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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 73 − 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 73 − 40 = 33
    Ergebnis:
    33
  2. ●40
    Rechne: (2 + 7) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 7 = 9
    2. 9 · 6 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 4 = 12
    2. 10 + 12 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 26 und erhalte 63. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 44 + 22 + 6
44226
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 44 + 6 + 22
  2. 44 + 6 = 50
  3. 50 + 22 = 72
  1. Vertauschen: 44 + 6 + 22
  2. 44 + 6 = 50
  3. 50 + 22 = 72
Ergebnis:
72

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 24 + 69 + 36 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    246936
    So fängst du an:
    Vertauschen: 24 + 36 + 69
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 36 + 69
    2. 24 + 36 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 69 = 129
    Ergebnis:
    129
  2. ●2
    Rechne geschickt: 4 + 59 + 16
    45916
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 16 + 59
    2. 4 + 16 = 20
    3. 20 + 59 = 79
    Ergebnis:
    79
  3. ★3
    Sofia rechnet 55 + 851 + 45 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    5585145
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 55 + 45 + 851
    2. 55 + 45 = 100
    3. 100 + 851 = 951
    Ergebnis:
    951

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 95
4895
Schritt für Schritt
  1. 48 bekommt 2 dazu, 95 gibt 2 ab.
  2. 48 + 95 = 50 + 93
  3. 50 + 93 = 143
  1. 48 bekommt 2 dazu, 95 gibt 2 ab.
  2. 48 + 95 = 50 + 93
  3. 50 + 93 = 143
Ergebnis:
143

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aylin rechnet 97 + 86 als 100 + 86. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    9786
    So fängst du an:
    Aylin hat 97 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 86 = 186.
    3. 3 wieder abziehen: 186 − 3 = 183
    Ergebnis:
    183
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 76
    9876
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 76 gibt 2 ab.
    2. 98 + 76 = 100 + 74
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    174
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1996 + 535
    1996535
    Lösung zeigen
    1. 1996 bekommt 4 dazu, 535 gibt 4 ab.
    2. 1996 + 535 = 2000 + 531
    3. 2000 + 531 = 2531
    Ergebnis:
    2531

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  3. 140 − 7 = 133
  1. 19 = 20 − 1
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  3. 140 − 7 = 133
Ergebnis:
133

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 64
    Lösung zeigen
    1. 64 = 60 + 4
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 4 = 20
    3. 300 + 20 = 320
    Ergebnis:
    320
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 9 · 134
    Lösung zeigen
    1. 134 = 100 + 30 + 4
    2. 9 · 100 = 900; 9 · 30 = 270; 9 · 4 = 36
    3. 900 + 270 + 36 = 1206
    Ergebnis:
    1206

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 144 : 8
Schritt für Schritt
  1. 144 = 80 + 64
  2. 80 : 8 = 10 und 64 : 8 = 8
  3. 10 + 8 = 18
  1. 144 = 80 + 64
  2. 80 : 8 = 10 und 64 : 8 = 8
  3. 10 + 8 = 18
Ergebnis:
18

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 114 : 3
    So fängst du an:
    114 = 90 + 24
    Lösung zeigen
    1. 114 = 90 + 24
    2. 90 : 3 = 30 und 24 : 3 = 8
    3. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●11
    Zerlege 256 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 256 : 8?
    256: 8
    Lösung zeigen
    1. 256 = 240 + 16
    2. 240 : 8 = 30 und 16 : 8 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  3. ★12
    1092 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1092 : 7
    2. 1092 = 1050 + 42
    3. 1050 : 7 = 150 und 42 : 7 = 6
    4. 150 + 6 = 156
    Ergebnis:
    156 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 49 + 75 = 51 + ___
49 + 75=51 + ?
Schritt für Schritt
  1. 49 wird zu 51: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 2 kleiner.
  3. 75 − 2 = 73
  1. 49 wird zu 51: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 2 kleiner.
  3. 75 − 2 = 73
Ergebnis:
73

