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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 28 − 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 28 − 16 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●40
    Rechne: (3 + 7) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 7 = 10
    2. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 7 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 6 = 42
    2. 11 + 42 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 21 und erhalte 38. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 63 + 61 + 37
636137
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 63 + 37 + 61
  2. 63 + 37 = 100
  3. 100 + 61 = 161
  1. Vertauschen: 63 + 37 + 61
  2. 63 + 37 = 100
  3. 100 + 61 = 161
Ergebnis:
161

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Jonas rechnet 6 + 27 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    62734
    So fängst du an:
    Vertauschen: 6 + 34 + 27
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 34 + 27
    2. 6 + 34 = 40
    3. 40 + 27 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 53 + 52 + 7 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    53527
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 53 + 7 + 52
    2. 53 + 7 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 52 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 795 + 721 + 81 + 205 + 19 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    7957218120519
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 795 + 205 + 81 + 19 + 721
    2. 795 + 205 = 1000 und 81 + 19 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 721 = 1821
    Ergebnis:
    1821

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 38
19838
Schritt für Schritt
  1. 198 bekommt 2 dazu, 38 gibt 2 ab.
  2. 198 + 38 = 200 + 36
  3. 200 + 36 = 236
  1. 198 bekommt 2 dazu, 38 gibt 2 ab.
  2. 198 + 38 = 200 + 36
  3. 200 + 36 = 236
Ergebnis:
236

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 27
    9727
    So fängst du an:
    97 bekommt 3 dazu, 27 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 27 gibt 3 ab.
    2. 97 + 27 = 100 + 24
    3. 100 + 24 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 86 = 50 + ___
    4886
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 86 um 2 kleiner werden: 86 − 2 = 84
    3. 50 + 84 = 134
    Ergebnis:
    84
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1997 + 886
    1997886
    Lösung zeigen
    1. 1997 bekommt 3 dazu, 886 gibt 3 ab.
    2. 1997 + 886 = 2000 + 883
    3. 2000 + 883 = 2883
    Ergebnis:
    2883

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
  3. 120 − 3 = 117
  1. 39 = 40 − 1
  2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
  3. 120 − 3 = 117
Ergebnis:
117

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Tüten mit je 16 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 16
    Lösung zeigen
    1. 5 · 16
    2. 16 = 10 + 6
    3. 5 · 10 = 50 und 5 · 6 = 30
    4. 50 + 30 = 80
    Ergebnis:
    80 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 6 Hefte mit je 42 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 42
    2. 42 = 40 + 2
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 2 = 12
    4. 240 + 12 = 252
    Ergebnis:
    252 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 52
    Lösung zeigen
    1. 52 = 50 + 2
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 2 = 16
    3. 400 + 16 = 416
    Ergebnis:
    416

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

354 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 354 : 6
  2. 354 = 300 + 54
  3. 300 : 6 = 50 und 54 : 6 = 9
  4. 50 + 9 = 59
  1. 354 : 6
  2. 354 = 300 + 54
  3. 300 : 6 = 50 und 54 : 6 = 9
  4. 50 + 9 = 59
Ergebnis:
59 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 536 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 536 : 8?
    536: 8
    So fängst du an:
    536 = 480 + 56
    Lösung zeigen
    1. 536 = 480 + 56
    2. 480 : 8 = 60 und 56 : 8 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 175 : 5
    Lösung zeigen
    1. 175 = 150 + 25
    2. 150 : 5 = 30 und 25 : 5 = 5
    3. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 255 : 5
    Lösung zeigen
    1. 255 = 250 + 5
    2. 250 : 5 = 50 und 5 : 5 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 72 + 37 = 62 + ___
72 + 37=62 + ?
Schritt für Schritt
  1. 72 wird zu 62: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 10 größer.
  3. 37 + 10 = 47
  1. 72 wird zu 62: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 10 größer.
  3. 37 + 10 = 47
Ergebnis:
47

