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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 4 + 25 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●40
    Rechne: (4 + 3) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 3 = 7
    2. 7 · 3 = 21
    Ergebnis:
    21

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 3 + 20 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 34 und erhalte 53. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lina rechnet 6 + 73 + 54 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
67354
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 6 + 54 + 73
  2. 6 + 54 = 60
  3. 60 + 73 = 133
  1. Vertauschen: 6 + 54 + 73
  2. 6 + 54 = 60
  3. 60 + 73 = 133
Ergebnis:
133

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 28 + 25 + 72 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    282572
    So fängst du an:
    Vertauschen: 28 + 72 + 25
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 72 + 25
    2. 28 + 72 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    125
  2. ●2
    Rechne geschickt: 91 + 36 + 9
    91369
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 91 + 9 + 36
    2. 91 + 9 = 100
    3. 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    136
  3. ★3
    Zeynep rechnet 312 + 191 + 78 + 688 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    3121917868822
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 312 + 688 + 78 + 22 + 191
    2. 312 + 688 = 1000 und 78 + 22 = 100
    3. 1000 + 100 + 191 = 1291
    Ergebnis:
    1291

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 88 = 70 + ___
6788
Schritt für Schritt
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Also muss 88 um 3 kleiner werden: 88 − 3 = 85
  3. 70 + 85 = 155
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Also muss 88 um 3 kleiner werden: 88 − 3 = 85
  3. 70 + 85 = 155
Ergebnis:
85

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 88
    19788
    So fängst du an:
    197 bekommt 3 dazu, 88 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 88 gibt 3 ab.
    2. 197 + 88 = 200 + 85
    3. 200 + 85 = 285
    Ergebnis:
    285
  2. ●5
    Elias rechnet 67 + 66 als 70 + 66. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    6766
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 66 = 136.
    3. 3 wieder abziehen: 136 − 3 = 133
    Ergebnis:
    133
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 697 + 348
    697348
    Lösung zeigen
    1. 697 bekommt 3 dazu, 348 gibt 3 ab.
    2. 697 + 348 = 700 + 345
    3. 700 + 345 = 1045
    Ergebnis:
    1045

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. 270 − 9 = 261
  1. 29 = 30 − 1
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. 270 − 9 = 261
Ergebnis:
261

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 61
    Lösung zeigen
    1. 61 = 60 + 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 + 4 = 244
    Ergebnis:
    244
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 183 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 183 : 3?
183: 3
Schritt für Schritt
  1. 183 = 180 + 3
  2. 180 : 3 = 60 und 3 : 3 = 1
  3. 60 + 1 = 61
  1. 183 = 180 + 3
  2. 180 : 3 = 60 und 3 : 3 = 1
  3. 60 + 1 = 61
Ergebnis:
61

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 104 : 4
    So fängst du an:
    104 = 80 + 24
    Lösung zeigen
    1. 104 = 80 + 24
    2. 80 : 4 = 20 und 24 : 4 = 6
    3. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 306 : 6
    Lösung zeigen
    1. 306 = 300 + 6
    2. 300 : 6 = 50 und 6 : 6 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 195 : 3
    Lösung zeigen
    1. 195 = 180 + 15
    2. 180 : 3 = 60 und 15 : 3 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 12 · 12 = 6 · ___
12 · 12=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
Ergebnis:
24

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 20 + 34 = 17 + ___
    20 + 34=17 + ?
    So fängst du an:
    20 wird zu 17: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 20 wird zu 17: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 34 um 3 größer.
    3. 34 + 3 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 52 − 33 = ___ − 34
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 34: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 52 um 1 größer.
    3. 52 + 1 = 53
    Ergebnis:
    53
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 8 · 24 + 8 · 4 = 8 · ___
    8 · 24 + 8 · 4=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 8.
    2. 8 mal 24 und 8 mal 4 sind zusammen 8 mal (24 + 4).
    3. 24 + 4 = 28
    Ergebnis:
    28

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 32 · 25
    Lösung zeigen
    1. 32 · 25 = 16 · 50
    2. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 64? Nenne ihn. Rechne danach.
    4 · 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 64 = 60 + 4.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 64 = 60 + 4.
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 4 = 16
    3. Zusammen: 256
    Ergebnis:
    zerlegen, 256
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 259 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    259 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 259 + 198 = 257 + 200
    3. 257 + 200 = 457
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 457

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia rechnet 759 − 472 und erhält 307. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 307 + 472 = 779
  2. 779 ist nicht 759: Es ist falsch.
  3. 759 − 472 = 287
  1. Umkehraufgabe: 307 + 472 = 779
  2. 779 ist nicht 759: Es ist falsch.
  3. 759 − 472 = 287
Ergebnis:
falsch, richtig ist 287

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 981 − 262 und erhält 709. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 709 + 262 = 971
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 709 + 262 = 971
    2. 971 ist nicht 981: Es ist falsch.
    3. 981 − 262 = 719
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 719
  2. ●23
    Zeynep rechnet 504 − 381 und erhält 223. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 223 + 381 = 604
    2. 604 ist nicht 504: Es ist falsch.
    3. 504 − 381 = 123
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 123
  3. ★24
    Zeynep rechnet 3642 − 547 und erhält 3195. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3195 + 547 = 3742
    2. 3742 ist nicht 3642: Es ist falsch.
    3. 3642 − 547 = 3095
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3095

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 13 + 41 + 17 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    134117
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 17 + 41
    2. 13 + 17 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 41 = 71
    Ergebnis:
    71
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kisten. In jeder Kiste sind 5 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kisten5 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 5
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500 Bälle
  3. ●27
    Hanna rechnet 48 + 59 als 50 + 59. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    4859
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 59 = 109.
    3. 2 wieder abziehen: 109 − 2 = 107
    Ergebnis:
    107
  4. ●28
    Ben rechnet 112 − 27 als 112 − 30 und erhält 82. Ist das schon das Ergebnis?
    112 − 27112 − 30
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 82 + 3 = 85
    Ergebnis:
    Nein, 85
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
    3. 360 − 6 = 354
    Ergebnis:
    354
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 22?
    2024
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 20 = 80
    2. Rechts: 4 · 2 = 8
    3. 4 · 22 = 80 + 8 = 88
    Ergebnis:
    4 · 20 und 4 · 2, zusammen 88

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 9 + 22 + 21
    92221
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 89
    29889
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    387

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Reihen mit je 38 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    190 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 85 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 85 : 5?
    85: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 43 − 25 = ___ − 35
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Jonas verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 64? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 448

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 789 − 285 und erhält 494. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 504

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 125
  2. 136
  3. 1291
  4. 285
  5. 133
  6. 1045
  7. 392
  8. 244
  9. 413
  10. 26
  11. 51
  12. 65
  13. 37
  14. 53
  15. 28
  16. 210
  17. 80
  18. 800
  19. zerlegen, 256
  20. halbieren und verdoppeln, 200
  21. gegensinnig verändern, 457
  22. falsch, richtig ist 719
  23. falsch, richtig ist 123
  24. falsch, richtig ist 3095
  25. 71
  26. 500 Bälle
  27. 107
  28. Nein, 85
  29. 354
  30. 4 · 20 und 4 · 2, zusammen 88
  31. 52
  32. 387
  33. 190 Stühle
  34. 17
  35. 53
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. zerlegen, 448
  38. falsch, richtig ist 504
  39. 29
  40. 21
  41. 23
  42. 19