Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 33 − 2 · 4
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 2 · 4 = 8
2. 33 − 8 = 25
Ergebnis:
25
●40
Rechne: (8 + 8) · 6
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 8 + 8 = 16
2. 16 · 6 = 96
Ergebnis:
96

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 5 + 2 · 7
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
2. 5 + 14 = 19
Ergebnis:
19
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 27 und erhalte 56. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
29

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 9 + 62 + 51

Schritt für Schritt

Vertauschen: 9 + 51 + 62
9 + 51 = 60
60 + 62 = 122

Vertauschen: 9 + 51 + 62
9 + 51 = 60
60 + 62 = 122

Ergebnis:

122

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Jonas rechnet 47 + 38 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
So fängst du an:
Vertauschen: 47 + 13 + 38
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 47 + 13 + 38
2. 47 + 13 = 60
3. 60 + 38 = 98
Ergebnis:
98
●2
Rechne geschickt: 75 + 48 + 25
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 75 + 25 + 48
2. 75 + 25 = 100
3. 100 + 48 = 148
Ergebnis:
148
★3
Milan rechnet 95 + 788 + 56 + 105 + 44 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 95 + 105 + 56 + 44 + 788
2. 95 + 105 = 200 und 56 + 44 = 100
3. 200 + 100 + 788 = 1088
Ergebnis:
1088

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 76 = 200 + ___

Schritt für Schritt

198 wird zu 200: 2 mehr.
Also muss 76 um 2 kleiner werden: 76 − 2 = 74
200 + 74 = 274

198 wird zu 200: 2 mehr.
Also muss 76 um 2 kleiner werden: 76 − 2 = 74
200 + 74 = 274

Ergebnis:

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Mia rechnet 38 + 66 als 40 + 66. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
So fängst du an:
Mia hat 38 um 2 vergrößert.
Lösung zeigen
1. Mia hat 38 um 2 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 66 = 106.
3. 2 wieder abziehen: 106 − 2 = 104
Ergebnis:
104
●5
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 25 = 300 + ___
Lösung zeigen
1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
2. Also muss 25 um 3 kleiner werden: 25 − 3 = 22
3. 300 + 22 = 322
Ergebnis:
22
★6
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 998 + 436 = 1000 + ___
Lösung zeigen
1. 998 wird zu 1000: 2 mehr.
2. Also muss 436 um 2 kleiner werden: 436 − 2 = 434
3. 1000 + 434 = 1434
Ergebnis:
434

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 21

Schritt für Schritt

21 = 20 + 1
6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
120 + 6 = 126

21 = 20 + 1
6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
120 + 6 = 126

Ergebnis:

126

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
So fängst du an:
49 = 50 − 1
Lösung zeigen
1. 49 = 50 − 1
2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
3. 250 − 5 = 245
Ergebnis:
245
●8
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 39
Lösung zeigen
1. 39 = 30 + 9
2. 4 · 30 = 120 und 4 · 9 = 36
3. 120 + 36 = 156
Ergebnis:
156
★9
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 66
Lösung zeigen
1. 66 = 60 + 6
2. 6 · 60 = 360 und 6 · 6 = 36
3. 360 + 36 = 396
Ergebnis:
396

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 145 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 145 : 5?

Schritt für Schritt

145 = 100 + 45
100 : 5 = 20 und 45 : 5 = 9
20 + 9 = 29

145 = 100 + 45
100 : 5 = 20 und 45 : 5 = 9
20 + 9 = 29

Ergebnis:

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
384 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
So fängst du an:
384 : 6
Lösung zeigen
1. 384 : 6
2. 384 = 360 + 24
3. 360 : 6 = 60 und 24 : 6 = 4
4. 60 + 4 = 64
Ergebnis:
64 Murmeln
●11
384 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 384 : 8
2. 384 = 320 + 64
3. 320 : 8 = 40 und 64 : 8 = 8
4. 40 + 8 = 48
Ergebnis:
48 Sticker
★12
Zerlege 427 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 427 : 7?
Lösung zeigen
1. 427 = 420 + 7
2. 420 : 7 = 60 und 7 : 7 = 1
3. 60 + 1 = 61
Ergebnis:
61

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 71 + 58 = 70 + ___

Schritt für Schritt

71 wird zu 70: 1 weniger.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 1 größer.
58 + 1 = 59

71 wird zu 70: 1 weniger.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 1 größer.
58 + 1 = 59

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 49 − 21 = ___ − 31
So fängst du an:
21 wird zu 31: 10 mehr.
Lösung zeigen
1. 21 wird zu 31: 10 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 10 größer.
3. 49 + 10 = 59
Ergebnis:
59
●14
Ergänze die Lücke: 68 + 52 = 71 + ___
Lösung zeigen
1. 68 wird zu 71: 3 mehr.
2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 52 um 3 kleiner.
3. 52 − 3 = 49
Ergebnis:
49
★15
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 62 + 6 · 8 = 6 · ___
Lösung zeigen
1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
2. 6 mal 62 und 6 mal 8 sind zusammen 6 mal (62 + 8).
3. 62 + 8 = 70
Ergebnis:
70

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.

