3. 56 + 5 = 61
    Ergebnis:
    61

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Lea verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Hanna verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 32? Nenne ihn. Rechne danach.
5 · 32zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 32 = 30 + 2.
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 2 = 10
  3. Zusammen: 160
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 32 = 30 + 2.
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 2 = 10
  3. Zusammen: 160
Ergebnis:
zerlegen, 160

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 384 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    384 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 384 + 198 = 382 + 200
    3. 382 + 200 = 582
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 582
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 57? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 57 = 50 + 7.
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 7 = 56
    3. Zusammen: 456
    Ergebnis:
    zerlegen, 456
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 368 : 4 und erhält 94. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
368 : 4Ergebnis 94?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 94 · 4 = 376
  2. 376 ist nicht 368: Es ist falsch.
  3. 368 : 4 = 92
  1. Umkehraufgabe: 94 · 4 = 376
  2. 376 ist nicht 368: Es ist falsch.
  3. 368 : 4 = 92
Ergebnis:
falsch, richtig ist 92

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin erhält für 61 · 13 das Ergebnis 793. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 60 · 10 = 600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 10 = 600
    2. 793 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 61 · 13 = 793
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 793
  2. ●23
    Hanna rechnet 620 − 334 und erhält 286. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 286 + 334 = 620
    2. 620 ist genau 620: Es stimmt.
    3. 620 − 334 = 286
    Ergebnis:
    stimmt, 286
  3. ★24
    Aylin erhält für 152 · 15 das Ergebnis 2480. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 20 = 4000
    2. 2480 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 152 · 15 = 2280
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2280

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 23 + 29 + 77
    232977
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 77 + 29
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 29 = 129
    Ergebnis:
    129
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 15 · 50 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    15502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 15
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 46 = 50 + ___
    4946
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 46 um 1 kleiner werden: 46 − 1 = 45
    3. 50 + 45 = 95
    Ergebnis:
    45
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 89 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 1 größer: 90.
    3. 90 − 40 = 50
    Ergebnis:
    90
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 15
    Lösung zeigen
    1. 15 = 10 + 5
    2. 3 · 10 = 30 und 3 · 5 = 15
    3. 30 + 15 = 45
    Ergebnis:
    45
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 16?
    1063
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 6 = 18
    3. 3 · 16 = 30 + 18 = 48
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 6, zusammen 48

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 23 + 34 + 37 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    233437
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Milan rechnet 198 + 33 als 200 + 33. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    19833
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    231

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 47
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    141

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    275 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 54 − 20 = ___ − 22
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 31? Nenne ihn. Rechne danach.
    7 · 31zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 217

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea rechnet 314 − 157 und erhält 167. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 157

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 55
  2. 149
  3. 1254
  4. 87
  5. 65
  6. 355
  7. 343
  8. 144 Hefte
  9. 335 Stühle
  10. 25
  11. 52
  12. 97
  13. 26
  14. 57
  15. 61
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. 800
  19. gegensinnig verändern, 582
  20. zerlegen, 456
  21. halbieren und verdoppeln, 400
  22. stimmt, 793
  23. stimmt, 286
  24. falsch, richtig ist 2280
  25. 129
  26. 1500
  27. 45
  28. 90
  29. 45
  30. 3 · 10 und 3 · 6, zusammen 48
  31. 94
  32. 231
  33. 141
  34. 55 Murmeln
  35. 56
  36. 90
  37. zerlegen, 217
  38. falsch, richtig ist 157
  39. 25
  40. 30
  41. 43
  42. 5