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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 32 − 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 32 − 15 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (2 + 9) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 9 = 11
    2. 11 · 3 = 33
    Ergebnis:
    33

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 6 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 9 = 54
    2. 5 + 54 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 7 und erhalte 55. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 34 + 33 + 66 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
343366
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 34 + 66 + 33
  2. 34 + 66 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 33 = 133
  1. Vertauschen: 34 + 66 + 33
  2. 34 + 66 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 33 = 133
Ergebnis:
133

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 23 + 79 + 27 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    237927
    So fängst du an:
    Vertauschen: 23 + 27 + 79
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 27 + 79
    2. 23 + 27 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 79 = 129
    Ergebnis:
    129
  2. ●2
    Noah rechnet 35 + 33 + 25 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    353325
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 25 + 33
    2. 35 + 25 = 60
    3. 60 + 33 = 93
    Ergebnis:
    93
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 665 + 249 + 36 + 335 + 64 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    6652493633564
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 665 + 335 + 36 + 64 + 249
    2. 665 + 335 = 1000 und 36 + 64 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 249 = 1349
    Ergebnis:
    1349

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 46 = 50 + ___
4846
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 46 um 2 kleiner werden: 46 − 2 = 44
  3. 50 + 44 = 94
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 46 um 2 kleiner werden: 46 − 2 = 44
  3. 50 + 44 = 94
Ergebnis:
44

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 36
    6836
    So fängst du an:
    68 bekommt 2 dazu, 36 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 36 gibt 2 ab.
    2. 68 + 36 = 70 + 34
    3. 70 + 34 = 104
    Ergebnis:
    104
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 34
    4834
    Lösung zeigen
    1. 48 bekommt 2 dazu, 34 gibt 2 ab.
    2. 48 + 34 = 50 + 32
    3. 50 + 32 = 82
    Ergebnis:
    82
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1997 + 529 = 2000 + ___
    1997529
    Lösung zeigen
    1. 1997 wird zu 2000: 3 mehr.
    2. Also muss 529 um 3 kleiner werden: 529 − 3 = 526
    3. 2000 + 526 = 2526
    Ergebnis:
    526

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 48
Schritt für Schritt
  1. 48 = 40 + 8
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 8 = 64
  3. 320 + 64 = 384
  1. 48 = 40 + 8
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 8 = 64
  3. 320 + 64 = 384
Ergebnis:
384

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
    3. 140 − 7 = 133
    Ergebnis:
    133
  2. ●8
    Es gibt 5 Hefte mit je 34 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 34
    2. 34 = 30 + 4
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 4 = 20
    4. 150 + 20 = 170
    Ergebnis:
    170 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 3 · 169
    Lösung zeigen
    1. 169 = 100 + 60 + 9
    2. 3 · 100 = 300; 3 · 60 = 180; 3 · 9 = 27
    3. 300 + 180 + 27 = 507
    Ergebnis:
    507

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

288 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 288 : 9
  2. 288 = 270 + 18
  3. 270 : 9 = 30 und 18 : 9 = 2
  4. 30 + 2 = 32
  1. 288 : 9
  2. 288 = 270 + 18
  3. 270 : 9 = 30 und 18 : 9 = 2
  4. 30 + 2 = 32
Ergebnis:
32 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    189 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    189 : 3
    Lösung zeigen
    1. 189 : 3
    2. 189 = 180 + 9
    3. 180 : 3 = 60 und 9 : 3 = 3
    4. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 329 : 7
    Lösung zeigen
    1. 329 = 280 + 49
    2. 280 : 7 = 40 und 49 : 7 = 7
    3. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47
  3. ★12
    Zerlege 825 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 825 : 5?
    825: 5
    Lösung zeigen
    1. 825 = 800 + 25
    2. 800 : 5 = 160 und 25 : 5 = 5
    3. 160 + 5 = 165
    Ergebnis:
    165

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 9 = 9 · ___
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 89 − 51 = ___ − 56
    So fängst du an:
    51 wird zu 56: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 51 wird zu 56: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 5 größer.
    3. 89 + 5 = 94
    Ergebnis:
    94
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 47 + 22 = 57 + ___
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 57: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 10 kleiner.
    3. 22 − 10 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 49 − 39 = ___ − 44
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 44: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 5 größer.
    3. 49 + 5 = 54
    Ergebnis:
    54

