Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 42 − 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 42 − 35 = 7
    Ergebnis:
    7
  2. ●40
    Rechne: (3 + 6) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 6 = 9
    2. 9 · 4 = 36
    Ergebnis:
    36

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 7 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 9 = 63
    2. 7 + 63 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 19 und erhalte 32. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Ben rechnet 9 + 85 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
98511
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 9 + 11 + 85
  2. 9 + 11 = 20
  3. 20 + 85 = 105
  1. Vertauschen: 9 + 11 + 85
  2. 9 + 11 = 20
  3. 20 + 85 = 105
Ergebnis:
105

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 23 + 13 + 7 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    23137
    So fängst du an:
    Vertauschen: 23 + 7 + 13
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 7 + 13
    2. 23 + 7 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 13 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●2
    Rechne geschickt: 21 + 76 + 39
    217639
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 39 + 76
    2. 21 + 39 = 60
    3. 60 + 76 = 136
    Ergebnis:
    136
  3. ★3
    Hanna rechnet 19 + 144 + 31 + 81 + 69 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    19144318169
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 81 + 31 + 69 + 144
    2. 19 + 81 = 100 und 31 + 69 = 100
    3. 100 + 100 + 144 = 344
    Ergebnis:
    344

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 57
4857
Schritt für Schritt
  1. 48 bekommt 2 dazu, 57 gibt 2 ab.
  2. 48 + 57 = 50 + 55
  3. 50 + 55 = 105
  1. 48 bekommt 2 dazu, 57 gibt 2 ab.
  2. 48 + 57 = 50 + 55
  3. 50 + 55 = 105
Ergebnis:
105

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 69 = 40 + ___
    3769
    So fängst du an:
    37 wird zu 40: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 69 um 3 kleiner werden: 69 − 3 = 66
    3. 40 + 66 = 106
    Ergebnis:
    66
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 27 = 300 + ___
    29727
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 27 um 3 kleiner werden: 27 − 3 = 24
    3. 300 + 24 = 324
    Ergebnis:
    24
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 498 + 513 = 500 + ___
    498513
    Lösung zeigen
    1. 498 wird zu 500: 2 mehr.
    2. Also muss 513 um 2 kleiner werden: 513 − 2 = 511
    3. 500 + 511 = 1011
    Ergebnis:
    511

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 30 + 9
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 9 = 27
  3. 90 + 27 = 117
  1. 39 = 30 + 9
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 9 = 27
  3. 90 + 27 = 117
Ergebnis:
117

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Tüten mit je 59 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 8 · 59
    2. 59 = 50 + 9
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 9 = 72
    4. 400 + 72 = 472
    Ergebnis:
    472 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 54
    Lösung zeigen
    1. 54 = 50 + 4
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 4 = 24
    3. 300 + 24 = 324
    Ergebnis:
    324
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 6 · 265
    Lösung zeigen
    1. 265 = 200 + 60 + 5
    2. 6 · 200 = 1200; 6 · 60 = 360; 6 · 5 = 30
    3. 1200 + 360 + 30 = 1590
    Ergebnis:
    1590

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 423 : 9
Schritt für Schritt
  1. 423 = 360 + 63
  2. 360 : 9 = 40 und 63 : 9 = 7
  3. 40 + 7 = 47
  1. 423 = 360 + 63
  2. 360 : 9 = 40 und 63 : 9 = 7
  3. 40 + 7 = 47
Ergebnis:
47

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 232 : 8
    So fängst du an:
    232 = 160 + 72
    Lösung zeigen
    1. 232 = 160 + 72
    2. 160 : 8 = 20 und 72 : 8 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●11
    105 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 105 : 7
    2. 105 = 70 + 35
    3. 70 : 7 = 10 und 35 : 7 = 5
    4. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 115 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 115 : 5?
    115: 5
    Lösung zeigen
    1. 115 = 100 + 15
    2. 100 : 5 = 20 und 15 : 5 = 3
    3. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    23

