Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 8 + 3 · 3
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 3 · 3 = 9
2. 8 + 9 = 17
Ergebnis:
17
●40
Rechne: (3 + 9) · 7
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 3 + 9 = 12
2. 12 · 7 = 84
Ergebnis:
84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 2 + 8 · 2
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 8 · 2 = 16
2. 2 + 16 = 18
Ergebnis:
18
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 40. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
37

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Ben rechnet 5 + 84 + 45 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 5 + 45 + 84
5 + 45 = 50
50 + 84 = 134

Vertauschen: 5 + 45 + 84
5 + 45 = 50
50 + 84 = 134

Ergebnis:

134

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Mia rechnet 53 + 33 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
So fängst du an:
Vertauschen: 53 + 7 + 33
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 53 + 7 + 33
2. 53 + 7 = 60
3. 60 + 33 = 93
Ergebnis:
93
●2
Rechne geschickt: 47 + 26 + 13
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 47 + 13 + 26
2. 47 + 13 = 60
3. 60 + 26 = 86
Ergebnis:
86
★3
Lea rechnet 101 + 472 + 199 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 101 + 199 + 472
2. 101 + 199 = 300
3. 300 + 472 = 772
Ergebnis:
772

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Sofia rechnet 39 + 63 als 40 + 63. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?

Schritt für Schritt

Sofia hat 39 um 1 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 63 = 103.
1 wieder abziehen: 103 − 1 = 102

Sofia hat 39 um 1 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 63 = 103.
1 wieder abziehen: 103 − 1 = 102

Ergebnis:

102

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 74
So fängst du an:
299 bekommt 1 dazu, 74 gibt 1 ab.
Lösung zeigen
1. 299 bekommt 1 dazu, 74 gibt 1 ab.
2. 299 + 74 = 300 + 73
3. 300 + 73 = 373
Ergebnis:
373
●5
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 94
Lösung zeigen
1. 49 bekommt 1 dazu, 94 gibt 1 ab.
2. 49 + 94 = 50 + 93
3. 50 + 93 = 143
Ergebnis:
143
★6
Noah rechnet 696 + 678 als 700 + 678. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Noah hat 696 um 4 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 700 + 678 = 1378.
3. 4 wieder abziehen: 1378 − 4 = 1374
Ergebnis:
1374

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 41

Schritt für Schritt

41 = 40 + 1
7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
280 + 7 = 287

41 = 40 + 1
7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
280 + 7 = 287

Ergebnis:

287

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 39
So fängst du an:
39 = 30 + 9
Lösung zeigen
1. 39 = 30 + 9
2. 9 · 30 = 270 und 9 · 9 = 81
3. 270 + 81 = 351
Ergebnis:
351
●8
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 15
Lösung zeigen
1. 15 = 10 + 5
2. 7 · 10 = 70 und 7 · 5 = 35
3. 70 + 35 = 105
Ergebnis:
105
★9
Es gibt 7 Hefte mit je 18 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 7 · 18
2. 18 = 10 + 8
3. 7 · 10 = 70 und 7 · 8 = 56
4. 70 + 56 = 126
Ergebnis:
126 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 177 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 177 : 3?

Schritt für Schritt

177 = 150 + 27
150 : 3 = 50 und 27 : 3 = 9
50 + 9 = 59

177 = 150 + 27
150 : 3 = 50 und 27 : 3 = 9
50 + 9 = 59

Ergebnis:

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
180 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
So fängst du an:
180 : 4
Lösung zeigen
1. 180 : 4
2. 180 = 160 + 20
3. 160 : 4 = 40 und 20 : 4 = 5
4. 40 + 5 = 45
Ergebnis:
45 Bücher
●11
Zerlege 91 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 91 : 7?
Lösung zeigen
1. 91 = 70 + 21
2. 70 : 7 = 10 und 21 : 7 = 3
3. 10 + 3 = 13
Ergebnis:
13
★12
Rechne halbschriftlich: 1295 : 7
Lösung zeigen
1. 1295 = 1260 + 35
2. 1260 : 7 = 180 und 35 : 7 = 5
3. 180 + 5 = 185
Ergebnis:
185

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 57 − 22 = ___ − 23

Schritt für Schritt

22 wird zu 23: 1 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 57 um 1 größer.
57 + 1 = 58

22 wird zu 23: 1 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 57 um 1 größer.
57 + 1 = 58

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Ergänze die Lücke: 74 − 23 = ___ − 33
So fängst du an:
23 wird zu 33: 10 mehr.
Lösung zeigen
1. 23 wird zu 33: 10 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 10 größer.
3. 74 + 10 = 84
Ergebnis:
84
●14
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 86 − 70 = ___ − 80
Lösung zeigen
1. 70 wird zu 80: 10 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 86 um 10 größer.
3. 86 + 10 = 96
Ergebnis:
96
★15
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 10 = 6 · ___
Lösung zeigen
1. 12 wird halb so groß: 6.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15