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
Schritt für Schritt
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zeynep verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
4 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 25 = 20 + 5.
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 5 = 20
  3. Zusammen: 100
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 25 = 20 + 5.
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 5 = 20
  3. Zusammen: 100
Ergebnis:
zerlegen, 100

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 56? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 56 = 50 + 6.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 56 = 50 + 6.
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 6 = 48
    3. Zusammen: 448
    Ergebnis:
    zerlegen, 448
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 211 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    211 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 211 + 598 = 209 + 600
    3. 209 + 600 = 809
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 809
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 8214 − 4384? Nenne ihn. Rechne danach.
    8214 − 4384zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 8214 − 4384 = 3830
    Ergebnis:
    schriftlich, 3830

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 957 − 824 und erhält 143. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 143 + 824 = 967
  2. 967 ist nicht 957: Es ist falsch.
  3. 957 − 824 = 133
  1. Umkehraufgabe: 143 + 824 = 967
  2. 967 ist nicht 957: Es ist falsch.
  3. 957 − 824 = 133
Ergebnis:
falsch, richtig ist 133

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma rechnet 749 − 488 und erhält 261. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 261 + 488 = 749
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 261 + 488 = 749
    2. 749 ist genau 749: Es stimmt.
    3. 749 − 488 = 261
    Ergebnis:
    stimmt, 261
  2. ●23
    Lina rechnet 348 : 6 und erhält 60. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    348 : 6Ergebnis 60?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 60 · 6 = 360
    2. 360 ist nicht 348: Es ist falsch.
    3. 348 : 6 = 58
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 58
  3. ★24
    Lea rechnet 3250 − 1951 und erhält 1299. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1299 + 1951 = 3250
    2. 3250 ist genau 3250: Es stimmt.
    3. 3250 − 1951 = 1299
    Ergebnis:
    stimmt, 1299

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea rechnet 62 + 66 + 38 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    626638
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 62 + 38 + 66
    2. 62 + 38 = 100
    3. 100 + 66 = 166
    Ergebnis:
    166
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 4 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Packungen4 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 4
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 94
    9994
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 94 gibt 1 ab.
    2. 99 + 94 = 100 + 93
    3. 100 + 93 = 193
    Ergebnis:
    193
  4. ●28
    Mia rechnet 76 − 18 als 76 − 20 und erhält 56. Ist das schon das Ergebnis?
    76 − 1876 − 20
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 56 + 2 = 58
    Ergebnis:
    Nein, 58
  5. ●29
    Es gibt 6 Hefte mit je 57 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 57
    2. 57 = 50 + 7
    3. 6 · 50 = 300 und 6 · 7 = 42
    4. 300 + 42 = 342
    Ergebnis:
    342 Hefte
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 16?
    1064
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 10 = 40
    2. Rechts: 4 · 6 = 24
    3. 4 · 16 = 40 + 24 = 64
    Ergebnis:
    4 · 10 und 4 · 6, zusammen 64

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 22 + 72 + 28 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    227228
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    122

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Aylin rechnet 38 + 73 als 40 + 73. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    3873
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    111

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    225

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    189 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 67 − 42 = ___ − 47
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 35 + 68 + 65? Nenne ihn. Rechne danach.
    35 + 68 + 65zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 168

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 577 − 491 und erhält 76. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 86

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 129
  2. 93
  3. 1349
  4. 104
  5. 82
  6. 526
  7. 133
  8. 170 Hefte
  9. 507
  10. 63 Murmeln
  11. 47
  12. 165
  13. 94
  14. 12
  15. 54
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 210
  18. 3000
  19. zerlegen, 448
  20. gegensinnig verändern, 809
  21. schriftlich, 3830
  22. stimmt, 261
  23. falsch, richtig ist 58
  24. stimmt, 1299
  25. 166
  26. 40 Bälle
  27. 193
  28. Nein, 58
  29. 342 Hefte
  30. 4 · 10 und 4 · 6, zusammen 64
  31. 122
  32. 111
  33. 225
  34. 21 Bücher
  35. 72
  36. 80
  37. vertauschen, 168
  38. falsch, richtig ist 86
  39. 17
  40. 33
  41. 59
  42. 48