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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 20 − 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 20 − 4 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●40
    Rechne: (5 + 8) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 8 = 13
    2. 13 · 8 = 104
    Ergebnis:
    104

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 6 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 4 = 24
    2. 3 + 24 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 35. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 24 + 79 + 36
247936
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 36 + 79
  2. 24 + 36 = 60
  3. 60 + 79 = 139
  1. Vertauschen: 24 + 36 + 79
  2. 24 + 36 = 60
  3. 60 + 79 = 139
Ergebnis:
139

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 55 + 81 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    195581
    So fängst du an:
    Vertauschen: 19 + 81 + 55
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 81 + 55
    2. 19 + 81 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 55 = 155
    Ergebnis:
    155
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 39 + 78 + 11 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    397811
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 39 + 11 + 78
    2. 39 + 11 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 78 = 128
    Ergebnis:
    128
  3. ★3
    Tom rechnet 99 + 483 + 15 + 101 + 85 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    994831510185
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 99 + 101 + 15 + 85 + 483
    2. 99 + 101 = 200 und 15 + 85 = 100
    3. 200 + 100 + 483 = 783
    Ergebnis:
    783

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Zeynep rechnet 39 + 73 als 40 + 73. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
3973
Schritt für Schritt
  1. Zeynep hat 39 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 73 = 113.
  3. 1 wieder abziehen: 113 − 1 = 112
  1. Zeynep hat 39 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 73 = 113.
  3. 1 wieder abziehen: 113 − 1 = 112
Ergebnis:
112

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Jonas rechnet 98 + 75 als 100 + 75. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    9875
    So fängst du an:
    Jonas hat 98 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 75 = 175.
    3. 2 wieder abziehen: 175 − 2 = 173
    Ergebnis:
    173
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 87
    4787
    Lösung zeigen
    1. 47 bekommt 3 dazu, 87 gibt 3 ab.
    2. 47 + 87 = 50 + 84
    3. 50 + 84 = 134
    Ergebnis:
    134
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 999 + 656
    999656
    Lösung zeigen
    1. 999 bekommt 1 dazu, 656 gibt 1 ab.
    2. 999 + 656 = 1000 + 655
    3. 1000 + 655 = 1655
    Ergebnis:
    1655

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Reihen mit je 24 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 24
  2. 24 = 20 + 4
  3. 5 · 20 = 100 und 5 · 4 = 20
  4. 100 + 20 = 120
  1. 5 · 24
  2. 24 = 20 + 4
  3. 5 · 20 = 100 und 5 · 4 = 20
  4. 100 + 20 = 120
Ergebnis:
120 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Hefte mit je 31 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 31
    Lösung zeigen
    1. 9 · 31
    2. 31 = 30 + 1
    3. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
    4. 270 + 9 = 279
    Ergebnis:
    279 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 8 Hefte mit je 66 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 66
    2. 66 = 60 + 6
    3. 8 · 60 = 480 und 8 · 6 = 48
    4. 480 + 48 = 528
    Ergebnis:
    528 Hefte
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 99
    Lösung zeigen
    1. 99 = 100 − 1
    2. 3 · 100 = 300 und 3 · 1 = 3
    3. 300 − 3 = 297
    Ergebnis:
    297

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

207 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 207 : 9
  2. 207 = 180 + 27
  3. 180 : 9 = 20 und 27 : 9 = 3
  4. 20 + 3 = 23
  1. 207 : 9
  2. 207 = 180 + 27
  3. 180 : 9 = 20 und 27 : 9 = 3
  4. 20 + 3 = 23
Ergebnis:
23 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 295 : 5
    So fängst du an:
    295 = 250 + 45
    Lösung zeigen
    1. 295 = 250 + 45
    2. 250 : 5 = 50 und 45 : 5 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●11
    177 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 177 : 3
    2. 177 = 150 + 27
    3. 150 : 3 = 50 und 27 : 3 = 9
    4. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 474 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 474 : 3?
    474: 3
    Lösung zeigen
    1. 474 = 450 + 24
    2. 450 : 3 = 150 und 24 : 3 = 8
    3. 150 + 8 = 158
    Ergebnis:
    158

