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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 57 − 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 57 − 18 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●40
    Rechne: (3 + 6) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 6 = 9
    2. 9 · 5 = 45
    Ergebnis:
    45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 9 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 8 = 72
    2. 12 + 72 = 84
    Ergebnis:
    84
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 27 und erhalte 68. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 59 + 18 + 41
591841
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 59 + 41 + 18
  2. 59 + 41 = 100
  3. 100 + 18 = 118
  1. Vertauschen: 59 + 41 + 18
  2. 59 + 41 = 100
  3. 100 + 18 = 118
Ergebnis:
118

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 36 + 88 + 4
    36884
    So fängst du an:
    Vertauschen: 36 + 4 + 88
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 4 + 88
    2. 36 + 4 = 40
    3. 40 + 88 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●2
    Can rechnet 6 + 83 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    68334
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 34 + 83
    2. 6 + 34 = 40
    3. 40 + 83 = 123
    Ergebnis:
    123
  3. ★3
    Rechne geschickt: 411 + 455 + 589
    411455589
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 411 + 589 + 455
    2. 411 + 589 = 1000
    3. 1000 + 455 = 1455
    Ergebnis:
    1455

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 86 = 100 + ___
9786
Schritt für Schritt
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 86 um 3 kleiner werden: 86 − 3 = 83
  3. 100 + 83 = 183
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 86 um 3 kleiner werden: 86 − 3 = 83
  3. 100 + 83 = 183
Ergebnis:
83

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 66
    3766
    So fängst du an:
    37 bekommt 3 dazu, 66 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 66 gibt 3 ab.
    2. 37 + 66 = 40 + 63
    3. 40 + 63 = 103
    Ergebnis:
    103
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 74 = 200 + ___
    19974
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 74 um 1 kleiner werden: 74 − 1 = 73
    3. 200 + 73 = 273
    Ergebnis:
    73
  3. ★6
    Hanna rechnet 397 + 287 als 400 + 287. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    397287
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 397 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 400 + 287 = 687.
    3. 3 wieder abziehen: 687 − 3 = 684
    Ergebnis:
    684

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 26
Schritt für Schritt
  1. 26 = 20 + 6
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 6 = 42
  3. 140 + 42 = 182
  1. 26 = 20 + 6
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 6 = 42
  3. 140 + 42 = 182
Ergebnis:
182

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Hefte mit je 19 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 19
    Lösung zeigen
    1. 4 · 19
    2. 19 = 10 + 9
    3. 4 · 10 = 40 und 4 · 9 = 36
    4. 40 + 36 = 76
    Ergebnis:
    76 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 7 Tüten mit je 41 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 41
    2. 41 = 40 + 1
    3. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    4. 280 + 7 = 287
    Ergebnis:
    287 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 7 Tüten mit je 94 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 94
    2. 94 = 90 + 4
    3. 7 · 90 = 630 und 7 · 4 = 28
    4. 630 + 28 = 658
    Ergebnis:
    658 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 186 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 186 : 3?
186: 3
Schritt für Schritt
  1. 186 = 180 + 6
  2. 180 : 3 = 60 und 6 : 3 = 2
  3. 60 + 2 = 62
  1. 186 = 180 + 6
  2. 180 : 3 = 60 und 6 : 3 = 2
  3. 60 + 2 = 62
Ergebnis:
62

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 201 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 201 : 3?
    201: 3
    So fängst du an:
    201 = 180 + 21
    Lösung zeigen
    1. 201 = 180 + 21
    2. 180 : 3 = 60 und 21 : 3 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 135 : 3
    Lösung zeigen
    1. 135 = 120 + 15
    2. 120 : 3 = 40 und 15 : 3 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 510 : 5
    Lösung zeigen
    1. 510 = 500 + 10
    2. 500 : 5 = 100 und 10 : 5 = 2
    3. 100 + 2 = 102
    Ergebnis:
    102

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 6 = 8 · ___
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
  3. 6 · 2 = 12
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
  3. 6 · 2 = 12
Ergebnis:
12

