Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 8 + 24 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●40
    Rechne: (3 + 2) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 2 = 5
    2. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 6 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 8 = 48
    2. 3 + 48 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 23 und erhalte 74. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 4 + 62 + 16 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
46216
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 4 + 16 + 62
  2. 4 + 16 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 62 = 82
  1. Vertauschen: 4 + 16 + 62
  2. 4 + 16 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 62 = 82
Ergebnis:
82

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ben rechnet 17 + 59 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    17593
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 3 + 59
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 3 + 59
    2. 17 + 3 = 20
    3. 20 + 59 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 55 + 88 + 45 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    558845
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 55 + 45 + 88
    2. 55 + 45 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 88 = 188
    Ergebnis:
    188
  3. ★3
    Rechne geschickt: 95 + 518 + 105
    95518105
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 95 + 105 + 518
    2. 95 + 105 = 200
    3. 200 + 518 = 718
    Ergebnis:
    718

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 98 + 87 als 100 + 87. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
9887
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 87 = 187.
  3. 2 wieder abziehen: 187 − 2 = 185
  1. Noah hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 87 = 187.
  3. 2 wieder abziehen: 187 − 2 = 185
Ergebnis:
185

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 88 = 70 + ___
    6988
    So fängst du an:
    69 wird zu 70: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 88 um 1 kleiner werden: 88 − 1 = 87
    3. 70 + 87 = 157
    Ergebnis:
    87
  2. ●5
    Mia rechnet 298 + 55 als 300 + 55. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    29855
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 55 = 355.
    3. 2 wieder abziehen: 355 − 2 = 353
    Ergebnis:
    353
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 498 + 779
    498779
    Lösung zeigen
    1. 498 bekommt 2 dazu, 779 gibt 2 ab.
    2. 498 + 779 = 500 + 777
    3. 500 + 777 = 1277
    Ergebnis:
    1277

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 32
Schritt für Schritt
  1. 32 = 30 + 2
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 2 = 16
  3. 240 + 16 = 256
  1. 32 = 30 + 2
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 2 = 16
  3. 240 + 16 = 256
Ergebnis:
256

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 − 3 = 147
    Ergebnis:
    147
  2. ●8
    Es gibt 4 Reihen mit je 36 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 36
    2. 36 = 30 + 6
    3. 4 · 30 = 120 und 4 · 6 = 24
    4. 120 + 24 = 144
    Ergebnis:
    144 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 18
    Lösung zeigen
    1. 18 = 10 + 8
    2. 8 · 10 = 80 und 8 · 8 = 64
    3. 80 + 64 = 144
    Ergebnis:
    144

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 345 : 5
Schritt für Schritt
  1. 345 = 300 + 45
  2. 300 : 5 = 60 und 45 : 5 = 9
  3. 60 + 9 = 69
  1. 345 = 300 + 45
  2. 300 : 5 = 60 und 45 : 5 = 9
  3. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 495 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 495 : 9?
    495: 9
    So fängst du an:
    495 = 450 + 45
    Lösung zeigen
    1. 495 = 450 + 45
    2. 450 : 9 = 50 und 45 : 9 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●11
    Zerlege 413 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 413 : 7?
    413: 7
    Lösung zeigen
    1. 413 = 350 + 63
    2. 350 : 7 = 50 und 63 : 7 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★12
    1312 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1312 : 8
    2. 1312 = 1280 + 32
    3. 1280 : 8 = 160 und 32 : 8 = 4
    4. 160 + 4 = 164
    Ergebnis:
    164 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 54 + 62 = 44 + ___
54 + 62=44 + ?
Schritt für Schritt
  1. 54 wird zu 44: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 62 um 10 größer.
  3. 62 + 10 = 72
  1. 54 wird zu 44: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 62 um 10 größer.
  3. 62 + 10 = 72
Ergebnis:
72

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 69 − 21 = ___ − 22
    So fängst du an:
    21 wird zu 22: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 22: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 1 größer.
    3. 69 + 1 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 39 + 60 = 42 + ___
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 42: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 60 um 3 kleiner.
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 6 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Aylin verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Mia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 42 + 48 + 58? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 48 = 148
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 48 = 148
Ergebnis:
vertauschen, 148

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 281 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    281 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 281 + 598 = 279 + 600
    3. 279 + 600 = 879
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 879
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 9 · 87? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 87 = 80 + 7.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 7 = 63
    3. Zusammen: 783
    Ergebnis:
    zerlegen, 783
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 4568 − 1541? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 4568 − 1541 = 3027
    Ergebnis:
    schriftlich, 3027

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 83 · 40 das Ergebnis 3220. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
  2. 3220 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 83 · 40 = 3320
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
  2. 3220 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 83 · 40 = 3320
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 3320

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea rechnet 388 : 4 und erhält 96. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    388 : 4Ergebnis 96?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 96 · 4 = 384
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 96 · 4 = 384
    2. 384 ist nicht 388: Es ist falsch.
    3. 388 : 4 = 97
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 97
  2. ●23
    Mia rechnet 903 − 707 und erhält 196. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 196 + 707 = 903
    2. 903 ist genau 903: Es stimmt.
    3. 903 − 707 = 196
    Ergebnis:
    stimmt, 196
  3. ★24
    Sofia rechnet 5994 : 9 und erhält 676. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    5994 : 9Ergebnis 676?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 676 · 9 = 6084
    2. 6084 ist nicht 5994: Es ist falsch.
    3. 5994 : 9 = 666
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 666

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Paul rechnet 37 + 81 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    378113
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 13 + 81
    2. 37 + 13 = 50
    3. 50 + 81 = 131
    Ergebnis:
    131
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kisten. In jeder Kiste sind 6 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kisten6 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 6
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 6 = 600
    Ergebnis:
    600 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 85
    3785
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 85 gibt 3 ab.
    2. 37 + 85 = 40 + 82
    3. 40 + 82 = 122
    Ergebnis:
    122
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 218 − 198 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 218 um 2 größer: 220.
    3. 220 − 200 = 20
    Ergebnis:
    220
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 − 7 = 273
    Ergebnis:
    273
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 24 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2045
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 4 = 20
    3. Zusammen: 100 + 20 = 120
    Ergebnis:
    120 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Emma rechnet 73 + 52 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    735227
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    152

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 87 = 50 + ___
    4987
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    86

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 21
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    105

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 208 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 208 : 4?
    208: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 89 − 53 = ___ − 63
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    99

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Milan verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 48? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 48zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 288

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 310 : 5 und erhält 63. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    310 : 5Ergebnis 63?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 62

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 79
  2. 188
  3. 718
  4. 87
  5. 353
  6. 1277
  7. 147
  8. 144 Stühle
  9. 144
  10. 55
  11. 59
  12. 164 Sticker
  13. 70
  14. 57
  15. 12
  16. 200
  17. 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. gegensinnig verändern, 879
  20. zerlegen, 783
  21. schriftlich, 3027
  22. falsch, richtig ist 97
  23. stimmt, 196
  24. falsch, richtig ist 666
  25. 131
  26. 600 Bälle
  27. 122
  28. 220
  29. 273
  30. 120 Kästchen
  31. 152
  32. 86
  33. 105
  34. 52
  35. 99
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  37. zerlegen, 288
  38. falsch, richtig ist 62
  39. 32
  40. 10
  41. 51
  42. 51