Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 3 + 32 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (3 + 4) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 4 = 7
    2. 7 · 5 = 35
    Ergebnis:
    35

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 3 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 3 = 9
    2. 12 + 9 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 33 und erhalte 45. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 11 + 33 + 19
113319
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 11 + 19 + 33
  2. 11 + 19 = 30
  3. 30 + 33 = 63
  1. Vertauschen: 11 + 19 + 33
  2. 11 + 19 = 30
  3. 30 + 33 = 63
Ergebnis:
63

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 77 + 22 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    87722
    So fängst du an:
    Vertauschen: 8 + 22 + 77
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 22 + 77
    2. 8 + 22 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 77 = 107
    Ergebnis:
    107
  2. ●2
    Emma rechnet 11 + 21 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    11219
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 9 + 21
    2. 11 + 9 = 20
    3. 20 + 21 = 41
    Ergebnis:
    41
  3. ★3
    Hanna rechnet 61 + 274 + 65 + 39 + 35 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    61274653935
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 61 + 39 + 65 + 35 + 274
    2. 61 + 39 = 100 und 65 + 35 = 100
    3. 100 + 100 + 274 = 474
    Ergebnis:
    474

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 85
19785
Schritt für Schritt
  1. 197 bekommt 3 dazu, 85 gibt 3 ab.
  2. 197 + 85 = 200 + 82
  3. 200 + 82 = 282
  1. 197 bekommt 3 dazu, 85 gibt 3 ab.
  2. 197 + 85 = 200 + 82
  3. 200 + 82 = 282
Ergebnis:
282

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 75 = 300 + ___
    29775
    So fängst du an:
    297 wird zu 300: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 75 um 3 kleiner werden: 75 − 3 = 72
    3. 300 + 72 = 372
    Ergebnis:
    72
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 54 = 40 + ___
    3854
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 54 um 2 kleiner werden: 54 − 2 = 52
    3. 40 + 52 = 92
    Ergebnis:
    52
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1997 + 405 = 2000 + ___
    1997405
    Lösung zeigen
    1. 1997 wird zu 2000: 3 mehr.
    2. Also muss 405 um 3 kleiner werden: 405 − 3 = 402
    3. 2000 + 402 = 2402
    Ergebnis:
    402

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. 320 − 8 = 312
  1. 39 = 40 − 1
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. 320 − 8 = 312
Ergebnis:
312

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 38
    So fängst du an:
    38 = 30 + 8
    Lösung zeigen
    1. 38 = 30 + 8
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 8 = 24
    3. 90 + 24 = 114
    Ergebnis:
    114
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 33
    Lösung zeigen
    1. 33 = 30 + 3
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 3 = 15
    3. 150 + 15 = 165
    Ergebnis:
    165
  3. ★9
    Es gibt 8 Hefte mit je 72 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 72
    2. 72 = 70 + 2
    3. 8 · 70 = 560 und 8 · 2 = 16
    4. 560 + 16 = 576
    Ergebnis:
    576 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 387 : 9
Schritt für Schritt
  1. 387 = 360 + 27
  2. 360 : 9 = 40 und 27 : 9 = 3
  3. 40 + 3 = 43
  1. 387 = 360 + 27
  2. 360 : 9 = 40 und 27 : 9 = 3
  3. 40 + 3 = 43
Ergebnis:
43

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 175 : 5
    So fängst du an:
    175 = 150 + 25
    Lösung zeigen
    1. 175 = 150 + 25
    2. 150 : 5 = 30 und 25 : 5 = 5
    3. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●11
    114 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 114 : 3
    2. 114 = 90 + 24
    3. 90 : 3 = 30 und 24 : 3 = 8
    4. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38 Sticker
  3. ★12
    696 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 696 : 4
    2. 696 = 680 + 16
    3. 680 : 4 = 170 und 16 : 4 = 4
    4. 170 + 4 = 174
    Ergebnis:
    174 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 81 − 58 = ___ − 63
Schritt für Schritt
  1. 58 wird zu 63: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 81 um 5 größer.
  3. 81 + 5 = 86
  1. 58 wird zu 63: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 81 um 5 größer.
  3. 81 + 5 = 86
Ergebnis:
86

