Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 6 + 6 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●40
    Rechne: (8 + 7) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 7 = 15
    2. 15 · 7 = 105
    Ergebnis:
    105

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 6 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 6 = 36
    2. 5 + 36 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 20 und erhalte 37. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 31 + 34 + 69 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
313469
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 31 + 69 + 34
  2. 31 + 69 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 34 = 134
  1. Vertauschen: 31 + 69 + 34
  2. 31 + 69 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 34 = 134
Ergebnis:
134

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 27 + 79 + 23
    277923
    So fängst du an:
    Vertauschen: 27 + 23 + 79
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 23 + 79
    2. 27 + 23 = 50
    3. 50 + 79 = 129
    Ergebnis:
    129
  2. ●2
    Milan rechnet 26 + 12 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    26124
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 4 + 12
    2. 26 + 4 = 30
    3. 30 + 12 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★3
    Lina rechnet 263 + 333 + 37 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    26333337
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 263 + 37 + 333
    2. 263 + 37 = 300
    3. 300 + 333 = 633
    Ergebnis:
    633

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Aylin rechnet 97 + 85 als 100 + 85. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
9785
Schritt für Schritt
  1. Aylin hat 97 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 85 = 185.
  3. 3 wieder abziehen: 185 − 3 = 182
  1. Aylin hat 97 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 85 = 185.
  3. 3 wieder abziehen: 185 − 3 = 182
Ergebnis:
182

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Can rechnet 198 + 75 als 200 + 75. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    19875
    So fängst du an:
    Can hat 198 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Can hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 75 = 275.
    3. 2 wieder abziehen: 275 − 2 = 273
    Ergebnis:
    273
  2. ●5
    Ben rechnet 68 + 29 als 70 + 29. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    6829
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 29 = 99.
    3. 2 wieder abziehen: 99 − 2 = 97
    Ergebnis:
    97
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 496 + 459
    496459
    Lösung zeigen
    1. 496 bekommt 4 dazu, 459 gibt 4 ab.
    2. 496 + 459 = 500 + 455
    3. 500 + 455 = 955
    Ergebnis:
    955

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 68
Schritt für Schritt
  1. 68 = 60 + 8
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 8 = 72
  3. 540 + 72 = 612
  1. 68 = 60 + 8
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 8 = 72
  3. 540 + 72 = 612
Ergebnis:
612

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 48
    So fängst du an:
    48 = 40 + 8
    Lösung zeigen
    1. 48 = 40 + 8
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 8 = 72
    3. 360 + 72 = 432
    Ergebnis:
    432
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 61
    Lösung zeigen
    1. 61 = 60 + 1
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
    3. 540 + 9 = 549
    Ergebnis:
    549
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 72
    Lösung zeigen
    1. 72 = 70 + 2
    2. 9 · 70 = 630 und 9 · 2 = 18
    3. 630 + 18 = 648
    Ergebnis:
    648

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 396 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 396 : 6?
396: 6
Schritt für Schritt
  1. 396 = 360 + 36
  2. 360 : 6 = 60 und 36 : 6 = 6
  3. 60 + 6 = 66
  1. 396 = 360 + 36
  2. 360 : 6 = 60 und 36 : 6 = 6
  3. 60 + 6 = 66
Ergebnis:
66

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    144 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    144 : 3
    Lösung zeigen
    1. 144 : 3
    2. 144 = 120 + 24
    3. 120 : 3 = 40 und 24 : 3 = 8
    4. 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 266 : 7
    Lösung zeigen
    1. 266 = 210 + 56
    2. 210 : 7 = 30 und 56 : 7 = 8
    3. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★12
    672 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 672 : 7
    2. 672 = 630 + 42
    3. 630 : 7 = 90 und 42 : 7 = 6
    4. 90 + 6 = 96
    Ergebnis:
    96 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 83 + 28 = 81 + ___
Schritt für Schritt
  1. 83 wird zu 81: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 28 um 2 größer.
  3. 28 + 2 = 30
  1. 83 wird zu 81: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 28 um 2 größer.
  3. 28 + 2 = 30
Ergebnis:
30