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 14 · 3 = 7 · ___
14 · 3=7 · ?
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 20 + 13 = 10 + ___
    20 + 13=10 + ?
    So fängst du an:
    20 wird zu 10: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 20 wird zu 10: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 13 um 10 größer.
    3. 13 + 10 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 11 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 33 + 8 · 7 = 8 · ___
    8 · 33 + 8 · 7=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 8.
    2. 8 mal 33 und 8 mal 7 sind zusammen 8 mal (33 + 7).
    3. 33 + 7 = 40
    Ergebnis:
    40

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Aylin verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 37 + 52 + 63? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 37 + 63 = 100
  3. 100 + 52 = 152
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 37 + 63 = 100
  3. 100 + 52 = 152
Ergebnis:
vertauschen, 152

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 6 · 80? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 80zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 80 = 80 + 0.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 80 = 80 + 0.
    2. 6 · 80 = 480 und 6 · 0 = 0
    3. Zusammen: 480
    Ergebnis:
    zerlegen, 480
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 252 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    252 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 252 + 198 = 250 + 200
    3. 250 + 200 = 450
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 450
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 5512 − 2684? Nenne ihn. Rechne danach.
    5512 − 2684zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 5512 − 2684 = 2828
    Ergebnis:
    schriftlich, 2828

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 726 − 223 und erhält 523. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 523 + 223 = 746
  2. 746 ist nicht 726: Es ist falsch.
  3. 726 − 223 = 503
  1. Umkehraufgabe: 523 + 223 = 746
  2. 746 ist nicht 726: Es ist falsch.
  3. 726 − 223 = 503
Ergebnis:
falsch, richtig ist 503

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias erhält für 39 · 34 das Ergebnis 2326. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 30 = 1200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
    2. 2326 liegt zu weit weg. Genau: 39 · 34 = 1326
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1326
  2. ●23
    Aylin erhält für 39 · 28 das Ergebnis 1092. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
    2. 1092 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 39 · 28 = 1092
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1092
  3. ★24
    Lea erhält für 335 · 15 das Ergebnis 5025. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 5025 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 335 · 15 = 5025
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 5025

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 14 + 58 + 36
    145836
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 36 + 58
    2. 14 + 36 = 50
    3. 50 + 58 = 108
    Ergebnis:
    108
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 3 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Packungen3 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 3
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300 Bälle
  3. ●27
    Ben rechnet 199 + 82 als 200 + 82. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    19982
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 82 = 282.
    3. 1 wieder abziehen: 282 − 1 = 281
    Ergebnis:
    281
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 194 − 39
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 194 − 39 = 195 − 40
    3. 195 − 40 = 155
    Ergebnis:
    155
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 − 3 = 147
    Ergebnis:
    147
  6. ●30
    Zeynep rechnet 6 · 26 so: erst 6 · 20, dann 6 dazu. Zeynep erhält 126. Zeige am Bild, was fehlt.
    2066
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 6 Kästchen, nicht nur 6.
    2. Rechter Teil: 6 · 6 = 36
    3. 120 + 36 = 156
    Ergebnis:
    156

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Hanna rechnet 23 + 82 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    23827
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 85
    19885
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    283

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 46
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    138

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 576 : 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 80 − 48 = ___ − 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 237 : 3 und erhält 79. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    237 : 3Ergebnis 79?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 79

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 43
  2. 136
  3. 344
  4. 66
  5. 24
  6. 511
  7. 472 Bonbons
  8. 324
  9. 1590
  10. 29
  11. 15 Murmeln
  12. 23
  13. 23
  14. 22
  15. 40
  16. 210
  17. 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. zerlegen, 480
  20. gegensinnig verändern, 450
  21. schriftlich, 2828
  22. falsch, richtig ist 1326
  23. stimmt, 1092
  24. stimmt, 5025
  25. 108
  26. 300 Bälle
  27. 281
  28. 155
  29. 147
  30. 156
  31. 112
  32. 283
  33. 138
  34. 64
  35. 81
  36. 70
  37. halbieren und verdoppeln, 90
  38. stimmt, 79
  39. 7
  40. 36
  41. 70
  42. 13