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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 37 − 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 37 − 18 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (5 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 5 = 10
    2. 10 · 7 = 70
    Ergebnis:
    70

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 3 + 36 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 38 und erhalte 58. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 18 + 89 + 32
188932
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 18 + 32 + 89
  2. 18 + 32 = 50
  3. 50 + 89 = 139
  1. Vertauschen: 18 + 32 + 89
  2. 18 + 32 = 50
  3. 50 + 89 = 139
Ergebnis:
139

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 37 + 86 + 3
    37863
    So fängst du an:
    Vertauschen: 37 + 3 + 86
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 3 + 86
    2. 37 + 3 = 40
    3. 40 + 86 = 126
    Ergebnis:
    126
  2. ●2
    Rechne geschickt: 14 + 64 + 6
    14646
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 64
    2. 14 + 6 = 20
    3. 20 + 64 = 84
    Ergebnis:
    84
  3. ★3
    Rechne geschickt: 294 + 334 + 706
    294334706
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 294 + 706 + 334
    2. 294 + 706 = 1000
    3. 1000 + 334 = 1334
    Ergebnis:
    1334

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Sofia rechnet 298 + 95 als 300 + 95. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
29895
Schritt für Schritt
  1. Sofia hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 95 = 395.
  3. 2 wieder abziehen: 395 − 2 = 393
  1. Sofia hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 95 = 395.
  3. 2 wieder abziehen: 395 − 2 = 393
Ergebnis:
393

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 24 = 100 + ___
    9924
    So fängst du an:
    99 wird zu 100: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 24 um 1 kleiner werden: 24 − 1 = 23
    3. 100 + 23 = 123
    Ergebnis:
    23
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 56
    3956
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 56 gibt 1 ab.
    2. 39 + 56 = 40 + 55
    3. 40 + 55 = 95
    Ergebnis:
    95
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 698 + 135
    698135
    Lösung zeigen
    1. 698 bekommt 2 dazu, 135 gibt 2 ab.
    2. 698 + 135 = 700 + 133
    3. 700 + 133 = 833
    Ergebnis:
    833

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 3 Hefte mit je 29 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 3 · 29
  2. 29 = 20 + 9
  3. 3 · 20 = 60 und 3 · 9 = 27
  4. 60 + 27 = 87
  1. 3 · 29
  2. 29 = 20 + 9
  3. 3 · 20 = 60 und 3 · 9 = 27
  4. 60 + 27 = 87
Ergebnis:
87 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Hefte mit je 65 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 65
    Lösung zeigen
    1. 8 · 65
    2. 65 = 60 + 5
    3. 8 · 60 = 480 und 8 · 5 = 40
    4. 480 + 40 = 520
    Ergebnis:
    520 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 1 = 9
    3. 360 − 9 = 351
    Ergebnis:
    351
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 98
    Lösung zeigen
    1. 98 = 100 − 2
    2. 4 · 100 = 400 und 4 · 2 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 594 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 594 : 9?
594: 9
Schritt für Schritt
  1. 594 = 540 + 54
  2. 540 : 9 = 60 und 54 : 9 = 6
  3. 60 + 6 = 66
  1. 594 = 540 + 54
  2. 540 : 9 = 60 und 54 : 9 = 6
  3. 60 + 6 = 66
Ergebnis:
66

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    84 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    84 : 3
    Lösung zeigen
    1. 84 : 3
    2. 84 = 60 + 24
    3. 60 : 3 = 20 und 24 : 3 = 8
    4. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28 Sticker
  2. ●11
    366 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 366 : 6
    2. 366 = 360 + 6
    3. 360 : 6 = 60 und 6 : 6 = 1
    4. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61 Sticker
  3. ★12
    Zerlege 1638 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 1638 : 9?
    1638: 9
    Lösung zeigen
    1. 1638 = 1620 + 18
    2. 1620 : 9 = 180 und 18 : 9 = 2
    3. 180 + 2 = 182
    Ergebnis:
    182

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 48 − 32 = ___ − 33
Schritt für Schritt
  1. 32 wird zu 33: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 48 um 1 größer.
  3. 48 + 1 = 49
  1. 32 wird zu 33: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 48 um 1 größer.
  3. 48 + 1 = 49
Ergebnis:
49