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 51 − 42 = ___ − 47
    So fängst du an:
    42 wird zu 47: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 42 wird zu 47: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 51 um 5 größer.
    3. 51 + 5 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 85 − 61 = ___ − 62
    Lösung zeigen
    1. 61 wird zu 62: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 1 größer.
    3. 85 + 1 = 86
    Ergebnis:
    86
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 43 − 31 = ___ − 33
    Lösung zeigen
    1. 31 wird zu 33: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 43 um 2 größer.
    3. 43 + 2 = 45
    Ergebnis:
    45

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Can verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 24 · 125 dasselbe wie 12 · 250? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 24 · 125 = 12 · 250
    3. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 26 + 61 + 74? Nenne ihn. Rechne danach.
26 + 61 + 74zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 26 + 74 = 100
  3. 100 + 61 = 161
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 26 + 74 = 100
  3. 100 + 61 = 161
Ergebnis:
vertauschen, 161

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 30 + 58 + 70? Nenne ihn. Rechne danach.
    30 + 58 + 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 30 + 70 = 100
    3. 100 + 58 = 158
    Ergebnis:
    vertauschen, 158
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 13 + 33 + 87? Nenne ihn. Rechne danach.
    13 + 33 + 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 13 + 87 = 100
    3. 100 + 33 = 133
    Ergebnis:
    vertauschen, 133
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6746 − 3030? Nenne ihn. Rechne danach.
    6746 − 3030zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6746 − 3030 = 3716
    Ergebnis:
    schriftlich, 3716

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 829 − 130 und erhält 689. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 689 + 130 = 819
  2. 819 ist nicht 829: Es ist falsch.
  3. 829 − 130 = 699
  1. Umkehraufgabe: 689 + 130 = 819
  2. 819 ist nicht 829: Es ist falsch.
  3. 829 − 130 = 699
Ergebnis:
falsch, richtig ist 699

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep erhält für 39 · 45 das Ergebnis 1555. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 50 = 2000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 50 = 2000
    2. 1555 liegt zu weit weg. Genau: 39 · 45 = 1755
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1755
  2. ●23
    Ben rechnet 928 − 830 und erhält 88. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 88 + 830 = 918
    2. 918 ist nicht 928: Es ist falsch.
    3. 928 − 830 = 98
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 98
  3. ★24
    Lina rechnet 7646 − 7063 und erhält 683. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 683 + 7063 = 7746
    2. 7746 ist nicht 7646: Es ist falsch.
    3. 7646 − 7063 = 583
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 583

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 9 + 68 + 31
    96831
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 31 + 68
    2. 9 + 31 = 40
    3. 40 + 68 = 108
    Ergebnis:
    108
  2. ●26
    Rechne geschickt: 13 · 50 · 2
    13502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 13
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 75 = 50 + ___
    4975
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 75 um 1 kleiner werden: 75 − 1 = 74
    3. 50 + 74 = 124
    Ergebnis:
    74
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 213 − 197
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 213 − 197 = 216 − 200
    3. 216 − 200 = 16
    Ergebnis:
    16
  5. ●29
    Es gibt 5 Reihen mit je 32 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 32
    2. 32 = 30 + 2
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 2 = 10
    4. 150 + 10 = 160
    Ergebnis:
    160 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 22?
    2023
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 20 = 60
    2. Rechts: 3 · 2 = 6
    3. 3 · 22 = 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    3 · 20 und 3 · 2, zusammen 66

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Jonas rechnet 9 + 52 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    95221
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    82

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ben rechnet 98 + 97 als 100 + 97. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    9897
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    195

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    195

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    364 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 55 + 69 = 58 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 36 + 77 + 64? Nenne ihn. Rechne danach.
    36 + 77 + 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 177

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea erhält für 81 · 34 das Ergebnis 2754. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 2754

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 107
  2. 41
  3. 474
  4. 72
  5. 52
  6. 402
  7. 114
  8. 165
  9. 576 Hefte
  10. 35
  11. 38 Sticker
  12. 174 Sticker
  13. 56
  14. 86
  15. 45
  16. 80
  17. 210
  18. 3000
  19. vertauschen, 158
  20. vertauschen, 133
  21. schriftlich, 3716
  22. falsch, richtig ist 1755
  23. falsch, richtig ist 98
  24. falsch, richtig ist 583
  25. 108
  26. 1300
  27. 74
  28. 16
  29. 160 Stühle
  30. 3 · 20 und 3 · 2, zusammen 66
  31. 82
  32. 195
  33. 195
  34. 52 Bücher
  35. 66
  36. 180
  37. vertauschen, 177
  38. stimmt, 2754
  39. 35
  40. 35
  41. 21
  42. 12