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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 6 + 4 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●40
    Rechne: (4 + 4) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 4 = 8
    2. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 4 + 14 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 11 und erhalte 30. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 41 + 16 + 9 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
41169
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 41 + 9 + 16
  2. 41 + 9 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 16 = 66
  1. Vertauschen: 41 + 9 + 16
  2. 41 + 9 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 16 = 66
Ergebnis:
66

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom rechnet 14 + 83 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    148336
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 36 + 83
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 36 + 83
    2. 14 + 36 = 50
    3. 50 + 83 = 133
    Ergebnis:
    133
  2. ●2
    Rechne geschickt: 24 + 11 + 36
    241136
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 36 + 11
    2. 24 + 36 = 60
    3. 60 + 11 = 71
    Ergebnis:
    71
  3. ★3
    Aylin rechnet 22 + 273 + 178 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    22273178
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 178 + 273
    2. 22 + 178 = 200
    3. 200 + 273 = 473
    Ergebnis:
    473

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 39
9939
Schritt für Schritt
  1. 99 bekommt 1 dazu, 39 gibt 1 ab.
  2. 99 + 39 = 100 + 38
  3. 100 + 38 = 138
  1. 99 bekommt 1 dazu, 39 gibt 1 ab.
  2. 99 + 39 = 100 + 38
  3. 100 + 38 = 138
Ergebnis:
138

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 59 = 50 + ___
    4759
    So fängst du an:
    47 wird zu 50: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 59 um 3 kleiner werden: 59 − 3 = 56
    3. 50 + 56 = 106
    Ergebnis:
    56
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 93
    19893
    Lösung zeigen
    1. 198 bekommt 2 dazu, 93 gibt 2 ab.
    2. 198 + 93 = 200 + 91
    3. 200 + 91 = 291
    Ergebnis:
    291
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 697 + 239
    697239
    Lösung zeigen
    1. 697 bekommt 3 dazu, 239 gibt 3 ab.
    2. 697 + 239 = 700 + 236
    3. 700 + 236 = 936
    Ergebnis:
    936

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Reihen mit je 16 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 16
  2. 16 = 10 + 6
  3. 8 · 10 = 80 und 8 · 6 = 48
  4. 80 + 48 = 128
  1. 8 · 16
  2. 16 = 10 + 6
  3. 8 · 10 = 80 und 8 · 6 = 48
  4. 80 + 48 = 128
Ergebnis:
128 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Reihen mit je 36 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 36
    Lösung zeigen
    1. 5 · 36
    2. 36 = 30 + 6
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 6 = 30
    4. 150 + 30 = 180
    Ergebnis:
    180 Stühle
  2. ●8
    Es gibt 3 Hefte mit je 27 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 27
    2. 27 = 20 + 7
    3. 3 · 20 = 60 und 3 · 7 = 21
    4. 60 + 21 = 81
    Ergebnis:
    81 Hefte
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 99
    Lösung zeigen
    1. 99 = 100 − 1
    2. 4 · 100 = 400 und 4 · 1 = 4
    3. 400 − 4 = 396
    Ergebnis:
    396

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 216 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 216 : 8?
216: 8
Schritt für Schritt
  1. 216 = 160 + 56
  2. 160 : 8 = 20 und 56 : 8 = 7
  3. 20 + 7 = 27
  1. 216 = 160 + 56
  2. 160 : 8 = 20 und 56 : 8 = 7
  3. 20 + 7 = 27
Ergebnis:
27

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    188 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    188 : 4
    Lösung zeigen
    1. 188 : 4
    2. 188 = 160 + 28
    3. 160 : 4 = 40 und 28 : 4 = 7
    4. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47 Sticker
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 576 : 9
    Lösung zeigen
    1. 576 = 540 + 36
    2. 540 : 9 = 60 und 36 : 9 = 4
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 381 : 3
    Lösung zeigen
    1. 381 = 360 + 21
    2. 360 : 3 = 120 und 21 : 3 = 7
    3. 120 + 7 = 127
    Ergebnis:
    127

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 12 = 2 · ___
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
Ergebnis:
24

