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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 9 + 36 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●40
    Rechne: (7 + 2) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 2 = 9
    2. 9 · 6 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 5 + 8 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 37 und erhalte 74. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 33 + 56 + 17
335617
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 33 + 17 + 56
  2. 33 + 17 = 50
  3. 50 + 56 = 106
  1. Vertauschen: 33 + 17 + 56
  2. 33 + 17 = 50
  3. 50 + 56 = 106
Ergebnis:
106

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Noah rechnet 27 + 61 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    27613
    So fängst du an:
    Vertauschen: 27 + 3 + 61
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 3 + 61
    2. 27 + 3 = 30
    3. 30 + 61 = 91
    Ergebnis:
    91
  2. ●2
    Rechne geschickt: 33 + 61 + 17
    336117
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 17 + 61
    2. 33 + 17 = 50
    3. 50 + 61 = 111
    Ergebnis:
    111
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 143 + 216 + 71 + 157 + 29 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    1432167115729
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 143 + 157 + 71 + 29 + 216
    2. 143 + 157 = 300 und 71 + 29 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 216 = 616
    Ergebnis:
    616

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 69
9869
Schritt für Schritt
  1. 98 bekommt 2 dazu, 69 gibt 2 ab.
  2. 98 + 69 = 100 + 67
  3. 100 + 67 = 167
  1. 98 bekommt 2 dazu, 69 gibt 2 ab.
  2. 98 + 69 = 100 + 67
  3. 100 + 67 = 167
Ergebnis:
167

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 27 = 70 + ___
    6827
    So fängst du an:
    68 wird zu 70: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 27 um 2 kleiner werden: 27 − 2 = 25
    3. 70 + 25 = 95
    Ergebnis:
    25
  2. ●5
    Sofia rechnet 48 + 29 als 50 + 29. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    4829
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 29 = 79.
    3. 2 wieder abziehen: 79 − 2 = 77
    Ergebnis:
    77
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 997 + 366
    997366
    Lösung zeigen
    1. 997 bekommt 3 dazu, 366 gibt 3 ab.
    2. 997 + 366 = 1000 + 363
    3. 1000 + 363 = 1363
    Ergebnis:
    1363

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 31
Schritt für Schritt
  1. 31 = 30 + 1
  2. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
  3. 120 + 4 = 124
  1. 31 = 30 + 1
  2. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
  3. 120 + 4 = 124
Ergebnis:
124

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
    3. 270 − 9 = 261
    Ergebnis:
    261
  2. ●8
    Es gibt 9 Hefte mit je 24 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 24
    2. 24 = 20 + 4
    3. 9 · 20 = 180 und 9 · 4 = 36
    4. 180 + 36 = 216
    Ergebnis:
    216 Hefte
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 7 · 200 = 1400 und 7 · 2 = 14
    3. 1400 − 14 = 1386
    Ergebnis:
    1386

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

208 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 208 : 4
  2. 208 = 200 + 8
  3. 200 : 4 = 50 und 8 : 4 = 2
  4. 50 + 2 = 52
  1. 208 : 4
  2. 208 = 200 + 8
  3. 200 : 4 = 50 und 8 : 4 = 2
  4. 50 + 2 = 52
Ergebnis:
52 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    305 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    305 : 5
    Lösung zeigen
    1. 305 : 5
    2. 305 = 300 + 5
    3. 300 : 5 = 60 und 5 : 5 = 1
    4. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 272 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 272 : 4?
    272: 4
    Lösung zeigen
    1. 272 = 240 + 32
    2. 240 : 4 = 60 und 32 : 4 = 8
    3. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68
  3. ★12
    Zerlege 162 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 162 : 3?
    162: 3
    Lösung zeigen
    1. 162 = 150 + 12
    2. 150 : 3 = 50 und 12 : 3 = 4
    3. 50 + 4 = 54
    Ergebnis:
    54

