Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 21 − 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 21 − 15 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●40
    Rechne: (3 + 5) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 5 = 8
    2. 8 · 5 = 40
    Ergebnis:
    40

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 9 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 3 = 27
    2. 11 + 27 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 19 und erhalte 24. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 24 + 17 + 16 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
241716
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 16 + 17
  2. 24 + 16 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 17 = 57
  1. Vertauschen: 24 + 16 + 17
  2. 24 + 16 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 17 = 57
Ergebnis:
57

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Jonas rechnet 39 + 66 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    396611
    So fängst du an:
    Vertauschen: 39 + 11 + 66
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 39 + 11 + 66
    2. 39 + 11 = 50
    3. 50 + 66 = 116
    Ergebnis:
    116
  2. ●2
    Rechne geschickt: 14 + 31 + 16
    143116
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 16 + 31
    2. 14 + 16 = 30
    3. 30 + 31 = 61
    Ergebnis:
    61
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 453 + 593 + 547 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    453593547
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 453 + 547 + 593
    2. 453 + 547 = 1000
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 593 = 1593
    Ergebnis:
    1593

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 78
19978
Schritt für Schritt
  1. 199 bekommt 1 dazu, 78 gibt 1 ab.
  2. 199 + 78 = 200 + 77
  3. 200 + 77 = 277
  1. 199 bekommt 1 dazu, 78 gibt 1 ab.
  2. 199 + 78 = 200 + 77
  3. 200 + 77 = 277
Ergebnis:
277

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Elias rechnet 48 + 48 als 50 + 48. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    4848
    So fängst du an:
    Elias hat 48 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 48 = 98.
    3. 2 wieder abziehen: 98 − 2 = 96
    Ergebnis:
    96
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 56 = 70 + ___
    6956
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 56 um 1 kleiner werden: 56 − 1 = 55
    3. 70 + 55 = 125
    Ergebnis:
    55
  3. ★6
    Paul rechnet 699 + 422 als 700 + 422. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    699422
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 699 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 700 + 422 = 1122.
    3. 1 wieder abziehen: 1122 − 1 = 1121
    Ergebnis:
    1121

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  3. 140 − 7 = 133
  1. 19 = 20 − 1
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  3. 140 − 7 = 133
Ergebnis:
133

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 17
    So fängst du an:
    17 = 10 + 7
    Lösung zeigen
    1. 17 = 10 + 7
    2. 6 · 10 = 60 und 6 · 7 = 42
    3. 60 + 42 = 102
    Ergebnis:
    102
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
    3. 300 − 6 = 294
    Ergebnis:
    294
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 61
    Lösung zeigen
    1. 61 = 60 + 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 + 4 = 244
    Ergebnis:
    244

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 504 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 504 : 8?
504: 8
Schritt für Schritt
  1. 504 = 480 + 24
  2. 480 : 8 = 60 und 24 : 8 = 3
  3. 60 + 3 = 63
  1. 504 = 480 + 24
  2. 480 : 8 = 60 und 24 : 8 = 3
  3. 60 + 3 = 63
Ergebnis:
63

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    153 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    153 : 3
    Lösung zeigen
    1. 153 : 3
    2. 153 = 150 + 3
    3. 150 : 3 = 50 und 3 : 3 = 1
    4. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 252 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 252 : 7?
    252: 7
    Lösung zeigen
    1. 252 = 210 + 42
    2. 210 : 7 = 30 und 42 : 7 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1256 : 8
    Lösung zeigen
    1. 1256 = 1200 + 56
    2. 1200 : 8 = 150 und 56 : 8 = 7
    3. 150 + 7 = 157
    Ergebnis:
    157

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 14 = 6 · ___
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 20 + 80 = 10 + ___
    So fängst du an:
    20 wird zu 10: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 20 wird zu 10: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 80 um 10 größer.
    3. 80 + 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 73 + 76 = 72 + ___
    73 + 76=72 + ?
    Lösung zeigen
    1. 73 wird zu 72: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 76 um 1 größer.
    3. 76 + 1 = 77
    Ergebnis:
    77
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 72 − 32 = ___ − 42
    Lösung zeigen
    1. 32 wird zu 42: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 72 um 10 größer.
    3. 72 + 10 = 82
    Ergebnis:
    82

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Ben verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Paul verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 45
    Lösung zeigen
    1. 18 · 45 = 9 · 90
    2. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea erhält für 88 · 42 das Ergebnis 4696. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
  2. 4696 liegt zu weit weg. Genau: 88 · 42 = 3696
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
  2. 4696 liegt zu weit weg. Genau: 88 · 42 = 3696
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 3696

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 574 : 7 und erhält 83. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    574 : 7Ergebnis 83?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 83 · 7 = 581
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 83 · 7 = 581
    2. 581 ist nicht 574: Es ist falsch.
    3. 574 : 7 = 82
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 82
  2. ●23
    Ben erhält für 61 · 14 das Ergebnis 654. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 10 = 600
    2. 654 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 61 · 14 = 854
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 854
  3. ★24
    Can rechnet 4600 − 2682 und erhält 2018. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2018 + 2682 = 4700
    2. 4700 ist nicht 4600: Es ist falsch.
    3. 4600 − 2682 = 1918
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1918

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 5 + 19 + 15
    51915
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 15 + 19
    2. 5 + 15 = 20
    3. 20 + 19 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 5 · 8 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    582
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 8
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 69
    4769
    Lösung zeigen
    1. 47 bekommt 3 dazu, 69 gibt 3 ab.
    2. 47 + 69 = 50 + 66
    3. 50 + 66 = 116
    Ergebnis:
    116
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 76 − 49
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 76 − 49 = 77 − 50
    3. 77 − 50 = 27
    Ergebnis:
    27
  5. ●29
    Es gibt 8 Reihen mit je 21 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 21
    2. 21 = 20 + 1
    3. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    4. 160 + 8 = 168
    Ergebnis:
    168 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 22?
    2027
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 2 = 14
    3. 7 · 22 = 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 2, zusammen 154

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 33 + 64 + 7
    33647
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    104

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 23 = 100 + ___
    9823
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    261

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 225 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 225 : 9?
    225: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 51 + 43 = 48 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    46

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Zeynep verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 47 + 42 + 53? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 142

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 336 − 271 und erhält 165. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 65

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 116
  2. 61
  3. 1593
  4. 96
  5. 55
  6. 1121
  7. 102
  8. 294
  9. 244
  10. 51 Sticker
  11. 36
  12. 157
  13. 90
  14. 77
  15. 82
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. 90
  18. 810
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. falsch, richtig ist 82
  23. falsch, richtig ist 854
  24. falsch, richtig ist 1918
  25. 39
  26. 80
  27. 116
  28. 27
  29. 168 Stühle
  30. 7 · 20 und 7 · 2, zusammen 154
  31. 104
  32. 21
  33. 261
  34. 25
  35. 46
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  37. vertauschen, 142
  38. falsch, richtig ist 65
  39. 6
  40. 40
  41. 38
  42. 5