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 6 = 4 · ___
    8 · 6=4 · ?
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 19 + 33 = 20 + ___
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 20: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 33 um 1 kleiner.
    3. 33 − 1 = 32
    Ergebnis:
    32
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 9 · 43 + 9 · 2 = 9 · ___
    9 · 43 + 9 · 2=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 9.
    2. 9 mal 43 und 9 mal 2 sind zusammen 9 mal (43 + 2).
    3. 43 + 2 = 45
    Ergebnis:
    45

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Emma verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Elias verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 7 · 82? Nenne ihn. Rechne danach.
7 · 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
  2. 7 · 80 = 560 und 7 · 2 = 14
  3. Zusammen: 574
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
  2. 7 · 80 = 560 und 7 · 2 = 14
  3. Zusammen: 574
Ergebnis:
zerlegen, 574

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 29 + 49 + 71? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 29 + 71 = 100
    3. 100 + 49 = 149
    Ergebnis:
    vertauschen, 149
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 20 + 37 + 80? Nenne ihn. Rechne danach.
    20 + 37 + 80zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 20 + 80 = 100
    3. 100 + 37 = 137
    Ergebnis:
    vertauschen, 137

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep erhält für 48 · 49 das Ergebnis 3352. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 50 · 50 = 2500
  2. 3352 liegt zu weit weg. Genau: 48 · 49 = 2352
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 50 · 50 = 2500
  2. 3352 liegt zu weit weg. Genau: 48 · 49 = 2352
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2352

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 192 : 8 und erhält 23. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    192 : 8Ergebnis 23?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 23 · 8 = 184
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 23 · 8 = 184
    2. 184 ist nicht 192: Es ist falsch.
    3. 192 : 8 = 24
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 24
  2. ●23
    Sofia rechnet 465 : 5 und erhält 94. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    465 : 5Ergebnis 94?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 94 · 5 = 470
    2. 470 ist nicht 465: Es ist falsch.
    3. 465 : 5 = 93
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 93
  3. ★24
    Sofia erhält für 368 · 43 das Ergebnis 15.824. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 40 = 16.000
    2. 15.824 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 368 · 43 = 15.824
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 15.824

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lina rechnet 21 + 13 + 39 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    211339
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 39 + 13
    2. 21 + 39 = 60
    3. 60 + 13 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●26
    Rechne geschickt: 16 · 50 · 2
    16502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 16
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600
  3. ●27
    Hanna rechnet 199 + 39 als 200 + 39. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    19939
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 39 = 239.
    3. 1 wieder abziehen: 239 − 1 = 238
    Ergebnis:
    238
  4. ●28
    Jonas rechnet 92 − 38 als 92 − 40 und erhält 52. Ist das schon das Ergebnis?
    92 − 3892 − 40
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 52 + 2 = 54
    Ergebnis:
    Nein, 54
  5. ●29
    Es gibt 3 Reihen mit je 42 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 42
    2. 42 = 40 + 2
    3. 3 · 40 = 120 und 3 · 2 = 6
    4. 120 + 6 = 126
    Ergebnis:
    126 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 24?
    2043
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 20 = 60
    2. Rechts: 3 · 4 = 12
    3. 3 · 24 = 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    3 · 20 und 3 · 4, zusammen 72

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Emma rechnet 14 + 53 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    14536
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    73

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Mia rechnet 48 + 78 als 50 + 78. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    4878
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    126

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    245

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 244 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 244 : 4?
    244: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 80 + 33 = 79 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 126 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    126 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 724

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan rechnet 792 : 9 und erhält 88. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    792 : 9Ergebnis 88?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 88

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 129
  2. 79
  3. 951
  4. 183
  5. 174
  6. 2531
  7. 245
  8. 320
  9. 1206
  10. 38
  11. 32
  12. 156 Sticker
  13. 12
  14. 32
  15. 45
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 3000
  19. vertauschen, 149
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. vertauschen, 137
  22. falsch, richtig ist 24
  23. falsch, richtig ist 93
  24. stimmt, 15.824
  25. 73
  26. 1600
  27. 238
  28. Nein, 54
  29. 126 Stühle
  30. 3 · 20 und 3 · 4, zusammen 72
  31. 73
  32. 126
  33. 245
  34. 61
  35. 34
  36. 70
  37. gegensinnig verändern, 724
  38. stimmt, 88
  39. 33
  40. 54
  41. 22
  42. 37