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 10 = 7 · ___
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 49 − 20 = ___ − 21
    So fängst du an:
    20 wird zu 21: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 20 wird zu 21: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 1 größer.
    3. 49 + 1 = 50
    Ergebnis:
    50
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 37 + 25 = 40 + ___
    37 + 25=40 + ?
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 25 um 3 kleiner.
    3. 25 − 3 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 8 · 4 = 4 · ___
    8 · 4=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 41 + 33 + 59? Nenne ihn. Rechne danach.
41 + 33 + 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 41 + 59 = 100
  3. 100 + 33 = 133
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 41 + 59 = 100
  3. 100 + 33 = 133
Ergebnis:
vertauschen, 133

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 213 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    213 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 213 + 198 = 211 + 200
    3. 211 + 200 = 411
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 411
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 + 41 + 84? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 16 + 84 = 100
    3. 100 + 41 = 141
    Ergebnis:
    vertauschen, 141

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia rechnet 535 − 227 und erhält 298. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 298 + 227 = 525
  2. 525 ist nicht 535: Es ist falsch.
  3. 535 − 227 = 308
  1. Umkehraufgabe: 298 + 227 = 525
  2. 525 ist nicht 535: Es ist falsch.
  3. 535 − 227 = 308
Ergebnis:
falsch, richtig ist 308

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 655 − 358 und erhält 317. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 317 + 358 = 675
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 317 + 358 = 675
    2. 675 ist nicht 655: Es ist falsch.
    3. 655 − 358 = 297
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 297
  2. ●23
    Can rechnet 355 : 5 und erhält 72. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    355 : 5Ergebnis 72?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 72 · 5 = 360
    2. 360 ist nicht 355: Es ist falsch.
    3. 355 : 5 = 71
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 71
  3. ★24
    Zeynep rechnet 3995 − 1392 und erhält 2613. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2613 + 1392 = 4005
    2. 4005 ist nicht 3995: Es ist falsch.
    3. 3995 − 1392 = 2603
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2603

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Paul rechnet 77 + 74 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    777423
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 77 + 23 + 74
    2. 77 + 23 = 100
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    174
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 19 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kisten19 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 19
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 19 = 1900
    Ergebnis:
    1900 Bälle
  3. ●27
    Noah rechnet 98 + 39 als 100 + 39. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    9839
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 39 = 139.
    3. 2 wieder abziehen: 139 − 2 = 137
    Ergebnis:
    137
  4. ●28
    Mia rechnet 85 − 39 als 85 − 40 und erhält 45. Ist das schon das Ergebnis?
    85 − 3985 − 40
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 45 + 1 = 46
    Ergebnis:
    Nein, 46
  5. ●29
    Es gibt 3 Reihen mit je 21 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 21
    2. 21 = 20 + 1
    3. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    4. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 28?
    2087
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 8 = 56
    3. 7 · 28 = 140 + 56 = 196
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 8, zusammen 196

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 38 + 56 + 22 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    385622
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ben rechnet 298 + 36 als 300 + 36. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    29836
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    334

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    87

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 168 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 168 : 8?
    168: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 81 − 41 = ___ − 43
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    83

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Aylin verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 34 + 45 + 66? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 145

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can rechnet 728 − 341 und erhält 377. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 387

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 155
  2. 128
  3. 783
  4. 173
  5. 134
  6. 1655
  7. 279 Hefte
  8. 528 Hefte
  9. 297
  10. 59
  11. 59 Bücher
  12. 158
  13. 50
  14. 22
  15. 8
  16. 70
  17. 200
  18. 180
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. gegensinnig verändern, 411
  21. vertauschen, 141
  22. falsch, richtig ist 297
  23. falsch, richtig ist 71
  24. falsch, richtig ist 2603
  25. 174
  26. 1900 Bälle
  27. 137
  28. Nein, 46
  29. 63 Stühle
  30. 7 · 20 und 7 · 8, zusammen 196
  31. 116
  32. 334
  33. 87
  34. 21
  35. 83
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. vertauschen, 145
  38. falsch, richtig ist 387
  39. 16
  40. 104
  41. 27
  42. 7