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 3 = 3 · ___
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 22 + 40 = 19 + ___
    Lösung zeigen
    1. 22 wird zu 19: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 40 um 3 größer.
    3. 40 + 3 = 43
    Ergebnis:
    43
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 + 82 = 57 + ___
    56 + 82=57 + ?
    Lösung zeigen
    1. 56 wird zu 57: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 82 um 1 kleiner.
    3. 82 − 1 = 81
    Ergebnis:
    81

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Milan verdoppelt bei 32 · 25 beide Faktoren und rechnet 64 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 64 · 50 = 3200, aber 32 · 25 = 800
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 15 + 78 + 85? Nenne ihn. Rechne danach.
15 + 78 + 85zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 15 + 85 = 100
  3. 100 + 78 = 178
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 15 + 85 = 100
  3. 100 + 78 = 178
Ergebnis:
vertauschen, 178

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 131 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    131 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 131 + 598 = 129 + 600
    3. 129 + 600 = 729
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 729
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 23? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 23zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 23 = 20 + 3.
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 3 = 24
    3. Zusammen: 184
    Ergebnis:
    zerlegen, 184
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 9 · 31? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 31zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 31 = 30 + 1.
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
    3. Zusammen: 279
    Ergebnis:
    zerlegen, 279

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 195 : 5 und erhält 49. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
195 : 5Ergebnis 49?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 49 · 5 = 245
  2. 245 ist nicht 195: Es ist falsch.
  3. 195 : 5 = 39
  1. Umkehraufgabe: 49 · 5 = 245
  2. 245 ist nicht 195: Es ist falsch.
  3. 195 : 5 = 39
Ergebnis:
falsch, richtig ist 39

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 304 : 8 und erhält 39. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    304 : 8Ergebnis 39?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 39 · 8 = 312
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 39 · 8 = 312
    2. 312 ist nicht 304: Es ist falsch.
    3. 304 : 8 = 38
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 38
  2. ●23
    Lina rechnet 342 − 143 und erhält 219. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 219 + 143 = 362
    2. 362 ist nicht 342: Es ist falsch.
    3. 342 − 143 = 199
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 199
  3. ★24
    Zeynep rechnet 942 : 6 und erhält 158. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    942 : 6Ergebnis 158?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 158 · 6 = 948
    2. 948 ist nicht 942: Es ist falsch.
    3. 942 : 6 = 157
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 157

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 69 + 83 + 31
    698331
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 69 + 31 + 83
    2. 69 + 31 = 100
    3. 100 + 83 = 183
    Ergebnis:
    183
  2. ●26
    Rechne geschickt: 2 · 16 · 5
    2165
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 16
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 16 = 160
    Ergebnis:
    160
  3. ●27
    Tom rechnet 197 + 76 als 200 + 76. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    19776
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 76 = 276.
    3. 3 wieder abziehen: 276 − 3 = 273
    Ergebnis:
    273
  4. ●28
    Lina rechnet 57 − 37 als 57 − 40 und erhält 17. Ist das schon das Ergebnis?
    57 − 3757 − 40
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 17 + 3 = 20
    Ergebnis:
    Nein, 20
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. 160 − 4 = 156
    Ergebnis:
    156
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 22?
    2027
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 2 = 14
    3. 7 · 22 = 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 2, zusammen 154

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 6 + 55 + 24
    65524
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    85

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Paul rechnet 39 + 63 als 40 + 63. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    3963
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    102

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Hefte mit je 33 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    264 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 102 : 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 58 − 40 = ___ − 42
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 351 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    351 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 650

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea rechnet 944 − 428 und erhält 536. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 516

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 133
  2. 71
  3. 473
  4. 56
  5. 291
  6. 936
  7. 180 Stühle
  8. 81 Hefte
  9. 396
  10. 47 Sticker
  11. 64
  12. 127
  13. 6
  14. 43
  15. 81
  16. 70
  17. 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 800
  19. gegensinnig verändern, 729
  20. zerlegen, 184
  21. zerlegen, 279
  22. falsch, richtig ist 38
  23. falsch, richtig ist 199
  24. falsch, richtig ist 157
  25. 183
  26. 160
  27. 273
  28. Nein, 20
  29. 156
  30. 7 · 20 und 7 · 2, zusammen 154
  31. 85
  32. 102
  33. 264 Hefte
  34. 34
  35. 60
  36. 180
  37. gegensinnig verändern, 650
  38. falsch, richtig ist 516
  39. 10
  40. 16
  41. 18
  42. 19