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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 64 − 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 64 − 35 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●40
    Rechne: (9 + 7) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 7 = 16
    2. 16 · 6 = 96
    Ergebnis:
    96

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 3 + 20 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 18 und erhalte 73. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 29 + 64 + 21 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
296421
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 29 + 21 + 64
  2. 29 + 21 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 64 = 114
  1. Vertauschen: 29 + 21 + 64
  2. 29 + 21 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 64 = 114
Ergebnis:
114

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mia rechnet 36 + 73 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    36734
    So fängst du an:
    Vertauschen: 36 + 4 + 73
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 4 + 73
    2. 36 + 4 = 40
    3. 40 + 73 = 113
    Ergebnis:
    113
  2. ●2
    Sofia rechnet 78 + 27 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    782722
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 78 + 22 + 27
    2. 78 + 22 = 100
    3. 100 + 27 = 127
    Ergebnis:
    127
  3. ★3
    Rechne geschickt: 41 + 141 + 72 + 59 + 28
    41141725928
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 41 + 59 + 72 + 28 + 141
    2. 41 + 59 = 100 und 72 + 28 = 100
    3. 100 + 100 + 141 = 341
    Ergebnis:
    341

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Can rechnet 47 + 75 als 50 + 75. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
4775
Schritt für Schritt
  1. Can hat 47 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 75 = 125.
  3. 3 wieder abziehen: 125 − 3 = 122
  1. Can hat 47 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 75 = 125.
  3. 3 wieder abziehen: 125 − 3 = 122
Ergebnis:
122

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 55 = 100 + ___
    9855
    So fängst du an:
    98 wird zu 100: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 55 um 2 kleiner werden: 55 − 2 = 53
    3. 100 + 53 = 153
    Ergebnis:
    53
  2. ●5
    Elias rechnet 48 + 35 als 50 + 35. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    4835
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 35 = 85.
    3. 2 wieder abziehen: 85 − 2 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★6
    Mia rechnet 998 + 597 als 1000 + 597. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    998597
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 1000 + 597 = 1597.
    3. 2 wieder abziehen: 1597 − 2 = 1595
    Ergebnis:
    1595

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Tüten mit je 57 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 57
  2. 57 = 50 + 7
  3. 6 · 50 = 300 und 6 · 7 = 42
  4. 300 + 42 = 342
  1. 6 · 57
  2. 57 = 50 + 7
  3. 6 · 50 = 300 und 6 · 7 = 42
  4. 300 + 42 = 342
Ergebnis:
342 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Reihen mit je 55 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 55
    Lösung zeigen
    1. 8 · 55
    2. 55 = 50 + 5
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 5 = 40
    4. 400 + 40 = 440
    Ergebnis:
    440 Stühle
  2. ●8
    Es gibt 9 Tüten mit je 68 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 68
    2. 68 = 60 + 8
    3. 9 · 60 = 540 und 9 · 8 = 72
    4. 540 + 72 = 612
    Ergebnis:
    612 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 7 Tüten mit je 53 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 53
    2. 53 = 50 + 3
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 3 = 21
    4. 350 + 21 = 371
    Ergebnis:
    371 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 434 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 434 : 7?
434: 7
Schritt für Schritt
  1. 434 = 420 + 14
  2. 420 : 7 = 60 und 14 : 7 = 2
  3. 60 + 2 = 62
  1. 434 = 420 + 14
  2. 420 : 7 = 60 und 14 : 7 = 2
  3. 60 + 2 = 62
Ergebnis:
62

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 312 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 312 : 6?
    312: 6
    So fängst du an:
    312 = 300 + 12
    Lösung zeigen
    1. 312 = 300 + 12
    2. 300 : 6 = 50 und 12 : 6 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●11
    Zerlege 495 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 495 : 9?
    495: 9
    Lösung zeigen
    1. 495 = 450 + 45
    2. 450 : 9 = 50 und 45 : 9 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55
  3. ★12
    Zerlege 465 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 465 : 5?
    465: 5
    Lösung zeigen
    1. 465 = 450 + 15
    2. 450 : 5 = 90 und 15 : 5 = 3
    3. 90 + 3 = 93
    Ergebnis:
    93