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 81 − 52 = ___ − 53
Schritt für Schritt
  1. 52 wird zu 53: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 81 um 1 größer.
  3. 81 + 1 = 82
  1. 52 wird zu 53: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 81 um 1 größer.
  3. 81 + 1 = 82
Ergebnis:
82

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 8 · 3 = 4 · ___
    8 · 3=4 · ?
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 16 · 8 = 8 · ___
    16 · 8=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 10 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Milan verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Aylin verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 158 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 158 + 399 = 157 + 400
  3. 157 + 400 = 557
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 158 + 399 = 157 + 400
  3. 157 + 400 = 557
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 557

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 37? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 37zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 37 = 30 + 7.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 37 = 30 + 7.
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 7 = 42
    3. Zusammen: 222
    Ergebnis:
    zerlegen, 222
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 26 + 39 + 74? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 26 + 74 = 100
    3. 100 + 39 = 139
    Ergebnis:
    vertauschen, 139
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 23 + 62 + 77? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 62 = 162
    Ergebnis:
    vertauschen, 162

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 801 − 248 und erhält 553. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 553 + 248 = 801
  2. 801 ist genau 801: Es stimmt.
  3. 801 − 248 = 553
  1. Umkehraufgabe: 553 + 248 = 801
  2. 801 ist genau 801: Es stimmt.
  3. 801 − 248 = 553
Ergebnis:
stimmt, 553

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom erhält für 42 · 34 das Ergebnis 1328. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 30 = 1200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
    2. 1328 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 42 · 34 = 1428
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1428
  2. ●23
    Zeynep rechnet 609 − 367 und erhält 232. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 232 + 367 = 599
    2. 599 ist nicht 609: Es ist falsch.
    3. 609 − 367 = 242
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 242
  3. ★24
    Lea rechnet 9492 − 5896 und erhält 3616. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3616 + 5896 = 9512
    2. 9512 ist nicht 9492: Es ist falsch.
    3. 9492 − 5896 = 3596
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3596

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 13 + 59 + 17
    135917
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 17 + 59
    2. 13 + 17 = 30
    3. 30 + 59 = 89
    Ergebnis:
    89
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 50 · 18 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    50182
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 18
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 86 = 40 + ___
    3986
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 86 um 1 kleiner werden: 86 − 1 = 85
    3. 40 + 85 = 125
    Ergebnis:
    85
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 70 − 19 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 20: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 70 um 1 größer: 71.
    3. 71 − 20 = 51
    Ergebnis:
    71
  5. ●29
    Es gibt 9 Tüten mit je 47 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 47
    2. 47 = 40 + 7
    3. 9 · 40 = 360 und 9 · 7 = 63
    4. 360 + 63 = 423
    Ergebnis:
    423 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 28 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2086
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 20 = 120
    2. Rechter Teil: 6 · 8 = 48
    3. Zusammen: 120 + 48 = 168
    Ergebnis:
    168 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 85 + 21 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    198521
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    125

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Emma rechnet 67 + 69 als 70 + 69. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    6769
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    136

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 55
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    165

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 180 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 180 : 5?
    180: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 25 + 22 = 27 + ___
    25 + 22=27 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can erhält für 54 · 22 das Ergebnis 1088. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1188

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 91
  2. 111
  3. 616
  4. 25
  5. 77
  6. 1363
  7. 261
  8. 216 Hefte
  9. 1386
  10. 61 Sticker
  11. 68
  12. 54
  13. 6
  14. 16
  15. 20
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 900
  19. zerlegen, 222
  20. vertauschen, 139
  21. vertauschen, 162
  22. falsch, richtig ist 1428
  23. falsch, richtig ist 242
  24. falsch, richtig ist 3596
  25. 89
  26. 1800
  27. 85
  28. 71
  29. 423 Bonbons
  30. 168 Kästchen
  31. 125
  32. 136
  33. 165
  34. 36
  35. 20
  36. 70
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 1188
  39. 45
  40. 54
  41. 13
  42. 37