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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 4 + 24 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●40
    Rechne: (6 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 5 = 11
    2. 11 · 7 = 77
    Ergebnis:
    77

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 8 + 35 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 36 und erhalte 90. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Jonas rechnet 8 + 56 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
85622
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 8 + 22 + 56
  2. 8 + 22 = 30
  3. 30 + 56 = 86
  1. Vertauschen: 8 + 22 + 56
  2. 8 + 22 = 30
  3. 30 + 56 = 86
Ergebnis:
86

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 8 + 65 + 12
    86512
    So fängst du an:
    Vertauschen: 8 + 12 + 65
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 12 + 65
    2. 8 + 12 = 20
    3. 20 + 65 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 35 + 61 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    35615
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 5 + 61
    2. 35 + 5 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 61 = 101
    Ergebnis:
    101
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 41 + 494 + 48 + 59 + 52 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    41494485952
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 41 + 59 + 48 + 52 + 494
    2. 41 + 59 = 100 und 48 + 52 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 100 + 494 = 694
    Ergebnis:
    694

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 67 = 70 + ___
6967
Schritt für Schritt
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 67 um 1 kleiner werden: 67 − 1 = 66
  3. 70 + 66 = 136
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 67 um 1 kleiner werden: 67 − 1 = 66
  3. 70 + 66 = 136
Ergebnis:
66

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 79
    19779
    So fängst du an:
    197 bekommt 3 dazu, 79 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 79 gibt 3 ab.
    2. 197 + 79 = 200 + 76
    3. 200 + 76 = 276
    Ergebnis:
    276
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 44
    9944
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 44 gibt 1 ab.
    2. 99 + 44 = 100 + 43
    3. 100 + 43 = 143
    Ergebnis:
    143
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 397 + 398
    397398
    Lösung zeigen
    1. 397 bekommt 3 dazu, 398 gibt 3 ab.
    2. 397 + 398 = 400 + 395
    3. 400 + 395 = 795
    Ergebnis:
    795

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 66
Schritt für Schritt
  1. 66 = 60 + 6
  2. 7 · 60 = 420 und 7 · 6 = 42
  3. 420 + 42 = 462
  1. 66 = 60 + 6
  2. 7 · 60 = 420 und 7 · 6 = 42
  3. 420 + 42 = 462
Ergebnis:
462

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 16
    So fängst du an:
    16 = 10 + 6
    Lösung zeigen
    1. 16 = 10 + 6
    2. 4 · 10 = 40 und 4 · 6 = 24
    3. 40 + 24 = 64
    Ergebnis:
    64
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 38
    Lösung zeigen
    1. 38 = 30 + 8
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 8 = 64
    3. 240 + 64 = 304
    Ergebnis:
    304
  3. ★9
    Es gibt 6 Hefte mit je 16 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 16
    2. 16 = 10 + 6
    3. 6 · 10 = 60 und 6 · 6 = 36
    4. 60 + 36 = 96
    Ergebnis:
    96 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 252 : 4
Schritt für Schritt
  1. 252 = 240 + 12
  2. 240 : 4 = 60 und 12 : 4 = 3
  3. 60 + 3 = 63
  1. 252 = 240 + 12
  2. 240 : 4 = 60 und 12 : 4 = 3
  3. 60 + 3 = 63
Ergebnis:
63

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 235 : 5
    So fängst du an:
    235 = 200 + 35
    Lösung zeigen
    1. 235 = 200 + 35
    2. 200 : 5 = 40 und 35 : 5 = 7
    3. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●11
    108 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 108 : 3
    2. 108 = 90 + 18
    3. 90 : 3 = 30 und 18 : 3 = 6
    4. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36 Sticker
  3. ★12
    Zerlege 273 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 273 : 3?
    273: 3
    Lösung zeigen
    1. 273 = 270 + 3
    2. 270 : 3 = 90 und 3 : 3 = 1
    3. 90 + 1 = 91
    Ergebnis:
    91

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 12 = 6 · ___
12 · 12=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
Ergebnis:
24