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 9 = 6 · ___
12 · 9=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 40 − 25 = ___ − 26
    So fängst du an:
    25 wird zu 26: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird zu 26: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 40 um 1 größer.
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 4 · 9 = 2 · ___
    4 · 9=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 60 − 14 = ___ − 19
    Lösung zeigen
    1. 14 wird zu 19: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 60 um 5 größer.
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Ben verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 9 · 86? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 86zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 86 = 80 + 6.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 6 = 54
    3. Zusammen: 774
    Ergebnis:
    zerlegen, 774
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 5807 − 5149? Nenne ihn. Rechne danach.
    5807 − 5149zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 5807 − 5149 = 658
    Ergebnis:
    schriftlich, 658

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia rechnet 723 − 416 und erhält 307. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 307 + 416 = 723
  2. 723 ist genau 723: Es stimmt.
  3. 723 − 416 = 307
  1. Umkehraufgabe: 307 + 416 = 723
  2. 723 ist genau 723: Es stimmt.
  3. 723 − 416 = 307
Ergebnis:
stimmt, 307

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma erhält für 35 · 21 das Ergebnis 735. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 20 = 800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 735 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 35 · 21 = 735
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 735
  2. ●23
    Mia rechnet 144 : 3 und erhält 48. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    144 : 3Ergebnis 48?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 48 · 3 = 144
    2. 144 ist genau 144: Es stimmt.
    3. 144 : 3 = 48
    Ergebnis:
    stimmt, 48
  3. ★24
    Tom erhält für 258 · 40 das Ergebnis 10.320. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 40 = 12.000
    2. 10.320 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 258 · 40 = 10.320
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 10.320

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Aylin rechnet 14 + 71 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    147126
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 26 + 71
    2. 14 + 26 = 40
    3. 40 + 71 = 111
    Ergebnis:
    111
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kartons. In jedem Karton sind 11 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kartons11 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 11
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 11 = 1100
    Ergebnis:
    1100 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 24
    3824
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 24 gibt 2 ab.
    2. 38 + 24 = 40 + 22
    3. 40 + 22 = 62
    Ergebnis:
    62
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 74 − 37
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 74 − 37 = 77 − 40
    3. 77 − 40 = 37
    Ergebnis:
    37
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 28
    Lösung zeigen
    1. 28 = 20 + 8
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 8 = 40
    3. 100 + 40 = 140
    Ergebnis:
    140
  6. ●30
    Lea rechnet 4 · 23 so: erst 4 · 20, dann 3 dazu. Lea erhält 83. Zeige am Bild, was fehlt.
    2034
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 4 · 3 = 12
    3. 80 + 12 = 92
    Ergebnis:
    92

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 35 + 69 + 15
    356915
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    119

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 85 = 70 + ___
    6785
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    82

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Hefte mit je 14 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    126 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 90 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 10 = 9 · ___
    18 · 10=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Aylin verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 323 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    323 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 921

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan rechnet 665 − 372 und erhält 303. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 293

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 113
  2. 127
  3. 341
  4. 53
  5. 83
  6. 1595
  7. 440 Stühle
  8. 612 Bonbons
  9. 371 Bonbons
  10. 52
  11. 55
  12. 93
  13. 41
  14. 18
  15. 65
  16. 200
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. zerlegen, 774
  21. schriftlich, 658
  22. stimmt, 735
  23. stimmt, 48
  24. stimmt, 10.320
  25. 111
  26. 1100 Bälle
  27. 62
  28. 37
  29. 140
  30. 92
  31. 119
  32. 82
  33. 126 Hefte
  34. 18
  35. 20
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. gegensinnig verändern, 921
  38. falsch, richtig ist 293
  39. 29
  40. 96
  41. 23
  42. 55