Schritt für Schritt

12 · 15 = 6 · 30
6 · 30 = 180

12 · 15 = 6 · 30
6 · 30 = 180

Ergebnis:

180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
So fängst du an:
Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 12 · 15 = 6 · 30
3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180
●17
Elias verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180
★18
Lea verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 42 + 53 + 58? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
42 + 58 = 100
100 + 53 = 153

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
42 + 58 = 100
100 + 53 = 153

Ergebnis:

vertauschen, 153

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Wie rechnest du am schnellsten: 47 + 63 + 53? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 47 + 53 = 100
3. 100 + 63 = 163
Ergebnis:
vertauschen, 163
●20
Wie rechnest du am schnellsten: 40 + 61 + 60? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 40 + 60 = 100
3. 100 + 61 = 161
Ergebnis:
vertauschen, 161
★21
Welcher Weg passt zu 44 + 54 + 56? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 44 + 56 = 100
3. 100 + 54 = 154
Ergebnis:
vertauschen, 154

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 911 − 306 und erhält 705. Prüfe mit der Umkehraufgabe.

Schritt für Schritt

Umkehraufgabe: 705 + 306 = 1011
1011 ist nicht 911: Es ist falsch.
911 − 306 = 605

Umkehraufgabe: 705 + 306 = 1011
1011 ist nicht 911: Es ist falsch.
911 − 306 = 605

Ergebnis:

falsch, richtig ist 605

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin rechnet 470 : 5 und erhält 93. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 93 · 5 = 465
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 93 · 5 = 465
2. 465 ist nicht 470: Es ist falsch.
3. 470 : 5 = 94
Ergebnis:
falsch, richtig ist 94
●23
Jonas erhält für 88 · 26 das Ergebnis 3288. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 90 · 30 = 2700
2. 3288 liegt zu weit weg. Genau: 88 · 26 = 2288
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2288
★24
Noah rechnet 2359 − 124 und erhält 2225. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 2225 + 124 = 2349
2. 2349 ist nicht 2359: Es ist falsch.
3. 2359 − 124 = 2235
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2235

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Welche Zahlen fasst du bei 8 + 25 + 12 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 8 + 12 + 25
2. 8 + 12 = 20
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 25 = 45
Ergebnis:
45
●26
Welche zwei Zahlen ergeben bei 5 · 13 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 5 · 2 · 13
2. 5 · 2 = 10
3. 10 · 13 = 130
Ergebnis:
130
●27
Jonas rechnet 197 + 65 als 200 + 65. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Jonas hat 197 um 3 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 65 = 265.
3. 3 wieder abziehen: 265 − 3 = 262
Ergebnis:
262
●28
Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 118 − 99 = ___ − 100
Lösung zeigen
1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 118 um 1 größer: 119.
3. 119 − 100 = 19
Ergebnis:
119
●29
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
Lösung zeigen
1. 19 = 20 − 1
2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
3. 80 − 4 = 76
Ergebnis:
76
●30
Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 27?
Lösung zeigen
1. Links: 5 · 20 = 100
2. Rechts: 5 · 7 = 35
3. 5 · 27 = 100 + 35 = 135
Ergebnis:
5 · 20 und 5 · 7, zusammen 135

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Welche Zahlen fasst du bei 25 + 32 + 25 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
82
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Ben rechnet 198 + 67 als 200 + 67. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
Ergebnis:
265
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
Lösung zeigen
Ergebnis:
95
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
176 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
Ergebnis:
44 Bücher
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 3 = 7 · ___
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Ergebnis:
6
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Hanna verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
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Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Welcher Weg passt zu 360 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
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Ergebnis:
gegensinnig verändern, 759
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Noah erhält für 29 · 32 das Ergebnis 728. Prüfe mit einem Überschlag.
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Ergebnis:
falsch, richtig ist 928

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

93
86
772
373
143
1374
351
105
126 Hefte
45 Bücher
13
185
84
96
20
180
Nein, viermal so groß; richtig ist 180
Nein, viermal so groß; richtig ist 490
vertauschen, 163
vertauschen, 161
vertauschen, 154
falsch, richtig ist 94
falsch, richtig ist 2288
falsch, richtig ist 2235
45
130
262
119
76
5 · 20 und 5 · 7, zusammen 135
82
265
95
44 Bücher
6
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
gegensinnig verändern, 759
falsch, richtig ist 928
17
84
18
37