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 97 − 80 = ___ − 82
    So fängst du an:
    80 wird zu 82: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 80 wird zu 82: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 97 um 2 größer.
    3. 97 + 2 = 99
    Ergebnis:
    99
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 7 = 8 · ___
    16 · 7=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 62 + 4 · 3 = 4 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 4.
    2. 4 mal 62 und 4 mal 3 sind zusammen 4 mal (62 + 3).
    3. 62 + 3 = 65
    Ergebnis:
    65

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lina verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Lina verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Zeynep verdoppelt bei 18 · 45 beide Faktoren und rechnet 36 · 90. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 90 = 3240, aber 18 · 45 = 810
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 32 + 77 + 68? Nenne ihn. Rechne danach.
32 + 77 + 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 32 + 68 = 100
  3. 100 + 77 = 177
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 32 + 68 = 100
  3. 100 + 77 = 177
Ergebnis:
vertauschen, 177

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 36 + 54 + 64? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 36 + 64 = 100
    3. 100 + 54 = 154
    Ergebnis:
    vertauschen, 154
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 123 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    123 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 123 + 399 = 122 + 400
    3. 122 + 400 = 522
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 522
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 59? Nenne ihn. Rechne danach.
    4 · 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 9 = 36
    3. Zusammen: 236
    Ergebnis:
    zerlegen, 236

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 796 − 461 und erhält 345. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 345 + 461 = 806
  2. 806 ist nicht 796: Es ist falsch.
  3. 796 − 461 = 335
  1. Umkehraufgabe: 345 + 461 = 806
  2. 806 ist nicht 796: Es ist falsch.
  3. 796 − 461 = 335
Ergebnis:
falsch, richtig ist 335

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mia rechnet 492 − 249 und erhält 233. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 233 + 249 = 482
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 233 + 249 = 482
    2. 482 ist nicht 492: Es ist falsch.
    3. 492 − 249 = 243
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 243
  2. ●23
    Sofia rechnet 375 : 5 und erhält 74. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    375 : 5Ergebnis 74?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 74 · 5 = 370
    2. 370 ist nicht 375: Es ist falsch.
    3. 375 : 5 = 75
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 75
  3. ★24
    Noah rechnet 2232 : 9 und erhält 258. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2232 : 9Ergebnis 258?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 258 · 9 = 2322
    2. 2322 ist nicht 2232: Es ist falsch.
    3. 2232 : 9 = 248
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 248

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 91 + 28 + 9
    91289
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 91 + 9 + 28
    2. 91 + 9 = 100
    3. 100 + 28 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Kisten. In jeder Kiste sind 12 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Kisten12 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 12
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 37
    19737
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 37 gibt 3 ab.
    2. 197 + 37 = 200 + 34
    3. 200 + 34 = 234
    Ergebnis:
    234
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 193 − 18
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 193 − 18 = 195 − 20
    3. 195 − 20 = 175
    Ergebnis:
    175
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 23
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 3 = 15
    3. 100 + 15 = 115
    Ergebnis:
    115
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 24?
    2047
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 4 = 28
    3. 7 · 24 = 140 + 28 = 168
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 4, zusammen 168

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 37 + 11 + 3
    37113
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 27 = 40 + ___
    3927
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    96 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 58 + 70 = 68 + ___
    58 + 70=68 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 126 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    126 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 525

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 156 : 6 und erhält 36. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    156 : 6Ergebnis 36?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 26

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 126
  2. 84
  3. 1334
  4. 23
  5. 95
  6. 833
  7. 520 Hefte
  8. 351
  9. 392
  10. 28 Sticker
  11. 61 Sticker
  12. 182
  13. 99
  14. 14
  15. 65
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 810
  19. vertauschen, 154
  20. gegensinnig verändern, 522
  21. zerlegen, 236
  22. falsch, richtig ist 243
  23. falsch, richtig ist 75
  24. falsch, richtig ist 248
  25. 128
  26. 1200 Bälle
  27. 234
  28. 175
  29. 115
  30. 7 · 20 und 7 · 4, zusammen 168
  31. 51
  32. 26
  33. 116
  34. 32 Bücher
  35. 60
  36. 180
  37. gegensinnig verändern, 525
  38. falsch, richtig ist 26
  39. 19
  40. 70
  41. 39
  42. 20