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 74 − 62 = ___ − 63
    So fängst du an:
    62 wird zu 63: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 62 wird zu 63: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 1 größer.
    3. 74 + 1 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 97 − 27 = ___ − 28
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 28: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 97 um 1 größer.
    3. 97 + 1 = 98
    Ergebnis:
    98
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 5 = 3 · ___
    6 · 5=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    So fängst du an:
    12 · 15 = 6 · 30
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 34 + 76 + 66? Nenne ihn. Rechne danach.
34 + 76 + 66zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 34 + 66 = 100
  3. 100 + 76 = 176
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 34 + 66 = 100
  3. 100 + 76 = 176
Ergebnis:
vertauschen, 176

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 8 · 64? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 64 = 60 + 4.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 64 = 60 + 4.
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 4 = 32
    3. Zusammen: 512
    Ergebnis:
    zerlegen, 512
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 82? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 2 = 18
    3. Zusammen: 738
    Ergebnis:
    zerlegen, 738
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 78? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 78zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 78 = 70 + 8.
    2. 8 · 70 = 560 und 8 · 8 = 64
    3. Zusammen: 624
    Ergebnis:
    zerlegen, 624

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 135 : 5 und erhält 29. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
135 : 5Ergebnis 29?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 29 · 5 = 145
  2. 145 ist nicht 135: Es ist falsch.
  3. 135 : 5 = 27
  1. Umkehraufgabe: 29 · 5 = 145
  2. 145 ist nicht 135: Es ist falsch.
  3. 135 : 5 = 27
Ergebnis:
falsch, richtig ist 27

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin rechnet 126 : 3 und erhält 43. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    126 : 3Ergebnis 43?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 43 · 3 = 129
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 43 · 3 = 129
    2. 129 ist nicht 126: Es ist falsch.
    3. 126 : 3 = 42
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 42
  2. ●23
    Lina rechnet 492 − 278 und erhält 214. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 214 + 278 = 492
    2. 492 ist genau 492: Es stimmt.
    3. 492 − 278 = 214
    Ergebnis:
    stimmt, 214
  3. ★24
    Paul erhält für 204 · 31 das Ergebnis 6424. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 30 = 6000
    2. 6424 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 204 · 31 = 6324
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6324

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 78 + 31 + 22
    783122
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 78 + 22 + 31
    2. 78 + 22 = 100
    3. 100 + 31 = 131
    Ergebnis:
    131
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 50 · 15 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    50152
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 15
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 27 = 40 + ___
    3827
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 27 um 2 kleiner werden: 27 − 2 = 25
    3. 40 + 25 = 65
    Ergebnis:
    25
  4. ●28
    Milan rechnet 120 − 48 als 120 − 50 und erhält 70. Ist das schon das Ergebnis?
    120 − 48120 − 50
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 70 + 2 = 72
    Ergebnis:
    Nein, 72
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 28
    Lösung zeigen
    1. 28 = 20 + 8
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 8 = 24
    3. 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 27?
    2075
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 20 = 100
    2. Rechts: 5 · 7 = 35
    3. 5 · 27 = 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    5 · 20 und 5 · 7, zusammen 135

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 15 + 39 + 25
    153925
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    79

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 43 = 200 + ___
    19843
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    145

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    205 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 71 + 86 = 69 + ___
    71 + 86=69 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    88

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 82? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 738

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 546 − 451 und erhält 195. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 95

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 85
  2. 101
  3. 694
  4. 276
  5. 143
  6. 795
  7. 64
  8. 304
  9. 96 Hefte
  10. 47
  11. 36 Sticker
  12. 91
  13. 75
  14. 98
  15. 10
  16. 180
  17. 90
  18. 490
  19. zerlegen, 512
  20. zerlegen, 738
  21. zerlegen, 624
  22. falsch, richtig ist 42
  23. stimmt, 214
  24. falsch, richtig ist 6324
  25. 131
  26. 1500
  27. 25
  28. Nein, 72
  29. 84
  30. 5 · 20 und 5 · 7, zusammen 135
  31. 79
  32. 41
  33. 145
  34. 41 Sticker
  35. 88
  36. 200
  37. zerlegen, 738
  38. falsch, richtig ist 95
  39. 28
  40. 77
  41. 43
  42. 54