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 61 − 48 = ___ − 53
    So fängst du an:
    48 wird zu 53: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 53: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 5 größer.
    3. 61 + 5 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 46 + 47 = 49 + ___
    46 + 47=49 + ?
    Lösung zeigen
    1. 46 wird zu 49: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 47 um 3 kleiner.
    3. 47 − 3 = 44
    Ergebnis:
    44
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 3 · 48 + 3 · 8 = 3 · ___
    3 · 48 + 3 · 8=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 3.
    2. 3 mal 48 und 3 mal 8 sind zusammen 3 mal (48 + 8).
    3. 48 + 8 = 56
    Ergebnis:
    56

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Elias verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 50? Nenne ihn. Rechne danach.
5 · 50zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 0 = 0
  3. Zusammen: 250
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 0 = 0
  3. Zusammen: 250
Ergebnis:
zerlegen, 250

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 273 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    273 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 273 + 497 = 270 + 500
    3. 270 + 500 = 770
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 770
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 339 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    339 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 339 + 598 = 337 + 600
    3. 337 + 600 = 937
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 937

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 282 : 6 und erhält 48. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
282 : 6Ergebnis 48?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 48 · 6 = 288
  2. 288 ist nicht 282: Es ist falsch.
  3. 282 : 6 = 47
  1. Umkehraufgabe: 48 · 6 = 288
  2. 288 ist nicht 282: Es ist falsch.
  3. 282 : 6 = 47
Ergebnis:
falsch, richtig ist 47

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 939 − 122 und erhält 807. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 807 + 122 = 929
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 807 + 122 = 929
    2. 929 ist nicht 939: Es ist falsch.
    3. 939 − 122 = 817
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 817
  2. ●23
    Mia rechnet 99 : 3 und erhält 34. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    99 : 3Ergebnis 34?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 34 · 3 = 102
    2. 102 ist nicht 99: Es ist falsch.
    3. 99 : 3 = 33
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 33
  3. ★24
    Mia erhält für 312 · 18 das Ergebnis 5616. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 5616 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 312 · 18 = 5616
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 5616

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Emma rechnet 26 + 53 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    26534
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 4 + 53
    2. 26 + 4 = 30
    3. 30 + 53 = 83
    Ergebnis:
    83
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 3 · 2 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    325
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 3
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 59
    6859
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 59 gibt 2 ab.
    2. 68 + 59 = 70 + 57
    3. 70 + 57 = 127
    Ergebnis:
    127
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 116 − 18
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 116 − 18 = 118 − 20
    3. 118 − 20 = 98
    Ergebnis:
    98
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 52
    Lösung zeigen
    1. 52 = 50 + 2
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 2 = 10
    3. 250 + 10 = 260
    Ergebnis:
    260
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 17 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1075
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 10 = 50
    2. Rechter Teil: 5 · 7 = 35
    3. Zusammen: 50 + 35 = 85
    Ergebnis:
    85 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 33 + 22 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    83322
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 46
    6946
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    115

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Reihen mit je 47 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    141 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 105 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 98 − 48 = ___ − 53
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    103

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 7 · 41? Nenne ihn. Rechne danach.
    7 · 41zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 287

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan rechnet 204 : 6 und erhält 35. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    204 : 6Ergebnis 35?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 34

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 67
  2. 112
  3. 1821
  4. 124
  5. 84
  6. 2883
  7. 80 Bonbons
  8. 252 Hefte
  9. 416
  10. 67
  11. 35
  12. 51
  13. 66
  14. 44
  15. 56
  16. 400
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. gegensinnig verändern, 770
  21. gegensinnig verändern, 937
  22. falsch, richtig ist 817
  23. falsch, richtig ist 33
  24. stimmt, 5616
  25. 83
  26. 30
  27. 127
  28. 98
  29. 260
  30. 85 Kästchen
  31. 63
  32. 115
  33. 141 Stühle
  34. 21
  35. 103
  36. 200
  37. zerlegen, 287
  38. falsch, richtig ist 34
  39. 12
  40. 20
  41. 53
  42. 17