Schritt für Schritt

Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
8 · 25 = 4 · 50
4 · 50 = 200

Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
8 · 25 = 4 · 50
4 · 50 = 200

Ergebnis:

200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
So fängst du an:
12 · 15 = 6 · 30
Lösung zeigen
1. 12 · 15 = 6 · 30
2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180
●17
Noah verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180
★18
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
Lösung zeigen
1. 12 · 75 = 6 · 150
2. 6 · 150 = 900
Ergebnis:
900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 13 + 37 + 87? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
13 + 87 = 100
100 + 37 = 137

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
13 + 87 = 100
100 + 37 = 137

Ergebnis:

vertauschen, 137

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
Lösung zeigen
1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
2. 8 · 25 = 4 · 50
3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200
●20
Wie rechnest du am schnellsten: 257 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
2. 257 + 598 = 255 + 600
3. 255 + 600 = 855
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 855
★21
Wie rechnest du am schnellsten: 234 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
2. 234 + 399 = 233 + 400
3. 233 + 400 = 633
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 633

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea erhält für 35 · 37 das Ergebnis 2295. Prüfe mit einem Überschlag.

Schritt für Schritt

Überschlag: 40 · 40 = 1600
2295 liegt zu weit weg. Genau: 35 · 37 = 1295
Das Ergebnis ist falsch.

Überschlag: 40 · 40 = 1600
2295 liegt zu weit weg. Genau: 35 · 37 = 1295
Das Ergebnis ist falsch.

Ergebnis:

falsch, richtig ist 1295

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Lea rechnet 469 − 272 und erhält 197. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 197 + 272 = 469
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 197 + 272 = 469
2. 469 ist genau 469: Es stimmt.
3. 469 − 272 = 197
Ergebnis:
stimmt, 197
●23
Sofia erhält für 47 · 14 das Ergebnis 658. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 50 · 10 = 500
2. 658 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 47 · 14 = 658
3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 658
★24
Emma rechnet 7290 − 5105 und erhält 2195. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 2195 + 5105 = 7300
2. 7300 ist nicht 7290: Es ist falsch.
3. 7290 − 5105 = 2185
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2185

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Rechne geschickt: 53 + 51 + 47
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 53 + 47 + 51
2. 53 + 47 = 100
3. 100 + 51 = 151
Ergebnis:
151
●26
Rechne geschickt: 18 · 20 · 5
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 20 · 5 · 18
2. 20 · 5 = 100
3. 100 · 18 = 1800
Ergebnis:
1800
●27
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 69
Lösung zeigen
1. 99 bekommt 1 dazu, 69 gibt 1 ab.
2. 99 + 69 = 100 + 68
3. 100 + 68 = 168
Ergebnis:
168
●28
Lea rechnet 84 − 17 als 84 − 20 und erhält 64. Ist das schon das Ergebnis?
Lösung zeigen
1. Lea hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
3. 64 + 3 = 67
Ergebnis:
Nein, 67
●29
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 24
Lösung zeigen
1. 24 = 20 + 4
2. 9 · 20 = 180 und 9 · 4 = 36
3. 180 + 36 = 216
Ergebnis:
216
●30
Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 19 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
Lösung zeigen
1. Linker Teil: 7 · 10 = 70
2. Rechter Teil: 7 · 9 = 63
3. Zusammen: 70 + 63 = 133
Ergebnis:
133 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Welche Zahlen fasst du bei 43 + 14 + 7 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
64
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Lea rechnet 299 + 55 als 300 + 55. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
Ergebnis:
354
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Es gibt 3 Hefte mit je 28 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
Ergebnis:
84 Hefte
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
188 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
Ergebnis:
47 Murmeln
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 46 − 25 = ___ − 27
Lösung zeigen
Ergebnis:
48
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Noah verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
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Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 90
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Wie rechnest du am schnellsten: 234 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
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Ergebnis:
gegensinnig verändern, 432
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Zeynep erhält für 34 · 25 das Ergebnis 850. Prüfe mit einem Überschlag.
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Ergebnis:
stimmt, 850

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

98
148
1088
104
22
434
245
156
396
64 Murmeln
48 Sticker
61
59
49
70
180
Nein, viermal so groß; richtig ist 180
900
halbieren und verdoppeln, 200
gegensinnig verändern, 855
gegensinnig verändern, 633
stimmt, 197
stimmt, 658
falsch, richtig ist 2185
151
1800
168
Nein, 67
216
133 Kästchen
64
354
84 Hefte
47 Murmeln
48
Nein, viermal so groß; richtig ist 90
gegensinnig verändern, 432
stimmt, 850
25
96
19
29