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 4 · 10 = 2 · ___
    4 · 10=2 · ?
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 79 + 46 = 89 + ___
    79 + 46=89 + ?
    Lösung zeigen
    1. 79 wird zu 89: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 46 um 10 kleiner.
    3. 46 − 10 = 36
    Ergebnis:
    36
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 53 + 72 = 52 + ___
    53 + 72=52 + ?
    Lösung zeigen
    1. 53 wird zu 52: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 72 um 1 größer.
    3. 72 + 1 = 73
    Ergebnis:
    73

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Jonas verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 228 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 228 + 299 = 227 + 300
  3. 227 + 300 = 527
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 228 + 299 = 227 + 300
  3. 227 + 300 = 527
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 527

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 39 + 64 + 61? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 39 + 61 = 100
    3. 100 + 64 = 164
    Ergebnis:
    vertauschen, 164
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 7 · 60? Nenne ihn. Rechne danach.
    7 · 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 60 = 60 + 0.
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 0 = 0
    3. Zusammen: 420
    Ergebnis:
    zerlegen, 420

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 59 · 31 das Ergebnis 2829. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
  2. 2829 liegt zu weit weg. Genau: 59 · 31 = 1829
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
  2. 2829 liegt zu weit weg. Genau: 59 · 31 = 1829
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1829

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia erhält für 41 · 30 das Ergebnis 2230. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 30 = 1200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
    2. 2230 liegt zu weit weg. Genau: 41 · 30 = 1230
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1230
  2. ●23
    Lea rechnet 910 − 487 und erhält 413. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 413 + 487 = 900
    2. 900 ist nicht 910: Es ist falsch.
    3. 910 − 487 = 423
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 423
  3. ★24
    Aylin erhält für 229 · 38 das Ergebnis 9702. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 40 = 8000
    2. 9702 liegt zu weit weg. Genau: 229 · 38 = 8702
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 8702

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 13 + 14 + 87 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    131487
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 87 + 14
    2. 13 + 87 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 14 = 114
    Ergebnis:
    114
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 8 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kartons8 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 8
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 8 = 800
    Ergebnis:
    800 Bälle
  3. ●27
    Noah rechnet 97 + 27 als 100 + 27. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    9727
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 27 = 127.
    3. 3 wieder abziehen: 127 − 3 = 124
    Ergebnis:
    124
  4. ●28
    Lea rechnet 187 − 38 als 187 − 40 und erhält 147. Ist das schon das Ergebnis?
    187 − 38187 − 40
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 147 + 2 = 149
    Ergebnis:
    Nein, 149
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 55
    Lösung zeigen
    1. 55 = 50 + 5
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 5 = 25
    3. 250 + 25 = 275
    Ergebnis:
    275
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 18?
    1083
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 8 = 24
    3. 3 · 18 = 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 8, zusammen 54

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 4 + 18 + 36 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    41836
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Mia rechnet 99 + 43 als 100 + 43. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9943
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    142

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    195

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 216 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 216 : 4?
    216: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 69 − 20 = ___ − 22
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    71

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Emma verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 71? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 426

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul rechnet 651 : 7 und erhält 103. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    651 : 7Ergebnis 103?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 93

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 128
  2. 123
  3. 1455
  4. 103
  5. 73
  6. 684
  7. 76 Hefte
  8. 287 Bonbons
  9. 658 Bonbons
  10. 67
  11. 45
  12. 102
  13. 20
  14. 36
  15. 73
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. 70
  18. 490
  19. vertauschen, 164
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. zerlegen, 420
  22. falsch, richtig ist 1230
  23. falsch, richtig ist 423
  24. falsch, richtig ist 8702
  25. 114
  26. 800 Bälle
  27. 124
  28. Nein, 149
  29. 275
  30. 3 · 10 und 3 · 8, zusammen 54
  31. 58
  32. 142
  33. 195
  34. 54
  35. 71
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  37. zerlegen, 426
  38. falsch, richtig ist 93
  39. 39
  40. 45
  41. 84
  42. 41