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 69 − 35 = ___ − 37
    So fängst du an:
    35 wird zu 37: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 35 wird zu 37: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 2 größer.
    3. 69 + 2 = 71
    Ergebnis:
    71
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 15 + 34 = 17 + ___
    15 + 34=17 + ?
    Lösung zeigen
    1. 15 wird zu 17: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 34 um 2 kleiner.
    3. 34 − 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 13 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
Schritt für Schritt
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Lina verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Hanna verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 32 · 25
    Lösung zeigen
    1. 32 · 25 = 16 · 50
    2. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 60? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 60 = 60 + 0.
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 0 = 0
  3. Zusammen: 300
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 60 = 60 + 0.
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 0 = 0
  3. Zusammen: 300
Ergebnis:
zerlegen, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 288 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    288 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 288 + 299 = 287 + 300
    3. 287 + 300 = 587
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 587
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 23 + 36 + 77? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    vertauschen, 136
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 3578 − 2153? Nenne ihn. Rechne danach.
    3578 − 2153zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 3578 − 2153 = 1425
    Ergebnis:
    schriftlich, 1425

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea rechnet 628 − 270 und erhält 348. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 348 + 270 = 618
  2. 618 ist nicht 628: Es ist falsch.
  3. 628 − 270 = 358
  1. Umkehraufgabe: 348 + 270 = 618
  2. 618 ist nicht 628: Es ist falsch.
  3. 628 − 270 = 358
Ergebnis:
falsch, richtig ist 358

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul erhält für 82 · 33 das Ergebnis 2706. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 30 = 2400
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
    2. 2706 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 82 · 33 = 2706
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2706
  2. ●23
    Aylin rechnet 180 : 6 und erhält 40. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    180 : 6Ergebnis 40?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 40 · 6 = 240
    2. 240 ist nicht 180: Es ist falsch.
    3. 180 : 6 = 30
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 30
  3. ★24
    Jonas erhält für 279 · 41 das Ergebnis 11.239. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 40 = 12.000
    2. 11.239 liegt zu weit weg. Genau: 279 · 41 = 11.439
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 11.439

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 71 + 68 + 29
    716829
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 71 + 29 + 68
    2. 71 + 29 = 100
    3. 100 + 68 = 168
    Ergebnis:
    168
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 5 · 8 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    582
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 8
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 23
    29923
    Lösung zeigen
    1. 299 bekommt 1 dazu, 23 gibt 1 ab.
    2. 299 + 23 = 300 + 22
    3. 300 + 22 = 322
    Ergebnis:
    322
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 225 − 197 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 225 um 3 größer: 228.
    3. 228 − 200 = 28
    Ergebnis:
    228
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
    3. 300 − 6 = 294
    Ergebnis:
    294
  6. ●30
    Can rechnet 7 · 22 so: erst 7 · 20, dann 2 dazu. Can erhält 142. Zeige am Bild, was fehlt.
    2027
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 7 · 2 = 14
    3. 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    154

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Hanna rechnet 6 + 83 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    68314
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    103

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 85
    9985
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    184

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Reihen mit je 51 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    408 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    245 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 4 = 9 · ___
    18 · 4=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Mia verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 23 + 71 + 77? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 171

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas rechnet 276 : 4 und erhält 70. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    276 : 4Ergebnis 70?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 69

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 129
  2. 42
  3. 633
  4. 273
  5. 97
  6. 955
  7. 432
  8. 549
  9. 648
  10. 48 Murmeln
  11. 38
  12. 96 Bücher
  13. 71
  14. 32
  15. 26
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 800
  19. gegensinnig verändern, 587
  20. vertauschen, 136
  21. schriftlich, 1425
  22. stimmt, 2706
  23. falsch, richtig ist 30
  24. falsch, richtig ist 11.439
  25. 168
  26. 80
  27. 322
  28. 228
  29. 294
  30. 154
  31. 103
  32. 184
  33. 408 Stühle
  34. 35 Sticker
  35. 8
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. vertauschen, 171
  38. falsch, richtig ist 69
  39. 12
  40. 105
  41. 41
  42. 17